TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP HÌNH HỌC HAY LỚP 9 VÀ ÔN LUYỆN THI TUYỂN SINH VÀO 10

Hướng dẫn: BACBDC90  ABCDlà tứ giác nội tiếp b ta chứng minh BCA vµ ACS cùng bằng góc BDA Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm trên cạnh AC D không trùng với A và

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP HÌNH HỌC LỚP 9 Bài 1: Cho đường tròn (O) Một cung AB và S là điểm chính giữa của cung đó Trên dây cung AB lấy hai điểm E và H Các đường thẳng SH và SE cắt đường tròn tại C và D Chứng minh rằng EHCD là một

tứ giác nội tiếp

HDẫn:

Ta có: HED 1(s®AD s®SB)( 

2

  góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn)

HCD s®SD s®(SB BD) (s®SA s®BD)

Vậy tứ giác HECD nội tiếp đường tròn

Bài 2: Cho tam giác ABC ; Các đường phân giác của các góc B và C gặp nhau tại S, Các đường thẳng chứa phân giác của hai góc ngoài B và C gặp nhau tại E Chứng minh rằng:

a) BSCE là một tứ giác nội tiếp

b) Ba điểm A, S và E thẳng hàng

Hướng dẫn:

SBE90 (tính chất phân giác của hai góc kề bù)

SCB90 (tính chất phân giác của hai góc kề bù)

SBE SCB 90 90 180

Vậy tứ giác BSCE nội tiếp đường tròn

b) Ta chứng minh A, S, E cùng nằm trên phân giác của góc A

Bài 3: Các đường cao hạ từ A và B của một tam giác ABC cắt nhau tại H, các đường cao ấy kéo dài cắt đường tròn tại D và E Chứng minh rằng:

a) CD = CE

b) H và D đối xứng nhau qua BC; H và E đối xứng nhau qua AC

Hướng dẫn:

a) Ta chứng minh CADCBE(cïng phô víi ACB) 

suy ra CDCE  CDCE

b) Từ CDCE  CBD CBE

Tam giác BHD có BC vừa là đường cao vừa là phân giác nên nó là tam giác cân

Do đó BC là trung trực của DH Vậy D, H đối xứng nhau qua BC

Chứng minh tượng tự: E, H đối xứng nhau qua BC

Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác của góc A gặp đường tròn tại M

Vẽ đường cao AH và bán kính OA Chứng minh rằng:

a) đường thẳng OM đi qua trung điểm của dây BC

b) AM là phân giác của góc OAH

Hướng dẫn:

a) Ta chứng minh BMCM(v × BAM  CAM)  BMCM

và OB = OC (= R) nên OM là trung trực của BC, do đó đường

OM đi qua trung điểm của BC

b) Ta chứng minh HAM vµ OAM cïng b»ng víi AMO 

Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm là H Tia AH cắt đường tròn (O) ở E

Kẻ đường kính AOF

a) Chứng minh: BC // EF

b) Chứng minh: BAECAF.

c) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh ba điểm H, I, F thẳng hàng

Hướng dẫn:

a) Ta chứng minh BC và EF cùng vuông góc với AE

b) BC // EF suy ra BECF  BAE CAF

c) Ta chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành

O

D C

E H

S

B A

E

S

C B

A

O E

D

H

C B

A

O H M

C B

A

I F

H

E

O

C B

A

BH//CF (vỡ cựng vuụng gúc với AC) và CH//BF(cựng vuụng gúc với AB): H, I, F

nằm trờn đường chộo do đú H, I, F thẳng hàng

Bài 6: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn nội tiếp đường trũn (O) Gọi I là trực tõm của tam giỏc K là trung điểm AC Phõn giỏc gúc A cắt (O) tại M Vẽ đường cao AH Chứng minh rằng:

a) OM đi qua trung điểm N của BC

b) HAMMAO

c) AIBNOK , AI2ON

Hướng dẫn:

Phần a) và b) tương tự bài tập 4

c)AB//NK(tớnh chất đường trung bỡnh tam giỏc)

AH//ON ; BI//OK nờn ABIOKN và BAI  OKN ( gúc cú cạnh tương ứng //)

VõyAIBNOK(g – g) AI AB 2

Bài 7: Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn (O) Cỏc đường phõn giỏc của gúc A và B cắt nhau ở I

và cắt đường trũn theo thứ tự ở D và E Tia CI cắt đường trũn ở F

a) Chứng minh F là điểm chớnh giữa của cung AB

b) Chứng minh tam giỏc CDI cõn

c) DF Cắt AB ở K Chứng minh hai tam giỏc AKF và DKB đồng dạng

Hướng dẫn:

a) CI là tia phõn giỏc của gúc ACB, CI cắt đường trũn tại F suy ra AFBF

nờn F là điểm chớnh giữa cung AB

b) Ta chứng minh DICICD  IDC cân

c) AKFBKD(đối đỉnh) FAK BDK (gúc nội tiếp cựng chắn cung BF)

Vậy hai tam giỏc AKF và DKB đồng dạng (g – g)

Bài 8: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn, nội tiếp trong đường trũn (O), cú ba đường cao AD, BE, CF

và trực tõm H Gọi I, K theo thứ tự là hỡnh chiếu vuụng gúc của B, C trờn đường thẳng EF Chứng minh: a) H là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc DEF

b) Điểm đối xứng của H qua BC nằm trờn đường trũn (O)

c) DE + DF = IK

Hướng dẫn:

a) Ta cú EDH ECH(do CEHD nội tiếp)

FDHFBH (do BFHD nội tiếp)

ECHFBH (do BCEF nội tiếp)

 EDH FDH , DH là tia phõn giỏc của gúc EDF

Chứng minh tương tự ta được FH là tia phõn giỏc của gúc DFE suy ra H là giao điểm cỏc đường phõn giỏc của DEFnờn H là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc DEF

b) M là điểm đối xứng của H qua BC ta chứng minh tứ giỏc ABMC nội tiếp đường trũn (O)

BACBMC180

c) Do FC là tia phõn giỏc của gúc DFE , BFFC nờn FB là phõn giỏc ngoài của tam giỏc DEF tại đỉnh F Do đú B là tõm đường trũn bàng tiếp của tam giỏc DEF trong gúc DEF , theo tớnh chấ đường trũn bàng tiếp ta cú: 2EI = EF + ED + DE (1)

Chứng minh tương tự C là tõm đường trũn bàng tiếp tam giỏc DEF trong gúc DFE và:

2FK = EF + FD + DE (2)Từ (1) và (2) ta được: EI + FK = EF +DF +DE

(IF EF) EF EK EF DE DF

        DEDFIFFEEKIK(đ.p.c.m)

Bài 9: Cho tam giỏc ABC cú đường trũn nội tiếp tõm I tiếp xỳc với cỏc cạnh AB, AC theo thứ tự tại E,

F Cỏc đường thẳng BI, CI cắt EF theo thứ tự tại M, N Chứng minh rằng bốn điểm B, M, N, C cựng thuộc một đường trũn

Hướng dẫn:

Giả sử M nằm ngoài đoạn EF

Khi đú ta cú:  1  1  

1

2

H

K I

M

N

O

C B

A

K B

I

C

D

E F

A

M

K H

C

O I

B

E F

D A

 

(180 A) 90

Mặt khác, theo tính chất của hai tiếp tuyến

của một đường tròn kẻ từ một điểm ta có: AIEF

1

A

2

Vậy: MICAFE MFC Suy ra bốn điểm M, F, I, C nằm trên một

đường tròn Do đó:   0

BMC IFC 90 Nếu M nằm trong đoạn EF thì kết quả trên vẫn không thay đổi

Chứng minh tương tự ta được:  0

BNC90 Suy ra BMCBNC. Do đó B, C, M, N, nằm trên một đường tròn

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông ở A Trên AC lấy một điểm M và dựng một đường tròn đường kính

MC Nối BM và kéo dài cắt đường tròn tại cắt đường tròn tại D Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S Chứng minh rằng:

a) ABCD là một tứ giác nội tiếp

b) AC là phân giác của góc SCB

Hướng dẫn:

BACBDC90  ABCDlà tứ giác nội tiếp

b) ta chứng minh BCA vµ ACS cùng bằng góc BDA

Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm trên cạnh AC (D không trùng với A và C) Đường tròn đường kính CD cắt BC tại E; Các đường thẳng BD và AE cắt đường tròn đường kính

CD này tại các điểm thứ hai là F và G Chứng minh rằng:

a) ABED là tứ giác nội tiếp

b) AB // FG

Hướng dẫn:

a) Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800

b) Ta chứng minh ABGBGE ở vị trí so le trong

Bài 12: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và AB = BD Tiếp tuyến của (O) tại A cắt đường thẳng BC tại Q Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng AB và CD

a) Chứng minh tứ giác AQRC nội tiếp trong một đường tròn

b) Chứng minh DA song song với QR

Hướng dẫn:

a) Ta cã: QCR s®BC s®CD BAD ; QAR s®AB s®BD BAD

nªn QCR QAR SuyraAQRC lµ tø gi¸c néi tiÕp ® îc mét ® êng trßn



b) Do AQRC là tứ giác nội tiếp được đường tròn nên ta có: QRAQCA.

Do AB = BD ta có: BADBDA BCA QCA Suy ra QRA  BAD ở vị tí so

le trong Vậy AD // QR

Bài 13: Cho tam giác ABC cân đỉnh A, nội tiếp trong đường tròn tâm O Điểm D nằm trên cung nhỏ

AC của đường tròn (O) Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B cắt đường thẳng AD tại M Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại N Chứng minh

a) Tứ giác DNMB nội tiếp được

b) MN song song với BC

Hướng dẫn: như bài 12

Bài 14: Cho H là trực tâm của một tam giác ABC

a) Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua AC Chứng minh H’ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHB ; BHC ; CHA ;

có bán kính bằng nhau

c) Kẻ đường kính AA’ Chứng minh tứ giác BA’CH là hình bình hành

R Q

D C B

I

2 1

2 1

M

N

F E

C B

A

2 1

O D M S

B

C A

O S M D C

B

A

G

F E O

B

A G

F E

O D

B

C A

Hướng dẫn:

a) Ta chứng minh tam giác HBH’ có BC vừa là đường cao vừa là phân giác

góc HBH’ nên tam giác HBH’là tam giác cân do đó BC cũng là đường trung trực

của HH’ hay H và H’ đối xứng qua BC

- Chứng minh H’ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

ta chứng minh tứ giác ABH’C nội tiếp( dấu hiệu   0

BACAH ' C180 ) b)Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHB ; BHC ; CHA ; có bán kính bằng nhau bằng bán kính đường tròn (O) (ta chứng minhBHCBH ' C, các tam giác khác tương tự)

c) Ta chứng minh BH//A’C(cùng vuông góc với AC) CH//BA’(cùng vuông góc với AB)

Bài 15: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC Chứng minh:

a) Tứ giác ADNB và tứ giác CBMD nội tiếp được

b) DB.BC = DM.AC

Hướng dẫn:

a) Ta chứng minh   0

ADBANB90 nên tứ giác ADNB nội tiếp

DMCDBC90 b) Ta chứng minh SADC SBDC suy ra hệ thức cần chứng minh

Bài 16: Cho đường tròn (O) hai dây cung AB và CD (AB > CD) Các đường thẳng chứa hai dây cung

đó cắt nhau tại I ở bên trong đường tròn Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD

a) Chứng minh: OEAB

b) Chứng minh tứ giác OEIF nội tiếp trong một đường tròn Xác định tâm và bán kính đường tròn đó c) So sánh các góc: OIA vµ OIC 

Bài 17: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nủa đường tròn Gọi C, D là hai điểm di động trên nửa đường tròn Các tia AC, AD cắt Bx lần lượt tại E và F (F nằm giữa B và E) a) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp được

b) Khi C, D di động trên nửa đường tròn Chứng minh:

AC.AE = AD.AE có giá trị không đổi

BOD30 , DOC60 Hãy tính diện tích của tứ giác ACDB

Hướng dẫn:

a) Ta chứng minh   0

CEFCDF180 bằng cách chứng minh CDACEF b) Xét các tam giác vuông AEB và AFB có các đường cao tương ứng

là BC và BD vận dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có :

AC.AE = AD.AE = AB2 = 4R2 có giá trị không đổi

ACDB OBD DOC COA



Bài18: Cho tam giác ABC có các cạnh BC < AC < AB và nội tiếp trong đường tròn tâm O Các tiếp tuyến với đường tròn tại B và C cắt nhau tại D Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường tròn tại E và F, cắt AC tại I Chứng minh:

a) Năm điểm B, O, I, C, D nằm trên một đường tròn

b) IE = IF

Hướng dẫn:

a) Tứ giác OBDC nội tiếp hay B nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD

Ta có A 1s®BC COD

2

  (góc nội tiếp và góc ở tâm)

 

ACID (do DI // AB)

suy ra: CODCID Do đó tứ giác OICD nội tiếp, tức là I nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD

Vậy: B, O, I, C, D nằm trên một đường tròn

b) Do OICD nội tiếp nên   0

OICOCD90 vì thế OIEF suy ra IE = IF

Bài 19: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyếnAMN của đường tròn đó Gọi I là trung điểm của dây MN

A' H'

O H

C B

A

N M

B A

O

E

F D C

B A

F O

I E D C A

B

a) Chứng minh năm điểm A, B, I, O, C cựng nằm trờn một đường trũn.

b) Nếu AB = OB thỡ ABOC là hỡnh gỡ? tại sao? Tớnh diện tớch hỡnh trũn và độ dài đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc ABOC theo bỏn kớnh R của đường trũn (O)

Hướng dẫn:

a) Ta chứng minh B, C, I cựng nhỡn đoạn thẳng OA dưới một gúc vuụng

khụng đổi

b) Nếu AB = OB thỡ tứ giỏc ABOC là hỡnh vuụng( vỡ tứ giỏc cú cỏc cạnh

bằng nhau và cú một gúc vuụng) Khi đú 2

ABOC

Độ dài của đường trũn ngoại tiếp là: R 2

Bài 20: Cho tam giỏc ABC (AB = AC) Cỏc cạnh AB, BC, CA tiếp xỳc với đường trũn (O) tại cỏc điểm tương ứng D, E, F BF cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai là I Tia DI cắt BC tại M Chứng minh: a) Tam giỏc DEF cú 3 gúc nhọn

b) DF // BC và tứ giỏc BDFC nội tiếp

c) BD BM

CB CF

Hướng dẫn:

a) Ta cú: AD = AF(hai tiếp tuyến cắt nhau)

ADF cân tại A ADF AFD 90

ADFDEF (cùng bằng nửa số đo cung DF) DEF90 Chứng minh tương tự ta cũng được:  0  0

FDE90 và DFE90 Vậy DEFcú ba gúc đều nhọn.(đ.p.c.m)

b) Trong ADF cân tại A  cú: ADF 1800 A

2





Trong ABC cân tại A  cú: ABC 1800 A

2



 Vậy ADFABC ở vị trớ đồng vị  DF // BC

BCF BDF ABCBDFADFBDF180  tứ giỏc BDFC nội tiếp

c) Ta cú FBCDFB (so le trong); DFB  BDM (cùng bằng nửa số đo cung DI)   FBC BDM (1)

Ta lại cú: FCBDBM (2) (hai gúc ở đỏy của một tam giỏc cõn)

Từ (1) và (2) suy ra BDM đồng dạng với CBF  Do đú BD BM

CB CF (đ.p.cm) Bài 21: Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn (O)

a) Tia phõn giỏc của gúc BAC cắt BC tại I, cắt đường trũn tại M Chứng minh 2

MC MI.MA

b) Kẻ đường kớnh MN, cỏc tia phõn giỏc gúc B và gúc C cắt AN tại P và Q Chứng minh bốn điểm P,

C, B, Q cựng thuộc một đường trũn

Hướng dẫn:

a) Ta chứng minh MACMIC (chắn hai cung bằng nhauMC  MB)

ACMMIC nờn tam giỏc ACM đồng dạng với tam giỏc CIM

Từ đú suy ra MC MA 2

b) Gọi J là giao điểm ba đường phõn giỏc của ta giỏc

Ta chứng minh tứ giỏc APCJ nội tiếp(   0 A

PAC PJC 90

2

PAJ 90  JCP90 hayQCP90

Chứng minh tương tự ta cũng cú tứ giỏc AQBJ nội tiếp suy ra  0

QBP90

Tứ giỏc BCPQ cú   0

QCPQBP90 vậy tứ giỏc BCPQ nội tiếp hay bốn đỉnh P, C, B, Q cựng thuộc một đường trũn

I

N

C

B

A

O I

M

B

A

J O N

M I

Q

P

C B

A

Bài 22: Cho (O) đường kính AC, lấy B thuộc OA, dựng đường tròn (O’) đường kính BC Gọi M là trung điểm của AB, qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt đường tròn (O) tại D và E Đường thẳng DC cắt (O’) tại I Chứng minh rằng:

a) BD // AE ; BE //AD

b) Ba điểm E, B, I thẳng hàng

c) Tứ giác MICE nội tiếp

d) MI là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

e) DBEC

Hướng dẫn:

a) Ta chứng minh ADBE là hình bình hành (vì có hai đường chéo

cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) suy ra BD//AE và BE//AD

b) Ta chứng minh BE//AD và BI//AD(cùng vuông góc với DC)

EMCEIC90 nên tứ giác MICE nội tiếp được

d) Ta chứng minh



0

1

1 2

I E ; E MBE 90 , MBE IBO ' ; I IBO '

I I 90 MIO' 90 hay MI IO



 

Vậy MI là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

e) Chỉ ra B là trực tâm của tam giác DCE nên DBEC

Bài 23: Cho đường tròn tâm O, bán kính R và I là trung điểm của một dây cung AB Hai dây bất kì

CD và EF đi qua I với EF > CD (C, E cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB) CF cắt AB tại M và ED cắt

AB tại N Vẽ dây FG // AB Chứng minh:

a) Tam giác IFG cân

b) Tứ giác INDG nội tiếp đường tròn

c) MI = IN

Hướng dẫn:

a) AB//FG suy ra AFBG do đó AF = BG

IAFIBG(AGBF)và IA = IB(gt) nên AIFBIG

suy ra IF = IG nên tam giác IFG cân tại I

NDGEFG180 (tứ giác EDGF nội tiếp)

NIGIGF(so le trong) mà EFGIGF(tam gi¸c IGF c©n) suy ra   0

NDGNIG180 Vậy tứ giác INDG nội tiếp đường tròn

c) Ta chứng minh IMFING ( MIFNIG ; IF = IG ; MFINGI ) suy ra MI = IN

Bài 24: Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB kẻ một dây AC Gọi E là điểm chính giữa cung

AC, gọi H là giao điểm của OE và AC

a) Chứng minh: OE // BC

b) Từ C kẻ đường thẳng song song với BE, đường thẳng này cắt đường thẳng OE tại D Chứng minh BCDE là hình bình hành

c) Đường thẳng AE cắt CD tại K Chứng minh EKCH là tứ giác nội tiếp được

d) Gọi P là giao điểm của đường thẳng KH với AB Chứng minh tam giác AHP đồng dạng với tam giác ABC

Hướng dẫn:

a) OE // BC vì cùng vuông góc với AC

b) Chứng minh BCDE là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song

c) Ta có OEAC (vì E là điểm chính giữa cung AC)

EKCH nội tiếp được

d) AHP vµ ABC  có BAC chung (1)

AHPKHC (®.®) ; KHCKEC(góc nội tiếp cùng chắn cung KC của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

EKCH) ; KEC CBA (cùng bù với AEC ) nên AHP CBA (2)

Từ (1) và (2) suy ra AHP vµ ABC  đồng dạng

M

1

3 2 1

O' O B I

E

D

C A

D

N M

O

G F

E C

A

O P H

D

C

K E

B A

Bài 25: Cho Cho ABCD là tứ giác nội tiếp Gọi P là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

a) Chứng minh hình chiếu vuông góc của P lên bốn cạnh của tứ giác là bốn đỉnh của một tứ giác có đường tròn nội tiếp

b) M là một điểm trong tứ giác sao cho ABMD là hình bình hành Chứng minh nếu

CBMCDM th× ACDBCM

Hướng dẫn:

a) Gọi H, K, L, N là hình chiếu của P lên các cạnh AB, BC, CD, DA

Ta chứng minh các tứ giác AHPN, BHPK, CKPL, DLPN là các

tứ giác nội tiếp, từ đó chứng minh H1 H ; K 2  1 K ; L 2  1 L ; N 2  1 N 2

(vận dụng tính chất góc nội tiếp) P là giao điểm các đường phân giác của

các góc nên P là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác HKLN

b)

Bài 26: Cho đường tròn tâm (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Trên đoạn thẳng

OB lấy điểm H (H khác O và B) Đường thẳng CH cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K Đường thẳng vuông góc với AB tại H cắt tiếp tuyến tại K của đường tròn tại I Chứng minh:

a) Tứ giác OHKI nội tiếp được

b) Tứ giác CHIO là hình bình hành

Hướng dẫn:

a) Chứng minh   0

OHIOKI90 thì tứ giác OHIK nội tiếp

b) Tứ giác CHIO có HI // CO (vì cùng vuông góc với AB)

OCKOKC(OC = OK = R), OIHOCK (gnt cùng chắn cung OH )

DOIOIH(slt), từ đó suy ra OCHDOI ở vị trí đồng vị nên CH // OI

Vậy tứ giác CHIO là hình bình hành

Bài 27: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) Kẻ đường cao AH, trên tia đối của tia HB lấy

HD = HB, rồi vẽ tù C đường thẳng CE vuông góc với AD tại E Chứng minh:

a) Tia CB là phân giác của góc ACE

b) Bốn điểm A, H, E, C cùng nằm trên một đường tròn và tam giác AHE cân

HE HD.HC

Hướng dẫn:

a)Ta chứng minh ABD c©n (vì có đường cao vừa là trung tuyến)

do đó ABDADB ta lại có ABDEDC (®.®) nên ABCEDC

trong tam giác vuông ABC có   0

ACBABC90 (1) trong tam giác vuông EDC có   0

ECDEDC90 (2)

Từ (1) và (2) suy ra ACBECB Vậy CB là tia phân giác của góc ACE

b) Tứ giác AHEC có   0

AHCAEC90 nên nó nội tiếp trong một đường tròn Vậy bốn điểm A, H, E, C cùng nằm trên một đường tròn

ACHECH HAHE HAHEdo đó tam giác AHE cân tại H

c) trong tam giác vuông ABC AH là đường cao có 2

AH HB.HC mà HB = HD ; HE = HA nên suy

ra

2

HE HD.HC

Bài 28: Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B Vẽ dây AE của (O1)tiếp xúc với (O2), vẽ dây AF của (O2) tiếp xúc với (O1) tại A

a) Chứng minh: BE AE22

BF AF b) Gọi C là điểm đối xứng của A qua B Có nhận xét gì về hai tam giác EBC và FBC

c) Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp

Hướng dẫn:

a) A1F1(cùng chắn cung AB của (O2))

H

O

2 2

1

2

P

L

K N

M D

C

B A

O

I K H

D

C

B A

D H

E

C B

A

2 2 1

2

1 2

1

C

O2

O1

F

A

 2  2

1

A E (cïng ch¾n cung AB cña (O ))

suy ra tam giác ABE đồng dạng với tam giác FBA (g – g)

2

2

b) Từ (1) ta thay AB = BC ta có BC BE CBE FBC (c g c)

c) TừCBEFBC C 1F2 theo cmt ta có A1F1

1 2 1 2 1 2 2 2 EAFECFA A C C F A F C 180 (tổng ba góc trong tam giác)

Vậy AECF nội tiếp được

Bài 29: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường cao từ đỉnh A cắt đường tròn (O) tại F AD là đường kính của đường tròn (O)

a) Chứng minh các góc BAC và DAF có cùng tia phân giác và B, C, F, D là bốn đỉnh của hình thang cân

b)Chứng minh AB.AC = AD.AE

c)Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh BC là đường trung trực của HF và DH đi qua trung điểm I của BC

d)Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh O, G, H thẳng hàng

Hướng dẫn:

a) gọi AM là tia phân giác của góc DAF, AM cắt (O) tại M ta chứng minh

BFCD(BC//FD do cùng vuông góc với AF) và có FMMD suy ra

BMCM BAMCAMnên AM là phân giác chung của BAC vµ DAF

BC//FD và có BDCF nên CBFBCD do đó BCDF là hình thang cân

b) Ta chứng minh AEB ACD(g g) AB AE AB.AC AD.AE

c) Đã được hướng dẫn các bài trên

d) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC AI là trung tuyến của ABC nên AG 2AI

3



Ta lại có AI là trung tuyến của tam giác AHD nên G cũng là trọng tâm tam giác AHD mà HO là trung tuyến của tam giác AHD Vậy H, G, O thẳng hàng

Bài 30: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) M, N, P theo thứ tự là điểm chính giữa các cung AB, BC, AC Các đoạn thẳng BP và AN cắt nhau tại I, MN cắt AB tại E Chứng minh:

a) tam giác BNI cân

b) AE.BN = EB.AN

c) EI // BC

d) D là giao điểm AN và BC thì AN AB

BN BD Hướng dẫn:

a) Ta chứng minh IBNBIN dựa vào số đo cung nên tam giác BNI cân tại N

b) Xét tam giác ANB có NE là phân giác của góc ANB của tam giác ANB

AE.BN BE.AN

c) Do tam giác BNI cân tại N có NE là phân giác cũng là trung trực của BI nên EB = EI  BEI c©n Tiếp tục ta chứng minh EIBIBC (cùng bằng EBI ) ở vị trí so le trong nên EI // BC

d) NBD BAN ; BND  BNA (chung) BND ANB AN AB

Bài 31: Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) có AB AC R 2 

a) Tính độ dài BC theo R

E

M D

I F

G O H

C B

A

E

D O

P M

N

I

C B

A

b) M là điểm di động trên cung nhỏ AC, đường thẳng AM cắt đường thẳng BC tại D Chứng minh rằng AM.AD = AC2

c) Chứng tỏ rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD di động trên một đường tròn cố định khi

M di động trên cung nhỏ AC

Hướng dẫn:

OA OB R R (R 2 ) AB nên tam giác AOB vuông tại O,  0

AOB90 Tương tự ta cũng có  0

AOC90

AOB BOC 90 90 180 do đó B, O, C thẳng hàng nên BC = 2R

b) Ta có ADC 1(s®AB s®CM)  1(s®AC s®CM)  1s®AM ACM

suy ra: ADCACM(góc A chung và ADCACM ) Do đó AD AC 2

AD.AM AC

c) Tam giác ABC vuông cân nên  0

ACB45

ACBACDCMD CMA 180 mà

ACDCMA(do ADCACM) nªn CMDACB45 Điều này chứng tỏ khi M di chuyển trên cung nhỏ AC thì tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD di chuyển trên đường thẳng qua C song song với AB

Bài 32: Cho đường tròn đường kính AB và một dây cố định vuông góc với AB tại H, M là một điểm

di động trên cung nhỏ BC, AM cắt CD tại I

a) Chứng minh MA là tia phân giác của góc CMD

b) Chứng minh hệ thức MA.MI = MC.MD

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AID cắt MD tại E Chứng minhCEAM, từ đây suy ra quĩ tích giao điểm F của CE và AM

d) Tìm quĩ tích điểm E khi M di chuyển trên cung nhỏ BC

Hướng dẫn:

a) ACAD  M 1 M 2 AM là phân giác của góc CMD.

b) Chứng minh :

MAD MCI (g g) MA MD MA.MI MC.MD (1)

c) Chứng minh MAEMDI (M chung;MAE  IDM (gnt cïng ch¾n IE)) 

MA.MI MD.ME (2)

Từ (1) và (2) suy ra MC = ME , nên tam giác MCE cân tại M AM là tia phân giác cũng là đường cao hay AMCE C, A cố định  0

CFA90 Do đó quĩ tích của F là đường tròn đường kính AC

d) AM là trung trực của CE suy ra AC = AE = AD AC = AD không đổi vì thế E nằm trên đường tròn tâm A bán kính AC

Giới hạn: Do M di chuyển trên cung nhỏ BC nên Khi M C th× E C ; M B th× E D   

Vậy E nằm trên cung CED của đường tròn (A, AC)

Bài 33: Cho tam giác ABC vuông tại C, đường cao CH Gọi I là trung điểm của AB

a) Chứng minh: 2 2

CH AH 2AH.CI

b) Đường thẳng vuông góc với CI tại C cắt AB tại G, cắt các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (I, IC) lần lượt tại F và E Chứng minh AF + BE = EF

c) Chứng minh: HA GA

HB GB d) Khi AB = 2R , số đo cung AC bằng o

60 Tính thể tích hình nón

có đường cao GB, bán kính BE khi tam giác vuông GBE quay quanh GB

Hướng dẫn:

a) Tam giác ACH vuông có : 2 2 2

AC AH HC

Tam giác ACB có: 2

AC AH.AB mµ AB = 2CI

O

I M

D C

B

A

1 M O

F

E D

C

B A

E

B I

H

C

A F

G

Vậy 2 2

CH AH 2AH.CI

b) Vận dụng tính chất tiếp tuyến Ta có AF + BE = FC + CE = EF

c) Từ AF // BE // HC HA CF AF mµ GA AF HA GA

d) Từ AB = 2R và  0

s®AC60  ACR ; BCBER 3 ; GE2R 3 ; GB3R

Bài 34: Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O) M là một điểm di động trên cung nhỏ BC Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC

a) Chứng minh tam giác DMC đều

b) Chứng minh: MB + MC = MA

c) Chứng minh tam giác ADOC nội tiếp được

d) Khi M di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đường tròn cố định nào?

Hướng dẫn:

a) Tam giác DMC có MD = MC ;   0

AMCABC60  DMC đều b) AC CB ; C 1 C ; MC 2 MD ADC BMC (c g c) MB DA

nªn MB + MC = MD + DA = MA

AOCADC120  ADOC nội tiếp

ADC120 AC cố định  khi M di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên cung chứa góc

1200dượng trên đường thẳng AC phần nằm trong tam giác ABC

Bài 35: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm I cố định trên trên đoạn AB( I A;I B) 

M là điểm di động trên đường tròn (O) (M A;M B)  Qua I kẻ đường thẳng d vuông góc với AB Gọi giao điểm của các đường thẳng MA, MB với d lần lượt là C, D

a) Chứng minh: IA.IB = IC.ID

b) Gọi E là điểm đối xứng của B qua I Chứng minh tứ giác ACDE nội tiếp được

c) Chứng minh tâm K của đường tròn (ACD) di động trên một đường cố định khi M di động

Hướng dẫn:

a) Chứng minh IACIDB

IA IC IA.IB IC.ID

ID IB

b) Ta chứng minh C DEB(cïng phô víi A) 

suy ra tứ giác ACDE nội tiếp được

c) Chứng minh tâm K của đường tròn(ACD)

di động trên một đường cố định:

- Tứ giác ACDE nội tiếp được K là tâm của đường tròn(ACD)

suy ra K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ACDE

nên KA = KE ; Mà A, E cố định nên K di động trên đường

trung trực của đoạn thẳng AE

Bài 36: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB M là điểm di động trên nửa đường tròn Tia BM cắt tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn tâm O tại D

a) Chứng minh: 2

DA DM.DB

b) Gọi I là trung điểm của AD Chứng minh MI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB

c) Trên tia AM lấy điểm C sao cho AC = BM Khi M di động trên

nửa đường tròn đường kính AB thì C di động trên đường cố định nào?

Hướng dẫn:

a) Tam giác ABD vuông tại A

có AM là đường cao(  o

AMB90 g.n.t.ch¾n nöa ® êng trßn) Theo HTL ta có: 2

DA DM.DB

b) AMDvu«ng, MI lµ trung tuyến

MI AI

Chứng minh OMI OAI(c.c.c)

O E d

D I

M

C

E

O C

D

A B

2

1

60 0

B D

M

C A