Các bài toán khó môn hình học lớp 7

Vậy tia AO phải nằm trong góc CAH .Lập luận tương tự ta có OB> OC và ÐAOB < ÐAOC Vậy ÐAOB < ÐAOC Û OB > OC BÀI3 : cho tam giác ABC vuông cân tại A .Gọi M là trung điểm BC ,G là điểm thuộ[r]

1 CÁC BÀI TOÁN KHÓ HÌNH HỌC LỚP BÀI 1: Cho hình chữ nhật ABCDvới AB = 2AD ,M là trung điểm đoạn AB.Trên AB lấy H cho Ð ADH = 150.Hai đường thẳng CH và DM cắt K.Hãy so sánh độ các đoạn thẳng DH và DK LỜI GIẢI : Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ là đường thẳng DH dựng tam giác DHN Gọi Q là trung điểmDC ta có : AD = DQ = QC ÐADH = ÐQDN = 150 DH = HN (  DHN ) Þ D ADH = D QDN (c g c ) Þ ÐNQD = ÐHAD = 900 Þ ÐNQC = 900 Þ D NQD = D NQC (c g c ) Þ ÐNCQ = ÐNDQ = 150 Þ ÐDNC = 1800 - (150 + 150 ) = 1500 Từ đó suy HNC  360  (60  150 )  150  HNC  DNC (c.g c)  CH  CD Tức là  CHD cân C Mà HDC  90  15  75 nênDHC  75 (1) 0 Do tam giác ADM vuông cân A nên ADM  45 SuyraHDM  45  15  30 (2) Xét tam giác DHK từ (1) và (2) suy HKD  75 (3) Từ (1) và(3) suy tam giác DHK cân D Tức là DH = DK BÀI2 :Cho tam giác ABC cân A lấy điểm O tam giác cho AOB  AOC So sánh độ dài OB và OC Lop7.net Kẻ đường cao AH, điểm O thuộc AH Thì dễ thấy OB =OC và ÐAOB = ÐAOC Trái giả thiết Gỉa sử tia AO nằm góc BAH và CO cắt AH M nối BM ta có OC = OM + MC = OM + MB > OB từ đó suy ÐOCB < ÐOBC suy : ÐACO = ÐACB - ÐOCB > ÐABC - ÐOBC = ÐABO (1) Ta có ÐCAO > ÐCAH = ÐBAH > ÐBAO (2) Từ (1) và (2) ta có : ÐAOB = 1800 - (ÐABO + ÐBAO ) > 1800 - (ÐAC + ÐCAO ) = ÐAOC Điều này trái giả thiết Vậy tia AO phải nằm góc CAH Lập luận tương tự ta có OB> OC và ÐAOB < ÐAOC Vậy ÐAOB < ÐAOC Û OB > OC BÀI3 : cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M là trung điểm BC ,G là điểm thuộc cạnh AB cho AB = 3AG,Elà chân đường vuông góc hạ từ M xuống CG.Các đường thẳng MG và AC cắt D.So sánh độ dài DE và BC LỜI GIẢI : Trên tia CA lấy điểm D’ cho Alà trung đểm CD’ thì đường trung tuyến BAvà D’M cắt G với 3AG = AB đó điểm D’ º D Mặt khác BA ^ DC nên D BDC vuông cân B Do ÐBCD = 450 Þ D BDCvuông cân B Do đó BD = BC (1) Gọi N là giao đểm CG và BD Vì G trọng tâm D BDC Nên N là trung điểm BD Lop7.net Từ đó BN = CM = BM Hạ BK ^ NC Thì KM =BM = CM vì D KCM cân M nên KE = CE (2) Lại có ÐBNK = ÐCME ( Cùng phụ với ÐBCN ) Suy D BNK = D CME Þ ÐNBK = ÐMCE Và BK = CE (3) Từ (2) và (3) suy KE = KB Nên D BKE là tam giác vuông cân K đó ÐBEK = ÐBEM = 450 Hai tam giác BKDvà CEB Có ÐDBK = ÐBCE Và BK = CE , BD = CB đó D BKD = D CEB Þ ÐDKB = ÐBEC = 1350 Suy D DKB = D DKE (c g c ) Þ DB = DE (4) Từ (1) và (4) suy DB = DE BÀI : Cho tam giác ABC với ÐABC = ÐACB = 360 Trên tia phân giác góc ABC lấy điểm N cho ÐBCN = 120 Hãy so sánh độ dài CN và CA LỜI GIẢI : Trên tia BA lấy điểm Dsao cho BD = BC Ta có tam giác BCD cân B Vì 1800 - 360 ÐABC = 360 nênÐBCD = ÐBDC = = 720 Ta lại có ÐDAC = ÐABC + ÐACB = 360 + 360 = 720 (Tính chất góc ngoài ) Þ ÐBDC = ÐDAC (= 720 ) Suy tam giác ACD cân C dó CA = CD (1) Xét tam giác BDN và BCN có : BN chung BD= BC Và ÐCBN = ÐDBN Nên suy D BDN = D BCN (c g c ) Þ CN = DN Þ D NCD Cân N lại có : ÐNCD = ÐBCD - ÐBCN = 720 - 120 = 600 Þ D NCD là tam giác Þ CN = CD (2) Từ (1) và (2) ta có CA = CN BÀI 5: Cho tam giác ABC với ÐBAC = 550 , ÐABC = 1150 Trên tia phân giác góc ACB lấy điểm M cho ÐMAC = 250 Tính số đo góc BMC LỜI GIẢI : Lop7.net Ta có ÐC = 1800 - (550 + 1150 ) = 100 Kẻ DE ^ AM (E  AC) Ta có ÐDAM = ÐDMA = 300 Þ D DAM cân D từ đó suy ÐADM = 1200 Và DE là đường phân giác góc ADM nên ÐEDM = ÐBDM = 600 đó D EDC = D BDC (c g c ) Xét tam giác BMC và EMC có BC = EC ÐMCB = ÐMCE = 50 , MC chung Do đó D BMC = D EMC 9c g c ) Þ ÐBMC = ÐEMC = 1800 - ÐDME = 1800 - ÐDAE = 1800 - 550 = 1250 BÀI 6: Cho tam giác ABC cân trên cạnh đáy BC lấy đểm D cho CD = BD So sánh số đo góc ÐBAD Và Ð CAD LỜI GIẢI : Gọi M là trung điểm DC Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME = MA Ta có AMC  EMD Vì có MD = MC , MA = ME AMC  EMD Nên DE = AC Và A3  E Mặt khác D1  B (tính chất góc ngoài tam giác ) B  C  D1  C  AC  AD  DE  DA  A2  E  A2  A3 Vì A3  A1 (doABD  ACM (c.g c)  A2  A3  A1  A3  2A1  A2  A3 Suy BAD  DAC BÀI 7: Cho tamgiác ABC lấy điểm D thuộc nửa mf không chứa C bờ AB cho DA  DB và AD = AB Lấy điểm E thuộc nửa mf không chứa B bờ AC cho AE  AC và AE = AC So sánh diện tích tam giác ADE và ABC Lop7.net LỜI GIẢI : Ký hiệu SABC là diện tích tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy B’ cho AB = AB’,ta có ADB' vuông cân ,suy AD = AB’ và AD  AB’ Xét tam giác DAE và B’AC có AD = AB’ , AE = AC , DAE  B' AC  DAE  B' AC  S DAE  S ABC (1) Mặt khác tam giác B’AC và ABC có AB’ = AB , cùng đường cao hạ từ đỉnh C đó SB’AC = SABC (2) Từ (1) và (2) suy SADE = SABC BÀI 8: Cho tam giác ABC có AB> AC Trên các cạnh AB , AC lấy các điểm M,N cho AM = AN gọi K là giao điểm BN và CN Hãy so sánh độ dài KB và KC LỜI GIẢI : Trên đoạn AB lấy điểm I cho AI = AC đó AMC  ANI (c.g.c)  NI  MC (1) vì tam giác AIC cân A suy AIC  90 ( Tia IN nằm tia IA,IC ) vì AIN  BIN  180  BIN  90 Trong tam giác BIN góc là góc tù suy BN > IN (2) Từ (1)và (2) ta có BN > CM (3) AMC  ANI nên AMC  ANI Vì AMN  ANM  KMN  INM ta lại có INM  KNM (do I nằm Mvà B ) đó KMN  KNM  KM  KN (4) Từ (3) và (4) ta có BN+KM > CM+KN  BN –KN > CM – KM  BK > CK BÀI 9: Cho tam giác ABC có góc ACB = 450 và góc A tù Kẻ tia BD cắt tia đối tia CA D cho góc CBD = góc ABC kẻ AH vuông góc với BD H tính số đo góc CHD Lop7.net LỜI GIẢI : Gọi tia đối tia AB là tia Ax Xét tam giác ABH ta có : HAx  AHB  ABH  90  2B1 Xét tam giác ABC ta có : A2  C1  B1  45  B1  HAx suy AC là tia phân giác góc Hax Kết hợp với giả thiết BC là tia phân giác góc ABH suy HC là phân giác góc AHD Do góc AHD = 900 Nên suy góc CHD = 450 BÀI 10 Cho tam giác ABC vuông cân đáy BC Gọi M,N là trung điểm AB , AC Kẻ NH  CM H kẻ HE  AB E Chứng minh tam giác ABH cân và HM là tia phân giác góc BHE LỜI GIẢI : a, Từ A kẻ AK  MC K và AQ  HN Q Hai tam giác vuông MAK và NCH có MC = NC (= AB ) , A1  C1 (cùng phụ với góc AMC )  MAK  NCH  AK  HC (1) Dễ thấy BAK  ACH (c.g c)  BKA  AHC Tam giác vuông AQN và CHN có AN = NC , ANQ  CNH  ANQ  CNH  AQ  CH (2) Từ (1) và (2) suy AK = AQ  AH là tia phân giác góc KHQ  AHQ  45  AHC  135  BKA  135 Từ Lop7.net BKA  BKH  AKH  360  BKH  135 Tam giác AKH có KHA  45 Nên nó vuông cân K suy KA = KH Xét 2tam giác BKA và BKH có BK chung , BKA  BKH  135 , KA = KH  BKA  BKH (c.g c)  BA  BH hay tam giác ABH cân B b, ta có A1  H theo (1) mà HE // CA  H  C1 (góc đồng vị) vì A1  C1  H  H hay HM là tia phân giác góc BHE BÀI 11: Cho tam giác ABC với góc A khác 900 và góc B KHÁC 1350 Gọi M là trung điểm BC.Về phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác ABD vuông cân đáy AB Đường thẳng qua A vuônggóc với AB cắt CE P và cắt DM Q chứng minh Q là trungđiểm BP LỜI GIẢI : Lop7.net Lop7.net