Người ta thường dùng cách này khi đầu bài được cho dưới dạng: "Tìm một hình nào đó thỏa mãn các điều kiện cực trị của bài toán" B' * Các ví dụ: Ví dụ 1: Trong tam giác có cùng đáy và cùn[r]
(1)Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC LỚP I.TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC LÀ GÌ? Đó là bài toán có dạng sau: Tìm giá trị nhỏ lớn đại lượng hình học y (độ dài đoạn thẳng, tổng hai hay nhiều đoạn thẳng, độ lớn góc, chu vi hình, diện tích hình v.v ) cho: y1 y y2 Trong đó y1, y2 là các giá trị cố định không thay đổi y, đồng thời phải rõ vị trí hình học y (hoặc hình có chứa y) để đó y đạt giá trị cực tiểu y = y1 cực đại y = y2 II ĐƯỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC Căn vào đầu bài, người ta thường giải toán cực trị hình học theo ba cách sau đây: Cách 1: Vẽ hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay các điều kiện đại lượng đó các điều kiện tương đương (có phải chọn đại lượng nào đó hình làm ẩn số, dựa vào mối quan hệ ẩn số đó với các đại lượng khác hình, đại lượng này có thể đầu bài cho sẵn, có thể ta làm xuất quá trình tìm lời giải bài toán Biểu thị ẩn số theo các đại lượng đã biết, các đại lượng không đổi biến đổi tương đương biểu thức vừa tìm để cuối cùng xác định giá trị đại lượng cần tìm từ đó suy vị trí hình để đạt cực trị) Người ta thường dùng cách này đầu bài cho dạng: "Tìm hình nào đó thỏa mãn các điều kiện cực trị bài toán" B' * Các ví dụ: Ví dụ 1: Trong tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác nào có chu vi nhỏ nhất? Giải (h.1) Ao x A y Xét các tam giác có chung đáy là BC = a và có cùng diện tích là S Gọi AH là đường cao tương ứng với đáy BC Ta có: H 2S C B S AH.BC AH (không đổi) (h.1) a Vậy đỉnh A di động trên đường thẳng xy // BC và cách BC khoảng Ta cần xác định vị trí A trên xy để chu vi ABC có giá trị nhỏ Lop8.net 2S a (2) Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng S Chu vi ABC = AB + BC + CA = AB + AC + a, vì a không đổi nên chu vi ABC nhỏ và AB + AC nhỏ Gọi B' là điểm đối xứng B qua x, y; B'C cắt xy Ao Xét AB'C ta có: AB' + AC B'C (1) Thay AB' = AB; AoB' = AoB vào (1) AB + AC AoB + AoC (2) (2) có dấu "=" và B', A, C thẳng hàng Khi đó A Ao Vì AoB = AoB' = AoC nên AoBC cân Ao Vậy các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác cân có chu vi nhỏ Ví dụ 2: Cho ABC có các góc B và C nhọn, BC = a, đường cao AH = h Xét các hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M AB; N AC; P, Q BC Xác định vị trí hình chữ nhật MNPQ để nó có diện tích lớn Giải: Vị trí hình chữ nhật MNPQ hoàn toàn xác định ta xác định vị trí MN Đặt MQ = x; MN = y AK = h - x A AMN ABC MN AK BC AH y hx a (h x ) y a h h Gọi S là diện tích hình chữ nhật MNPQ thì: a S = xy = x (h - x) h (*) y K M N h x B Q H (h2) P C h2 h2 a a ) S = (hx - x2) = (hx - x2 + 4 h h h h2 a h2 ( x x ) = h 4 h2 h ah a h ah ( x ) = (x ) h 4 h h dấu "=" xảy x - x đó K là trung điểm AH hay MN là 2 a = h đường trung bình ABC ah h x Vậy max S = Chú ý: Ta có thể giải cách khác cách áp dụng hệ bất đẳng thức Cauchy Từ (*) ta nhận thấy: a, h là các số dương nên S lớn và Lop8.net (3) Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng x(h - x) lớn Do x > 0, x < h h - x > 0; hai số dương x và h - x có tổng là h không đổi nên tích x(h - x) lớn và khi: x = h - x x = h Cách 2: Đưa hình (theo yêu cầu đầu bài) chứng minh hình khác có chứa yếu tố (mà ta phải tìm cực trị) lớn bé yếu tố tương ứng hình đã đưa Người ta thường dùng cách chứng minh này hình dạng hình có cực trị đã nói rõ đầu bài Ví dụ 3: Chứng minh các tam giác có cùng đáy và cùng diện tích, tam giác cân có chu vi nhỏ Giải: Đây là bài toán ta đã đề cập ví dụ 1, đây đầu bài đã nói rõ hình ta phải chứng minh là tam giác cân, nên ta đưa tam giác cân AoBC (h.1), xét tam giác không cân ABC có cùng đáy BC, đỉnh A chạy trên đường thẳng xy // BC, ta việc chứng minh chu vi ABC chu vi AoBC tức là AB + AC AoB + AoC đã trình bày cách giải ví dụ Cách 3: Thay việc tìm cực đại đại lượng này việc tìm cực tiểu đại lượng khác ngược lại Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a Xét các hình thang có đỉnh trên cạnh hình vuông và hai đáy song song với đường chéo hình vuông Tìm hình thang có diện tích lớn và tính diện tích lớn Giải: x E a-x A Gọi EFGH là hình thang có các đỉnh nằm trên các cạnh hình vuông và hai đáy FG; EH song song với đường chéo H BD hình vuông Đặt AE = x EB = a - x CF = y FB = a - y Dễ thấy DHG = BEF(c-g-c) Các tam giác EAH, FCG vuông cân D G (h.4) A và C Gọi S là hiệu diện tích hình vuông và diện tích hình thang EFGH thì: S = SAEH + SCFG + SBEF+ SDHG= SAEH + SCFG + 2SBEF x y2 1 2 (a x )(a y) = AE CF BE.BF = 2 2 Lop8.net B a-y F y C (4) Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng x y xy 2a ( x y) 2a ( x y) 2a ( x y) 2a = = 2 (x y a )2 a = SEFGH lớn và S lấy giá trị nhỏ Điều này xảy x + y - a = x + y = a x = a - y hay AE = BF; đó các đường chéo EG và HF song song với các cạnh hình vuông và diện tích lớn a2 hình thang phải tìm là * Chú ý quan trọng: Có trường hợp để tìm cực trị đại lượng A, ta chia A thành tổng nhiều đại lượng khác: A = B + C + tìm cực trị B và C từ đó suy cực trị A, ta cần chứng minh: Khi B đạt cực trị thì C đồng thời đạt cực trị và ngược lại Ví dụ 5: Qua đỉnh A tam giác ABC, dựng đường thẳng d cho tổng khoảng cách từ các đỉnh B và C tới d là lớn (Thi vô địch toán cấp II, CHLB Nga) Giải: A Ta xét hai trường hợp: Trường hợp I (h.6): d cắt cạnh BC E Gọi BB' và CC' là các khoảng cách từ các đỉnh B' B và C tới d Hai tam giác ABE và ACE có chung đáy AE và các đường cao tương ứng với C B E đáy đó là BB' và CC' Ta có: C' SABC = SABE + SACE d 2S ABC 1 = AE.BB' AE.CC' BB' CC' (h.6) 2 AE Ta thấy BB' + CC' nhận giá trị lớn AE nhận giá trị nhỏ nhất, đó AE là đường cao kẻ từ đỉnh A ABC, tức là d BC Nếu gọi AH là độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A thì (AE) = AH, đó: 2( AH BC) BB' CC' BC (1) AH B' A Trường hợp II (h.7): Đường thẳng d không cắt BC Gọi M là trung điểm BC Kẻ MM' d Tứ giác BB'C'C là hình thang nhận MM' làm đường trung bình nên: BB' + CC' = 2MM' B Lop8.net // M (h.7) M' // C' C d (5) Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng mà MM' AM (đường vuông góc và đường xiên kẻ từ M tới d) đó BB' + CC' lớn M' A lúc đó BB' + CC' = 2AM và d AM A (2) Như vậy, ứng với trường hợp ta kết (1) và (2), đó ta hãy so sánh BC với 2AM Nếu A < 900 (h.8) Kéo dài AM đoạn MN = MA Tứ giác ABNC là hình bình hành vì có hai đường chéo giao trung điểm đường, suy AB=CN; ACN 180 A mà A 90 ACN 90 A hay ACN CAB Xét hai tam giác BAC và NCA chúng có: C B AB = CN, AC chung, ACN CAB nên cạnh đối diện với góc CAB nhỏ cạnh đối diện với góc ACN : BC < AN hay BC < 2AM N (h.8) Nếu A 90 : Tứ giác ABNC là hình bình hành có góc vuông nên là hình chữ nhật nên hai đường chéo BC và AN hay BC = 2AM Nếu A 90 : Chứng minh tương tự ta được: BC > 2AM Từ kết trên ta suy ra: - Nếu tam giác ABC cho trước có A 90 thì đường thẳng d qua A phải dựng là đường thẳng vuông góc với trung tuyến AM ABC - Nếu A 90 bài toán có hai lời giải: Dựng đường thẳng d qua A và vuông góc với AM d' qua A và vuông góc với BC - Nếu A 90 : Đường thẳng d qua A và vuông góc với BC III CÁCH VẬN DỤNG CÁC KIẾN THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC Với ba điểm A, B, C ta luôn có: AB + AC BC Dấu "=" xảy và A thuộc đoạn BC Ví dụ 1: Cho đường thẳng xy và hai điểm A, B thuộc cùng nửa mặt phẳng có bờ là xy a Tìm điểm M thuộc xy cho MA + MB là nhỏ Lop8.net (6) Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng b Tìm điểm N thuộc xy cho NA NB là lớn Giải: a (Hình 1) Gọi A' là điểm đối xứng A qua xy thì Á hoàn toàn xác định Xét tổng MA + MB = MA' + MB Nối A' với B và áp dụng bất đẳng thức tam giác cho điểm A', M, B ta có: MA' + MB A'B dấu "=" xảy M A'B đó M Mo Vậy (MA + MB) = A'B M Mo b (Hình 2) Nếu lấy điểm N bất kì trên xy A B x y M Mo A' (h.1) A B thì NA NB AB Giá trị lớn NA NB AB và B là điểm x No N y nằm hai điểm A và N Suy ra: (h.2) Nếu AB // xy không tìm điểm M thỏa mãn điều kiện để Nếu AB không song song với xy Gọi No = AB xy thì No là điểm cần tìm Vậy max NA NB = AB N No Ví dụ 2: Cho tứ giác lồi ABCD Tìm điểm M có tổng khoảng cách tới bốn đỉnh tứ giác là nhỏ Giải: Với ba điểm A, C, M ta có: B MA + MC AC dấu "=" xảy và M đoạn AC A Tương tự: MB + MD BD dấu "=" xảy M BD MA + MB + MC + MD AC + BD; dấu M "=" xảy và M vừa thuộc AC vừa thuộc BD Vậy M là giao điểm hai D đường chéo AC và BD (trong tứ giác lồi hai đường chéo cắt nhau) (h.3) C Vậy min(MA + MB + MC + MD) = AC + BD M Mo o Ví dụ 3: Cho điểm P cố định và tam giác ABC thỏa mãn điều kiện PA = 3; PB = Hãy xác định độ dài lớn có thể đoạn PC và dựng tam giác ABC Giải Giả sử ta có tam giác ABC và điểm P mặt phẳng tam giác cho PA = 3; PB = (h.4) Thực phép quay tâm A, góc quay 600 ngược chiều kim đồng hồ: Lop8.net (7) Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng A P D B C Do đó: APB ADC P PB = DC Xét ba điểm P, D, C ta có: PC PD + DC = PA + PB = + = Vậy max PC = Cách dựng tam giác ABC (h.5) - Dựng tam giác PAD có cạnh - Trên tia PD dựng PC = - Thực phép quay tâm A góc quay 600 thuận chiều kim đồng hồ C B Tam giác ABC là tam giác phải dựng Do ADC = APB PB = DC = C B (h.4) D A P B D C (h.5) BÀI TẬP Cho hai điểm A, B trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy cho trước Tìm trên điểm C cho chu vi tam giác ABC nhỏ Trong các hình bình hành có cùng diện tích và đường chéo không đổi, hình nào có chu vi nhỏ nhất? Cho đường tròn (O) và điểm M ngoài đường tròn Đường thẳng kẻ từ M qua tâm O cắt đường tròn A và B (A là điểm nằm hai điểm M và O) Chứng minh MA là khoảng cách nhỏ các khoảng cách từ M tới tất các điểm đường tròn và MB là khoảng cách lớn tất các khoảng cách đó Hai xóm A và B cách sông Tìm địa điểm bắc cầu để quãng đường từ A đến B là ngắn Ghi chú: Hai bờ sông có thể coi là hai đường thẳng song song; cầu phải bắc vuông góc với bờ sông để tiết kiệm nguyên vật liệu Một rùa bò từ tâm O hình vuông ABCD để tới vị trí M trên AB, tới vị trí N trên DC, cuối cùng dừng lại B Xác định các vị trí M và N cho MN // BC và đường gấp khúc OMNB mà rùa bò qua có độ dài nhỏ Tính độ dài đó theo a = AB Cho tam giác ABC cân A và điểm D cố định trên BC Dựng đường thẳng song song với BC, cắt hai cạnh bên E và F cho DE + DF có giá trị nhỏ Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm góc đó cho M không thuộc Ox, Oy Hãy xác định điểm B trên Ox, điểm C trên Oy cho OB = OC và MB + MC đạt giá trị nhỏ Lop8.net (8) Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng Cho góc vuông xOy; điểm A thuộc miền góc Các điểm M, N theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox, Oy cho MAN = 900 Xác định vị trí M, N để MN có độ dài nhỏ ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN Trong các đoạn thẳng nối từ điểm đến đường thẳng, đoạn vuông góc với đường thẳng có độ dài ngắn Trong hai đường xiên kẻ từ điểm tới đường thẳng, đường xiên nào có hình chiếu lớn thì lớn và ngược lại Ví dụ 1: Trên hai cạnh BC, AC tam giác ABC, lấy tương ứng hai điểm M và N cho BM = CN Tìm vị trí M để MN có giá trị nhỏ Giải : Kẻ MK, NH vuông góc với AB và MG NH Tứ giác MGHK là hình chữ nhật vì có ba góc vuông, suy ra: MG = KH mà MN MG MN KH A Các tam giác AHN, BKM là tam giác vuông có góc nhọn 60o, suy ra: H AH = 1 AN; BK BM 2 G 1 2 AC AB = AB - (AN NC) AB 2 AB AB MN ; (MN) = 2 N Do đó: KH = AB - (AH + BK) = AB - ( AN BM) Suy ra: K B / / M (h.1) MN là đường trung bình ABC Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Tìm điểm M tam giác cho MA.BC + MB.CA + MC.AB đạt giá trị nhỏ (Trích đề thi vào lớp 10 trường PTTH Việt Đức Hà Nội năm học 1991 - 1992) Giải : Xét điểm M bất kì tam giác AM cắt BC D Kẻ BE AD, CF AD Ta có: A BE BD AM.BE AM.BD CF CD AM.CF AM.CD M BE.AM + CF.AM (BD + DC).AM Nhưng BE.AM = 2SAMB E B C CF.AM = 2SAMC D BD + DC = BC F Do đó: 2(SAMB + SAMC) BC.AM (1) (h.28) Lop8.net C (9) Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng dấu "=" xảy và E và F trùng với D Khi đó AM BC Tương tự ta có: 2(SABM + SCBM) AC.BM (2) 2(SCBM + SACM) AB.CM (3) (1) + (2) + (3): 4(SABM + SACM + SBCM) AM.BC + BM.CA + CM.AB min(AM.BC + BM.CA + CM.AB) = 4SABC AM BC; BM AC; CM AB tức là M là trực tâm ABC BÀI TẬP Cho tam giác ABC Qua trọng tâm O tam giác hãy dựng đường thẳng cho tổng khoảng cách từ ba đỉnh tam giác tới đường thẳng đó là lớn nhất? nhỏ nhất? Cho tam giác ABC vuông A, M là điểm nằm trên cạnh huyền BC; D; E theo thứ tự là hình chiếu M trên AB, AC Tìm vị trí M để DE có độ dài nhỏ Cho tam giác ABC Tìm đường thẳng qua đỉnh A tam giác cho tổng khoảng cách từ B và C tới đường thẳng đó là nhỏ Cho hình vuông ABCD Hãy nội tiếp hình vuông đó hình vuông có diện tích nhỏ Cho góc vuông xOy, điểm A thuộc miền góc Các điểm M, N theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox, Oy cho MAN = 90o Xác định vị trí M, N để tổng AM + AN có độ dài: a Nhỏ b Lớn Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, M là điểm bất kì nằm trên cạnh BC Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu M trên AB, AC Tìm vị trí M để EF có độ dài nhỏ Cho tam giác ABC vuông cân A, cạnh huyền BC = 2a Một đường thẳng (d) bất kì qua A và không cắt cạnh BC Gọi I là K theo thứ tự là hình chiếu B và C trên (d) Gọi H là trung điểm BC Tính diện tích lớn HIK Trong các hình thoi có cùng chu vi, hình nào có diện tích lớn nhất? ĐỘ DÀI ĐƯỜNG GẤP KHÚC Độ dài đường gấp khúc nối hai điểm không nhỏ độ dài đoạn thẳng nối hai điểm đó Ví dụ 1: Cho góc nhọn xOy và điểm A góc đó Tìm điểm B Ox; C Oy cho chu vi ABC nhỏ Lop8.net (10) Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng Giải: Giả sử B và C là hai điểm bất kì trên Ox; Oy ta phải tìm vị trí B và C cho AB + AC + BC nhỏ A2 Gọi A1, A2 là ảnh điểm A y phép đối xứng qua Ox, Oy; A1, A2 hoàn toàn xác định Nối B với A1, C với A2, ta có: Co AB + BC + CA = A1B + BC + CA2 = độ dài C O A đường gấp khúc A1BCA2 A1A2 B (Chu vi ABC) = A1A2 BBo; C Co Bo Vậy ta cần dựng A1, A2 đối xứng A qua x Ox, Oy; nối A1A2 cắt Ox Bo, Oy Co Các A1 điểm Bo, Co là các điểm phải tìm Chú ý: Đầu bài cho xOy < 90o A1OA = xOy < 180o nên A1A2 chắn cắt Ox, Oy; có nghĩa là ta luôn luôn xác định Bo, Co Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh hình vuông (tứ giác MNPQ nội tiếp hình vuông ABCD) Tìm điều kiện để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ Giải: Gọi I, J, K là trung điểm QN, NM, PQ Áp dụng tính chất trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông, ta có: MN = 2BJ; PQ = 2DK Áp dụng tính chất đường trung bình tam giác: PN = 2IK ; MQ = 2JI Chu vi tứ giác MNPQ: MN + NP + PQ + MQ = (BJ + JI + IK + KD) 2BD Chu vi tứ giác MNPQ đạt giá trị nhỏ lần M A B đường chéo hình vuông đường gấp khúc trùng J với đường chéo BD, lúc đó MN // AC // PQ và MQ // BD // NP, tứ giác MNPQ trở thành hình chữ nhật N Q Từ bài toán trên, ta có thể rút kết luận sau: Mọi hình I chữ nhật nội tiếp hình vuông đã cho K có chu vi và chu vi đó là nhỏ so với chu vi bất kì tứ giác nào nội tiếp hình vuông C D P này Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có các góc nhỏ 120o Tìm điểm M nằm bên tam giác cho tổng MA + MB + MC có giá trị nhỏ 10 Lop8.net (11) Giáo viên Tôn Nữ Bích Vân-Trường THCS Nguyễn Khuyến Đà Nẵng B' Giải: Xét điểm M nằm tam giác ABC Ta phải xác định vị trí M để tổng MA + MB + MC là nhỏ Ta tìm cách đưa tổng ba đoạn thẳng này thành tổng các đoạn thẳng đường gấp khúc nối hai điểm xác định nào đó C' Thực phép quay tâm A, góc quay 60o A ngược chiều kim đồng hồ: M' M M M' D E C C' Mo Như AMM' là tam giác suy ra: B MA = MM' C ACC' là tam giác nên C' hoàn toàn xác định; M'C' = MC (phép quay bảo toàn khoảng cách hai điểm) Do đó: MA + MB + MC = MM' + MB + M'C' = độ dài đường gấp khúc BMM'C' BC' để tổng MA + MB + MC nhỏ nhất, ta phải tìm M cho điểm B, M, M', C' thẳng hàng, nghĩa là M đoạn B Nếu ta thực phép quay tâm A, góc quay 60o thuận chiều kim đồng hồ B B', lí luận tương tự, ta được: M CB' Suy ra: M Mo = BC' CB' Do đó cách xác định điểm M sau: Dựng phía ngoài ABC các tam giác ACC', ABB'; lấy giao BC' và CB', đó là điểm M cần tìm Theo giả thiết ABC có các góc nhỏ 120o nên ta có: BAC' = BAC + CAC' < 120o + 60o = 180o BC' cắt đoạn AC điểm D nằm A và C Tương tự CB' cắt AB điểm E nằm A và B, suy tia BD nằm hai tia BA, BC; tia CE nằm hai tia CB, CA; đó hai tia BC' và CB' luôn luôn cắt điểm Mo nằm tam giác ABC BÀI TẬP: Cho hình chữ nhật ABCD Tìm tứ giác có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh hình chữ nhật cho chu vi tứ giác có giá trị nhỏ Tam giác DEF gọi là nội tiếp tam giác ABC ba đỉnh tam giác DEF nằm trên ba cạnh tam giác ABC Hãy tìm tam giác nội tiếp tam giác nhọn ABC cho trước cho nó có chu vi nhỏ (Đề thi học sinh giỏi toán lớp toàn quốc năm 1975) 11 Lop8.net (12)