Bài t p ch Ngun TÝch § øc TCV CH NG II: TÍCH VƠ H & A TĨM T T KI N TH C C ng – Hình h c 10 NG C A HAI VECT NG D NG B N nh ngh a: Giá tr l ng giác c a m t góc, góc gi a vect , tích vơ h ng vect D u c a giá tr l ng giác, h th c c b n h qu , giá tr l ng giác góc ph , bù Bi u th c t a đ tích vơ h ng, đ dài vect , góc gi a hai vect H th c l ng tam giác vuông, đ nh lí cosin, đ nh lí sin, đ nh v đ ng trung n, công th c di n tích tam giác B M T S D NG BÀI T P D ng 1: Tính giá tr l ng giác c a m t góc, ch ng minh đ ng th c S d ng h th c c b n, h qu , giá tr l ng giác góc ph nhau, bù sin cos 1 sin cos2 , tan , cot , tan , cot cos sin cos sin sin 900 cos , cos 900 sin , tan 900 cot , cot 900 tan sin 180 sin , cos 180 cos , tan 180 tan , cot 180 0 0 cot Tìm giá tr l ng giác cịn l i c a góc bi t: b) sin nh n c) tan 2 a) cos 5 tan cot Bi t sin 90 180 , tính giá tr bi u th c A tan cot sin x cos x Bi t tan x , tính giá tr bi u th c B sin x cos3 x sin x Ch ng minh đ ng th c sau: a) sin x cos x sin x cos2 x b) sin x cos6 x sin x cos2 x d) sin x cos x 1 tan x 1 cot x sin x cos x c) tan x sin x tan x sin x cos x sin x sin x cos x f) tan x 4 cos x sin x sin x cos x sin x sin x Tính giá tr bi u th c sau: a) sin sin 180 sin 810 sin 72 b) tan 210.tan 310 tan 59 tan 69 c) sin 90 x cos 180 x sin x 1 tan x cot 90 x e) Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c: A cos x cos2 x sin x Bi t tan x cot x m , tính giá tr bi u th c sau theo m: b) tan x cot x c) tan x cot x a) tan x cot x D ng 2: Tính tích vơ h ng, tính góc gi a vect , ch ng minh đ ng th c tích vơ h ng Dùng đ nh ngh a, tính ch t tích vơ h ng, qui t c phép c ng, tr vect AB AB Công th c hình chi u: H chân đ ng vng góc k t A A lên đt Khi v i m i m O, M , ta có: OA.OM OH OM S d ng bi u th c t a đ c a tích vơ h ng a.b x1 x2 y1 y2 Tam giác ABC vng t i A có hai c nh AB 7, AC 10 a) Tìm cosin c a góc AB, AC ; AB, BC ; AB, CB Trang ThuVienDeThi.com Bài t p ch Ngun TÝch § øc TCV b) G i H chân đ ng vng góc k t A c a tam giác ABC, tính HB.HC Tam giác ABC có AB 7, AC 5, A 120 a) Tính tích vơ h ng AB AC , AB.BC b) Tính đ dài đ ng trung n AM c a tam giác ABC ng – Hình h c 10 HD: AM AB AC AM AB AC AB AC AD phân giác k t A (D thu c c nh BC) 10 Tam giác ABC có AC b, AB c, BAC a) Hãy bi u th AD theo hai vect AB, AC b) Tính đ dài đo n AD theo b, c b c S: a) AD AB AC b) Bình ph bc bc ng vô h ng AD bc 1 cos bc 11 Cho m A, B, C, D Ch ng minh DA.BC DB.CA DC AB , t suy đ nh lý: “ba đ cao c a tam giác đ ng qui t i m t m” 12 Cho tam giác ABC v i đ ng trung n AD, BE, CF Ch ng minh r ng AD.BC BE.CA CF AB 13 Cho hai m M, N n m đ ng trịn đ ng kính AB 2R G i I giao m c a hai đ th ng AM BN a) Ch ng minh AM AI AB AI ; BN BI BA.BI b) Tính AM AI BN BI theo R ng ng S: b) 4R 14 Cho hai đ ng th ng a, b c t t i M Trên a l y hai m A, B; b l y hai m C, D đ u khác M th a mãn MA.MB MC.MD Ch ng minh r ng m A, B, C, D n m m t đ ng tròn HD: G i D giao m c a đ 15 đ ng tròn (ABC) v i đ ng th ng AB c t đ ng th ng b T 12 MA.MB MC.MD MD MD D D ng th ng t i M C m C M Cm ti p n c a ng tròn (ABC) ch MC MA.MB HD: * K c n: ti p xúc (ABC) t i C: MC IM R MA.MB MA.MB MA.MB MI IA MI IB MI IA2 * K đ : Gi s c t (ABC) t i m th hai C , theo 13 có C C ti p xúc (ABC) 16 Cho tam giác ABC, ABC vuông cân t i A không giao (tr A đ ng th i B, B n m m t phía so v i đ ng th ng CC ) G i I, J l n l t trung m đo n BB, CC Cm AI CC , AJ BB, BC BC 17 Cho hình ch nh t ABCD G i M trung m c nh AB; H hình chi u c a C lên BD N trung m DH Ch ng minh MN NC 18 Trong m t ph ng t a đ Oxy cho A 8; , B 0; , C 2; , D 3; Cm t giác ABCD n i ti p đ c m t đ ng trịn Tìm t a đ tâm c a đ ng trịn 19 Trong m t ph ng t a đ Oxy cho A 3; , B 6; a) Nh n xét v tam giác OAB Tính di n tích tam giác b) Tìm t a đ tr c tâm c a tam giác OAB b) Vi t ph ng trình đ ng tròn ngo i ti p, n i ti p tam giác OAB c) Vi t ph ng trình đ ng phân giác t i đ nh O c a OAB 20 Trong m t ph ng t a đ Oxy, A 1; 1 B 3; hai đ nh c a hình vng ABCD Tìm t a đ đ nh C, D 21 Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình thang ABCD vng t i A D, AD CD m đ nh B, D bi t A 0;1 , C 2; 1 AB Tìm t a đ 22 Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình vng ABCD Bi t B 2; N 5; trung m c nh CD Tìm t a đ đ nh cịn l i c a hình vng Trang ThuVienDeThi.com Bài t p ch Ngun TÝch § øc TCV ng – Hình h c 10 D ng 3: Phép gi i tam giác V i m t tam giác xác đ nh, vi c tìm y u t (c nh, góc, trung n, di n tích, chi u cao, chu vi, bán kính đ ng tròn n i ti p, ngo i ti p) l i c a tam giác đ c g i gi i tam giác Bài toán 1: Cho tam giác ABC xác đ nh b i c nh b2 c2 a a2 c b2 a b2 c * Tính góc trong: cos A , cos B , cos C 2bc 2ac 2ab * Tính di n tích, chi u cao, bán kính đ ng tròn ngo i ti p, n i ti p, đ dài trung n: S 2S abc S p p a p b p c ; ; R ; r ; a ma2 b c a 4S p Bài toán 2: Cho tam giác ABC xác đ nh b i c nh b, c góc A gi a c nh * Tính c nh th ba: a b2 c 2bc cos A * Tính góc cịn l i: Theo toán 1 A * S bc sin , C Bài toán 3: Cho tam giác ABC xác đ nh b i c nh a hai góc B C * Góc l i: A 180 B b c a sin B sin C sin A Bài tốn 4: Cho tam giác ABC có di n tích b ng S hai c nh BC a, AC b 2S * S ab sin C sin C ab 2 * c a b ab cos C Bài toán 5: Cho tam giác ABC có di n tích b ng S, BC a, B * C nh l i: 2S a AB cos AB Qui v tốn a cos 23 Tính đ dài đ ng phân giác phân giác t A c a tam giác ABC bi t c nh S b AB c AC bAB cAC HD: Phân giác AD: AD AD bc b c D ng 4: H th c l ng tam giác 24 Ch ng minh tam giác ABC vuông t i A ch 5ma2 mb2 mc2 25 Cho tam giác cân có góc đáy b ng Cm sin cos sin 2 180 2 , S AB sin 2 , S ABC AH BH AB sin AB cos HD: A ABC 26 (D b 2015) Bi t sin 2 , tính giá tr bi u th c P sin cos4 27 T giác ABCD có góc gi a hai đ ng chéo b ng Cm di n tích t giác b ng 28 Ch ng minh m nh đ sau t ng đ ng a) hai trung n k t B C c a tam giác ABC vuông v i b) b c 5a c) cot A cot B cot C AC.BD sin 29 Ch ng minh r ng n u góc c a tam giác ABC th a mãn sin A sin B.cos C ABC tam giác cân HD: S d ng sin A a b a2 b2 c , sin B , cos C 2R 2R 2ab Trang ThuVienDeThi.com Bài t p ch NguyÔn TÝch § øc TCV ng – Hình h c 10 30 G i S di n tích R bán kính đ ng trịn ngo i ti p tam giác ABC Ch ng minh r ng S R sin A sin B sin C 31 Cho tam giác ABC có AB c, AC b, BC a t u AB.BC CA BC.CA AB CA AB BC cos B cos C cos A a) Cm u abc CA AB BC c a b b) i u ki n c n đ đ tam giác ABC đ u u HD: K đ u a c BC b c AC a c b c 32 Cho hình vuông ABCD i m M n m đo n AC cho AC AM ; m N trung m CD Cm BMN tam giác vuông cân 5 HD: BM MN a , BN a 33 Cho t giác ABCD n i ti p đ ng trịn đ di n tích t giác ABCD theo a, , HD: AC R ng kính AC , CAD Tính AC t BD a, CAB a sin cos sin cos a , S sin ( ) sin 34 Cho tam giác ABC Ch ng minh: b2 c2 a2 (đlí cosin suy r ng) a) cot A 4S c) sin C sin A cos B sin B cos A a b2 c2 4S 1 d) sin A sin B sin C , bi t hb hc b) cot A cot B cot C f) b c cos A a c cos C b cos B e) b c a b cos C c cos B g) bc b c cos A ca c a cos B ab a b2 cos C h) 2abc cos A cos B a b c b a c a b 35 Cho tam giác ABC Ch ng minh r ng: b3 c3 a a) N u a b c b c a 3bc A 60 b) N u a A 60 bca b2 a b cos A a cos B ABC cân t i C c) N u b b2 a c a c A 60 d) N u 2c sin B b c a e) N u cos A ABC cân t i B f) N u ABC vng sin C cos B cos C sin B.sin C 36 Cho hai đ ng tròn O1 ; R1 O2 ; R2 c t t i hai m A, B M t đ ng th ng ti p xúc hai đ ng tròn t i C D G i N giao m c a AB CD (B n m gi a A N), AO C , AO2 D a) Tính AC theo R1 , AD theo R2 , b) Tính bán kính r c a đ ng trịn ngo i ti p tam giác ACD HD: a) AC R1 sin , AD R2 sin 2 b) 2r AC AD r R1 R2 sin sin 2 D ng 5: T p h p m 37 Cho m c đ nh A, B v i AB a Tìm t p h p m M th a mãn u ki n sau: b) AM AB a a) MA.MB k k HD: a) G i I trung m AB, k MI IA MI IA Trang ThuVienDeThi.com Bài t p ch Ngun TÝch § øc TCV b) Gi s H hình chi u c a M lên đ AB AH 2a ng th ng AB Ta có 2a AH AB AH 2a T p h p M đ ng – Hình h c 10 ng th ng vng góc v i AB t i H n m 38 G i G tr ng tâm tam giác ABC a) Cm v i m i M, ta có: MA2 MB2 MC 3MG GA2 GB GC b) Tìm t p h p m M cho MA2 MB MC k , k s th c cho tr HD: a) MA GA MG MA GA b) 3MG k GA GB GC 2 2 c 39 Cho hình bình hành ABCD Tìm t p h p m M cho MA2 MB MC MD k HD: MA2 MA MO OA MO OA2 MO.OA 40 Cho m M c đ nh đ ng tròn (O; R) hai m A, B ch y đ AMB 30 a) Tìm qu tích trung m I c a đo n AB b) Xác đ nh v trí c a A, B đ di n tích tam giác MAB đ t giá tr l n nh t HD: a) AB R OAB đ u OI R b) S MAB ng tròn cho MA2 MB R 4MI , MI l n nh t M , O, I th ng hàng MA.MB 16 Trang ThuVienDeThi.com ... giác đ c g i gi i tam giác Bài toán 1: Cho tam giác ABC xác đ nh b i c nh b2 c2 a a2 c b2 a b2 c * Tính góc trong: cos A , cos B , cos C 2bc 2ac 2ab * Tính di n tích, chi u... H th c l ng tam giác 24 Ch ng minh tam giác ABC vuông t i A ch 5ma2 mb2 mc2 25 Cho tam giác cân có góc đáy b ng Cm sin cos sin 2? ?? 180 2? ?? , S AB sin 2? ?? , S ABC AH BH ... 0;1 , C 2; 1 AB Tìm t a đ 22 Trong m t ph ng t a đ Oxy, cho hình vng ABCD Bi t B 2; N 5; trung m c nh CD Tìm t a đ đ nh l i c a hình vng Trang ThuVienDeThi.com Bài t p ch Ngun