Đề thi th học sinh giỏi lớp năm học 2013-2014 Môn: Toán Thời gian làm 120 phút Đề thức Câu 1: (3 điểm ) a) Tính tổng sau: A 10 10 10 10 56 140 260 1400 b) T×m x Z , biÕt: 1.2 2.3 3.4 99.100 116 50 2 x ( x 1) ( x 2) ( x 99) 131 C©u 2: (2,5 điểm ) a) Tìm số tự nhiên nhỏ khác biết số có 15 ước dương b) Sè 9x víi x 0;1; 2; ;9 viết hệ thập phân có chữ số ? Câu 3: (2,0 điểm ) Hai người khởi hành lúc từ hai địa điểm A B Người thứ từ A đến B quay lại Người thứ hai từ B đến A quay lại Hai người gặp lần thứ hai địa điểm C cách A 6km TÝnh qu·ng ®êng AB, biÕt r»ng vËn tèc cđa ngêi thø hai b»ng vËn tèc cña ngêi thø Câu 4: (2,5 điểm) a) Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB Trên tia đối tia BA lấy O (O khác B) So sánh độ dài đoạn thẳng OM trung bình cộng hai đoạn thẳng OA OB b) Cho 10 đường thẳng đồng quy O Hỏi có góc đỉnh O tạo thành (không kể góc bẹt) ? =============HÕt=============== DeThiMau.vn Híng dÉn chÊm §Ị thi thỬ häc sinh giỏi lớp năm học 2013-2014 Môn: Toán Câu Nội dung §iĨm a) A 10 10 10 10 5 5 3 3 = = ( ) 56 140 260 1400 28 70 130 700 28 70 130 700 3 3 1 1 1 1 ) = ( ) 4.7 7.10 10.13 25.28 7 10 10 13 25 28 = ( = ( ) 28 28 14 0,5 0,5 0,5 -b) Đặt A 1.2 2.3 3.4 99.100 3.A= 1.2.3+2.3.3+3.4.3+….+99.100.3 3A = 1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+ 3.4.(5-2)+….+99.100.(101- 98) (3,0®) 3A= 1.2.3+2.3.4 – 1.2.3 +3.4.5 – 2.3.4+… + 99.100.101 – 98.99.100 0,5 3A= 99.100.101 A= 333300 Đặt B x ( x 1) ( x 2) ( x 99) = 100 x (1 99) 0,5 = 100 x 4950 Do ®ã ta cã: 116 6666 333300 =50 = 131 131 100 x 4950 50 100 x 4950 50.131 100 x 4950 131 100 x 1600 x 16 x 4 DeThiMau.vn 0,5 a) V× 15 =1.15 = 3.5 nên số cần tìm có dạng a14 b c ( a, b, c số nguyên tố b c ) TH1: Số cần tìm có dạng a14 mà số nhỏ nên a 214 16384 (2,5đ) TH2: Số cần tìm có dạng b c mà số nhỏ nên c 2; a 32.24 144 Do 144< 16384 nên số cần tìm 144 b) Ta cã 9x < 1008 1016 (1) Ta cÇn chøng minh: 908 1015 hay 98 107 (2) ThËt vËy, ta cã: 98 814 804 104.84 104.(24 )3 104.163 104.103 107 0,5 0,5 0,5 Tõ (1) vµ (2) suy ra: 1015 9x < 1016 , víi mäi x 0;1; 2; ;9 nªn sè 9x viÕt 0,5 hƯ thËp ph©n có 16 chữ số 0,5 Từ lúc khởi hành đến lúc gặp lần thứ hai C, người thứ hai quÃng đường BA+6km (1) , hai người 3AB 0,5 Vận tốc cña ngêi thø hai b»ng vËn tèc ngêi thø nhÊt nên quÃng đường (2,0đ) người thứ hai tổng quÃng đường hai người tức lµ = AB (2) 5 1 Tõ (1) vµ (2) suy AB dµi km QuÃng đường AB dài là: 6: = 30 km 5 b»ng: 3AB A M B OA OB b) 10 đường thẳng đồng quy O cã 20 tia gèc O Chän mét tia, tia tạo với tia (20-1) tia lại thµnh gãc Lµm nh thÕ víi 20 tia ta có 20.(20-1) =380 góc, góc đà tính hai lần Do số góc tạo thành là: 380:2 =190 gãc DeThiMau.vn 0,5 O a) M lµ trung điểm đoạn thẳng AB nên M nằm A vµ B ; MA=MB (1) Hai tia BM, BA trïng nhau; hai tia BO, BA ®èi ®ã B nằm O M suy OM=OB+BM (2) (2,5®) Hai tia MA, MB ®èi nhau, hai tia MB, MO trïng suy ta hai tia MA, MO ®èi M nằm A O Vậy OM+MA=OA OM=OA-MA (3) Tõ (1), (2) vµ (3) suy 2OM=OA+OB hay OM= 0,5 0,5 0,5 0,5 Sè góc tạo thành khác góc bẹt là: 190-10 = 180 gãc DeThiMau.vn 0,5 ...Híng dÉn chÊm §Ị thi thỬ häc sinh giái líp năm học 2013-2014 Môn: Toán Câu Nội dung Điểm a) A 10 10 10 10 5 5 3 3 = = ( ) 56 140 260 1400 28 70 130 700 28... 0,5 = 100 x 4950 Do ®ã ta cã: 1 16 666 6 333300 =50 = 131 131 100 x 4950 50 100 x 4950 50.131 100 x 4950 131 100 x 160 0 x 16 x 4 DeThiMau.vn 0,5 a) V× 15 =1.15 = 3.5... a14 mà số nhỏ nên a 214 163 84 (2,5đ) TH2: Số cần tìm có dạng b c mà số nhỏ nên c 2; a 32.24 144 Do 144< 163 84 nên số cần tìm 144 b) Ta cã 9x < 1008 10 16 (1) Ta cÇn chøng minh: 908