(SKKN mới NHẤT) SKKN phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 9 tại trường THCS quang trung, TP thanh hóa

MỤC LỤC Trang 1.MỞ ĐẦU…………………………………………………………… 1.1.Lí chọn đề tài………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm 2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2 2 2.1.Cơ sở lí luận SKKN………………………………………… 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN 2.3 Một số phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực 2.3.1 Phương pháp 2.3.2 Phương pháp cộng đại số 2.3.3 Phương pháp đưa phương trình dạng tích 2.3.4 Phương pháp đặt ẩn phụ 2.3.5 Phương pháp dùng bất đẳng thức Một số câu hệ phương trình khơng mẫu mực đề thi HSG tốn tỉnh Thanh Hóa …………………………… 2.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục với thân, đồng nghiệp nhà trường 3.KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1.Kết luận 3.2 Kiến nghị download by : skknchat@gmail.com 5 10 12 13 15 15 15 16 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Phương trình, hệ phương trình là mợt nợi dung rất quan trọng bậc học phổ thông đặc biệt cấp THCS, vì nó là nền tảng để giúp học sinh tiếp cận đến các nội dung khác chương trình toán học, vật lí học, hoá học của bậc học này Trong chương trình toán của bậc học phổ thông, từ lớp học sinh được học về hệ phương trình, bắt đầu là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Cùng với đó học sinh được học hai quy tắc biến đổi tương đương một hệ phương trình là “Quy tắc thế”, “Quy tắc cộng đại số” Lớp và lớp học sinh được học khá đầy đủ về phương trình một ẩn như: phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình bậc hai, phương trình vô tỷ Thông qua việc học các dạng phương trình học sinh được trang bị tương đối đầy đủ về các phương pháp giải các phương trình đại số, điều này đồng nghĩa với việc học sinh được trang bị các phương pháp giải hệ phương trình không phải là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Các hệ phương trình mà cách giải tuỳ thuộc vào đặc điểm riêng của hệ, không có một đường lối chung cho việc giải các hệ đó, ta gọi các hệ dạng này là hệ phương trình không mẫu mực Việc giải các hệ phương trình không mẫu mực đòi hỏi học sinh phải nắm rất vững các phương pháp biến đổi tương đương một hệ phương trình, các phép biến đổi tương đương một phương trình, đặc biệt học sinh phải rất tinh ý phát hiện những đặc điểm rất riêng của từng hệ từ đó có cách biến đổi hợp lí nhờ đó mới có thể giải được hệ Trong nội dung chương trình toán lớp và lớp đã trang bị cho học sinh khá đầy đủ kiến thức về phương trình và hệ phương trình đại số cùng các phương pháp giải Nhưng việc trang bị các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực hầu không được đề cập tới sách giáo khoa, kể cả hệ thống sách tham khảo hiện có dành cho học sinh trung học sở Việc giải được các hệ phương trình không mẫu mực đòi hỏi học sinh phải vận dụng rất khéo léo các kiến thức đã học để có được cách biến đổi hợp lí đối với riêng từng hệ phương trình đã cho, điều này đánh giá được trình độ kiến thức tư linh hoạt của học sinh Chính vì vậy, nội dung các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán 9, đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Lam Sơn tỉnh Thanh Hóa, thường xuất hiện các câu hỏi yêu cầu học sinh phải giải các hệ phương trình không mẫu mực, với mục đích phân loại đối tượng học sinh Không Thanh Hóa mà nợi dung đề thi tuyển sinh vào khối THPT chuyên của trường Đại học Quốc gia, Đại học Sư phạm Hà Nội ở môn toán vòng 1, vòng xuất hiện các câu hỏi giải hệ phương trình thuộc kiểu hệ phương trình khơng mẫu mực Tài liệu tham khảo đới với các giáo viên phụ trách bồi dưỡng học sinh giỏi viết riêng cho chuyên đề giải hệ phương trình không mẫu mực không có, giáo viên dạy gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng dạy đến chuyên đề này download by : skknchat@gmail.com Vì vậy, dạy đến nội dung này giáo viên thường dạy lướt qua bằng một số ví dụ minh hoạ, chưa làm rõ được những đường lối chung để giải các hệ phương trình không mẫu mực Chính vì những lí mang tính lí luận và thực tiễn mà chọn “Phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực dùng để bời dưỡng học sinh giỏi mơn tốn lớp trường THCS Quang Trung – Thành phố Thanh Hóa” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình 1.2 Mục đích nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích tập hợp, sắp xếp hệ thống các phương pháp thường được sử dụng để giải hệ phương trình không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp của cấp trung học sở Nhiệm vụ cần đạt: - Chỉ được kiến thức về hệ phương trình có liên quan mà học sinh cần nắm vững trước tiếp cận với các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực - Đưa hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực có sự sắp xếp hợp lôgíc về mặt tư kiến thức bộ môn - Xây dựng được hệ thống các bài tập phù hợp với đối tượng học sinh theo từng phương pháp cụ thể, nhằm giúp học sinh có được bài tập luyện tập khắc sâu kiến thức, giáo viên giảng dạy có được hhoặc chia hai vế phương trình hay hai phương trình hệ cho đại lượng khác phương trình, nhờ nhận việc phải chọn ẩn phụ cho hợp lí Ví dụ 1:Giải hệ phương trình: Giải Trường hợp 1: Xét y = 0, hệ cho trở thành vô lý Trường hợp 2: Xét y ≠ 0, HPT  Đặt Đặt , ta có hệ phương trình : , ta có hệ phương trình; hoặc  (loại) Hệ phương trình có hai nghiệm: Ví dụ Giải hệ phương trình sau: Lời giải: Hệ phương trình cho tương đương với Đặt 10 download by : skknchat@gmail.com đó hệ phương trình trở thành: Giải hệ ta được Thế vào cách đặt ta nghiệm hệ là: ; ; ; Nhận xét: Với hệ phương trình trên, việc biến đổi hệ để xuấn hiện bộ phận để đặt ẩn phụ khá dễ nhận việc phải sử dụng hằng đẳng thức nhờ phương trình thứ nhất của hệ Ví dụ Giải hệ phương trình sau: Lời giải: Đk: Đặt suy : y = 4- u2 x= 4-v2 thay vào hệ ta có : => Trừ vế phương trình hệ ta : 2(u2- v2) = (8-u-v).(v-u)=> (u-v).(u+v+8) = => u= v u+v+8 >0 Khi đó: 11-2v2 = (4-v)2 => 3.v2 -8v + =0 Đưa dạng tích ta có v = v = (thoả mãn ) +) Nếu v = x = y =3(TM) +) Nếu v = Vậy nghiệm hệ (x ; y) = (3,3) (x ; y) = ( x = y = , (TM) ) Ví dụ Giải hệ phương trình sau: Lời giải: Dễ thấy x = y = nghiệm hệ Xét x ≠ y ≠ 0, hệ biến đổi dạng: 11 download by : skknchat@gmail.com  Đặt , ta hệ: Vậy hệ có nghiệm là: ; Ví dụ Giải hệ phương trình: Giải: Nhận thấy y=0 khơng thỏa mãn hệ Với y khác không, chia hai vế  x2  x y4 a  x  y   y  (1) (2) cho y ta được:  Đặt  x  ta ( x  y )  x   b  y   y   a  5, b  a  b  b   a b   a      a  3, b  a  2b  a  2(4  a)  a  2a-15=0 Từ ta tìm x y 2.3.5 Phương pháp dùng bất đẳng thức Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: Giải: Điều kiện: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có: Dấu “=” xảy (thỏa mãn phương trình 2) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y; z) = (3; 3; 3) 12 download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: HD giải: Vì nên xảy hai trường hợp sau: Với y = 0, x = y =z = Vậy (x; y; z) = (0; 0; 0) nghiệm hệ phương trình Với y > 0, x > 0, z > nên hay Theo bất đẳng thức Côsi ta có: hay Tương tự từ phương trình thứ hệ Vậy Thay vào phương trình đầu ta x = y = z =1 ( thỏa mãn) Vậy nghiệm hệ phương trình là: (0; 0; 0) ; (1; 1; 1) MỘT SỐ CÂU HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN TỈNH THANH HĨA 1) Giải hệ phương trình : HD giải: Điều kiện y 0.Đặt z = (Năm học 2012 – 2013) ta hệ : Trừ vế với vế hai phương trình ta đươc (vì x2 + xz + z2 +3 = (x + ) + > với x, z) Thay x = z vào phương trình (1) hệ ta được : x3 – 3x – = (x+1)2(x - 2) = x = -1 x = Với nghiệm (x ; y ) hệ Với nghiệm (x ; y ) hệ Vậy nghiệm (x ; y ) hệ  và 13 download by : skknchat@gmail.com 2) Giải hệ phương trình (Năm học 2013 – 2014) HD giải: Ta có: = = = xyz (x + y + z) = xyz ( x + y + z = 1) Dấu xảy Vậy nghiệm hệ phương trình là: 3) Giải hệ phương trình (Năm học 2014 - 2015) HD giải: Với x = y = nghiệm hệ phương trình Nhận thấy x y ngược lại Xét x ; y hệ phương trình tương đương với (1) (2) Thay (1) vào (2) ta Vậy hệ có nghiệm (x ; y) (0 ; 0) ; (1 ; 1) Bài tập: Giải hệ phương trình sau : a) c) ( 2011 – 2012) ( 2009 – 2010) b) ( 2010 – 2011) d) ( 2008- 2009) 14 download by : skknchat@gmail.com e) ( 2007- 2008) f) (2016 – 2017) 2.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sau tiến hành triển khai nội dung của sáng kiến với chuyên đề “ Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực” đối với 30 học sinh lớp nhóm thực nghiệm (Đội tuyển Toán) tại trường THCS Quang Trung năm học 2017-2018, tiến hành cho nhóm học sinh làm bài kiểm tra sau thực nghiệm với nội dung đề sau: Giải các hệ phương trình sau: 1) 2) 3) 3) 4) BẢNG THỐNG KÊ KẾT QUẢ SAU THỰC NGHIỆM Điểm Số lượng 0-2 3-4 5–6 7–8 Dưới Trên – 10 trung trung bình bình 24 Tỉ lệ % 0% 20% 30% 27% 23% 20% 80% Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Giải hệ phương trình không mẫu mực là một yêu cầu khó các đề thi, để kiểm tra Để giải được những hệ loại này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về phương trình và hệ phương trình, học sinh phải rất linh hoạt về cách giải cho từng hệ khác Với đặc điểm này mà ta có thể đánh giá được tính mềm dẻo, tính linh hoạt tư của học sinh, khả phát hiện tình huống có vấn đề tốt của người học Đây chính là lí mà nội dung các đề thi chọn học sinh giỏi của bậc THCS cũng của bậc THPT và đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng hiện hầu không thể thiếu được yêu cầu này Sáng kiến kinh nghiệm này là kết quả của sau nhiều năm làm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi cấp thành phố, cấp tỉnh và đặc biệt là ôn tập cho học sinh chuẩn bị thi vào các trường chuyên, lớp chọn và ngoài tỉnh Tôi 15 download by : skknchat@gmail.com hy vọng sáng kiến kinh nghiệm của mình có thể là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các đồng nghiệp giảng dạy toán, góp phần giúp cho nâng cao chất lượng giáo dục đại trà và đặc biệt là chất lượng học sinh giỏi bậc trung học Sáng kiến kinh nghiệm này viết nhằm mục đích phục vụ công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đối với học sinh lớp của cấp THCS và ôn tập thi vào các trường chuyên, lớp chọn của bậc THPT Những nội dung sáng kiến cũng có thể làm tài liệu cho học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn tập thi vào các trường Đại học, Cao đẳng, làm tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp bộ môn Toán của bậc THCS và THPT 3.2 Kiến nghị Để có thể triển khai nội dung của sáng kiến này đạt kết quả tốt đối với học sinh, đòi hỏi giáo viên cần chuẩn bị cho học sinh các kiến thức về: các phương pháp giải phương trình đại sớ; phương pháp giải hệ phương trình đới xứng, hệ phương trình đẳng cấp; các kiến thức bản về bất đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức Đối với học sinh lớp của bậc THCS, nên áp dụng sáng kiến này học sinh đã được học về công thức nghiệm của phương trình bậc hai, chuẩn bị ôn thi học sinh giỏi vào cuối năm, ôn thi vào các trường chuyên, lớp chọn của bậc THPT XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 02 tháng năm 2018 Người thực Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Vi Linh 16 download by : skknchat@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO Tạp chí Tốn học tuổi thơ; Tốn học tuổi trẻ Đề thi HSG mơn Tốn TP Thanh Hóa, tỉnh Thanh Hóa năm gần Giải đề thi tuyển sinh đại học chuyên đề đại số Đề thi HSG mơn tốn Thành phố Thanh Hóa Tốn nâng cao & chun đề đại số Các đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Phương pháp giải toán Đại số Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi THCS mơn tốn download by : skknchat@gmail.com ... từ phương trình thứ hệ Vậy Thay vào phương trình đầu ta x = y = z =1 ( thỏa mãn) Vậy nghiệm hệ phương trình là: (0; 0; 0) ; (1; 1; 1) MỘT SỐ CÂU HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC TRONG ĐỀ THI HỌC SINH. .. chia hai vế phương trình hay hai phương trình hệ cho đại lượng khác phương trình, nhờ nhận việc phải chọn ẩn phụ cho hợp lí Ví dụ 1 :Giải hệ phương trình: Giải Trường hợp 1: Xét y = 0, hệ cho trở... lý Trường hợp 2: Xét y ≠ 0, HPT  Đặt Đặt , ta có hệ phương trình : , ta có hệ phương trình; hoặc  (loại) Hệ phương trình có hai nghiệm: Ví dụ Giải hệ phương trình sau: Lời giải: Hệ phương