(SKKN CHẤT 2020) CHUYÊN đề 2 toán luỹ thừa trong q

Mục lục Trang A Đặt vấn đề B Nội dung phơng pháp I Tình hình chung II Những vấn đề đợc giải BI Phơng pháp tiến hành Cơ sở lí thuyết Các dạng tập 2.1 Dạng 1: Tìm số cha biết 2.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa 2.1.2 Tìm số mũ, thành phần số mũ luỹ thừa 2.1.3 Một số trờng hợp khác 2.2 Dạng : 2.2.1 Tìm chữ số tận giá trị luỹ thừa Tìm chữ số tận 2.2.2 Tìm chữ số tận 2.2.3 Tìm chữ số tận trở lên 2.3 Dạng 3: So sánh hai luỹ thừa 2.4 Dạng Tính toán luỹ thừa 2.5 Dạng 5: Toán đố với luỹ thừa Kết thực VI Những vấn đề hạn chế hớng tiếp tục nghiên cứu V Điều kiện áp dụng C Kết luận Tài liệu tham khảo download by : skknchat@gmail.com download by : skknchat@gmail.com A Đặt vấn đề Phải nói rằng: Toán học môn khoa học tự nhiên lý thó Nã cn hót ngêi tõ cßn nhỏ Chính vậy, mong muốn nắm vững kiến thức toán học để học học giỏi môn toán nguyện vọng nhiều học sinh Trong giảng dạy môn toán , ,việc giúp học sinh nắm vững kiến thức , biết khai thác mở rộng kiến thức , áp dụng vào giải đợc nhiều dạng tập điều quan trọng Từ giáo viên giúp cho học sinh phát triển t , óc sáng tạo , nhanh nhạy giải toán từ học môn số học lớp Đó tiền đề để em học tốt môn ĐạI Số sau Trong toán học, Toán luỹ thừa mảng kiến thức lớn, chứa đựng nhiều toán hay khó Để làm đợc toán luỹ thừa việc dễ dàng kể học sinh giỏi, học sinh lớp 6, lớp 7, em đợc làm quen với môn đại số đợc tiếp cận với toán luỹ thừa nên cha có công cụ phổ biến để thực phép biến đổi đại số, phơng pháp, kĩ tính toán Để học tốt môn toán nói chung Toán luỹ thừa nói riêng, điều quan trọng biết rèn nÕp suy nghÜ qua viÖc häc lý thuyÕt, qua viÖc giải tâp qua suy nghĩ, tìm tòi lời giải Đứng trớc toán khó, cha tìm cách giải, học sinh thực lúng túng, hoang mang vµ rÊt cã thĨ sÏ bá qua bµi toán đó, nhng có đợc giúp đỡ, gợi mở em không sợ mà thích thú làm toán nh Để nâng cao mở rộng kiến thức phần luỹ thừa cho häc sinh líp 6, líp 7, b»ng kinh nghiƯm gi¶ng dạy kết hợp với tìm tòi , học hỏi thầy cô giáo đồng nghiệp, muốn trình bày số ý kiến chuyên đề Toán luü thõa Q’’ nh»m cung cÊp nh÷ng kiÕn thøc bản, cần thiết kinh nghiệm cụ thể phơng pháp giải toán luỹ thừa cho đối tợng học sinh Bên cạnh giúp học sinh rèn luyện thao tác t duy, phơng pháp suy luận logic tạo say mê cho bạn yêu toán nói chung toán luỹ thừa nói riêng B download by : skknchat@gmail.com Nội dung phơng pháp Tình hình chung I Thông qua giảng dạy, thấy hầu hết học sinh thấy toán liên quan đến luỹ thừa sợ, đặc biệt luỹ thừa với số mũ lớn , số mũ tổng quát Nh đà nói trên, học sinh lớp 6, lớp đợc tiÕp xóc víi to¸n l thõa, s¸ch gi¸o khoa yêu cầu mức độ vừa phải, nhẹ nhàng Chính mà giáo viên cần thay đổi yêu cầu đề học sinh đà thấy khác lạ, nâng cao lên chút em gặp khăn chồng chất: Làm cách nào? làm nh nào? cha cần trả lời câu hỏi: làm nhanh hơn, ngắn gọn hơn, độc đáo hơn? Tôi chọn chuyên đề với mong muốn giúp học sinh học tốt phần toán luỹ thừa, giúp em không thấy sợ gặp toán luỹ thừa hay khó Hy vọng tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh lớp 6, lớp7 học đào sâu kiến thức toán luỹ thừa dới dạng tập AI Những vấn đề đợc giải Kiến thức Kiến thức bổ sung Các dạng tập phơng pháp chung 3.1 Dạng1: Tìm số cha biết 3.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa 3.1.2 Tìm số mũ, thành phần sè mị cđa l thõa 3.1.3 Mét sè trêng hợp khác 3.2 Dạng Tìm chữ số tận giá trị luỹ thừa 3.2.1 Tìm chữ số tận 3.2.2 Tìm hai chữ số tận 3.2.3 Tìm chữ số tận trở lên 3.3 Dạng So sánh hai luỹ thừa 3.4 Dạng Tính toán luỹ thừa 3.5 Dạng Toán đố với luỹ thừa III Phơng pháp tiến hành download by : skknchat@gmail.com CƠ Sở Lý THUYếT Định nghĩa luỹ thõa víi sè mị tù nhiªn a an = a.a .a (n N*) n thõa sè b Mét sè tÝnh chÊt : Víi a, b, m, n N am an = am+n, am : an = am-n (a.b)m = am bm (am)n = am.n Quy íc: a1  =a a0 Víi : x, y Q; m, n N; a, b Z =1 x xn = n th a ( b n )= xo = xm xn = xm+n m x n =xm−n x x-n = (xm)n = xm.n (x.y)m = xm ym x ( y n ) download by : skknchat@gmail.com c KiÕn thøc bỉ sung * Víi mäi x, y, z Q: x < y x + z < y + z Víi z > th×: x < y x z < y z z < th×: x < y x z > y z * Víi x Q, n N: (-x)2n = x2n (-x)2n+1 = - x2n+1 * Víi a, b Q; a > b > => an > bn a>b a2n +1 > b2n + a > , m > n > => am > an < a < , m > n > => am > an Các dạng tập Dạng 1: Tìm số cha biết 2.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa *Phơng pháp: Đa hai luỹ thừa số mũ Bài 1: Tìm x biết rằng: a, x3 = c, (x 2)2 Đối với toán này, học sinh cần nắm vững kiến thức dễ dàng làm đợc, lu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trêng hỵp a, x3 = -27 x3 = (-3)3  x = -3 VËy x = - −1 => x = download by : skknchat@gmail.com VËy x −1 = c, d , (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4 Bµi NÕu ë học sinh làm thấy nhẹ nhàng đến không tránh khỏi băn khoăn , lúng túng : hai lũy thừa đà số- cha biết , số mũ- đà biết- lại khác Vậy phải làm cách ? Nhiều học sinh tìm mò ằ đợc x = o x = 1, nhng cách không thuyết phục số x thỏa mÃn đề ? Giáo viên gợi ý : [x x2 = x5 => x5 – x2 = => x2.(x3 - 1) = => [x3 [x=0 [x =1 [x=0 [ [ x=1 Đến giáo viên cho học sinh làm tập sau : Bài Tìm số hữu tỉ y biết : Híng dÉn : (3y - 1)10 = (3y - 1)20 Đặt 3y = x Khi (*) trë thµnh : (*) x10 = x20 download by : skknchat@gmail.com 10 [x =0 Giải tơng tự ta đợc : [x101=0 [x=0 [x=1 [ [x=1 Rất học sinh dừng lại , đà tìm đợc x Nhng đề yêu cầu tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y +) Với x = ta cã : +) Víi x = ta cã : +) Víi x = -1 ta cã : 3y – = -1 => 3y = VËy y = Bài : Tìm x biết : (x - 5)2 = (1 3x)2 Bài nàyngợc với , hai lịy thõa ®· cã sè mị -®· biÕt- giống nhng số cha biết lại khác Lúc ta cần sử dụng tính chất : bình phơng hai lũy thờa hai số đối Ta cè : 3x – = -4 x = -2 Bài : Tìm x y biết : Với toán , số số mũ hai lũy thừa không giống , lại phải tìm cần gợi ý nhỏ giáo viên em giải đợc vấn đề : hÃy so sánh (3x - 5)100 (2y +1)200 víi download by : skknchat@gmail.com a Sn - Sn = an+1 – => Sn = b, Häc sinh dễ dàng tính đợc tổng A, B , C nhê c«ng thøc S n A=1+3+32+…+32008 = B=1+2+22+23+……+21982=21983-1 C = 71 + 72 + 73 + 74 +… + 7n-1 + 7n = Bµi : Thu gän tỉng sau : Mặc dù đà có công thức tính tổng lịy thõa viÕt theo quy lt ë bµi nhng tính tổng M học sinh không tránh khỏi sù lóng tóng víi nh÷ng dÊu ‘+’ , ‘-‘ xen kÏ NÕu vËn dơng m¸y mãc c¸ch tÝnh tỉng B câu b, 4: lấy 2M - M không thu gọn đợc tổng M Giáo viên cần giải thích cho học sinh hiểu đợc : câu bbài 4, ta tính hiệu hai biểu thức hai biểu thức có số hạng giống ; hai tổng 2M M lại có số hạng đối nên ta xét hiệu cđa chóng : M=1-2+22-23+…+22008 2M=2-22+23–24+…+22009 =>2M+M=22009+1 =>M= 22009 +1 Bµi TÝnh : a, b, Híng dÉn : làm tơng tự download by : skknchat@gmail.com a, 2A=1+ A= => 2A – A =(1+ 2 A=1+ + + + .+ A=1b, + + B=1+ 4B=5- B=(5Bµi TÝnh : B = 1002 - 992 + 982 – 972 + ……+22 - Víi bµi nµy rÊt cã thĨ häc sinh nghÜ tíi viƯc nhãm c¸c sè 100 , 982 , … 22thµnh mét nhãm vµ + + số lại thành nhóm Nhng nhóm nh không tính đợc nhanh để làm giáo viên cho học sinh chứng tỏ đẳng thức sau : download by : skknchat@gmail.com Với số tự nhiên a b , ta cã : (a - b).(a+b) = a2 + b2 ThËt vËy , ta cã : (a - b).(a+b) =(a-b).a +(a-b).b = a2- ab+ab-b2 = a2+ b2 VËy : (a - b).(a+b) = a2 + b2 Ap dụng đẳng thức vào ta đợc : B = 1002 - 992 + 982 – 972 + ……+22 – = (100-99).(100+99)+(98-97).(98+97)+…… +(2-1).(2+1) = 100+99+98+97+…….+2+1 = 100.(100+1) : = 5050 Bài 8: Chứng tỏ Để làm đợc câu a, học sinh phải nắm đợc kiến thức liên quan Những toán dạng thực khó với học sinh Để học sinh hiểu đ-ợc phụ thuộc hoàn toàn vào dẫn dắt, gợi mở giáo viên Lu ý: n.(n−1) Ta cã: 2 ∈ N* ) 2008 < 2007 2008 => (*) Nªn , tõ (*) => H < Mµ 1.2 download by : skknchat@gmail.com + Qua toán , giáo viên cho học sinh làm toán tổng quát sau : Bài Chứng tỏ : a, H = b, K = Híng dÉn : 1− + a, H < − Nªn H < b, = 2 Vậy K < Bây giáo viên cho häc sinh lµm mét sè bµi tËp lun tËp sau : Chøng tá r»ng c¸c biĨu thøc sau viết đợc dới dạng số phơng : M=13+23 Q= 13+23+33+43+53 + download by : skknchat@gmail.com N = 13+23+33 13+23+33+43+53+63 P = 13+23+33+43 13+23+33+43+53+63+73 TÝnh A vµ B hai cách trở lên: A = 1+2+22+23+24+.+2n(n B = 70+71+72+73+74+……+7n+1 ViÕt tỉng sau díi d¹ng mét lịy thõa cña 2; T = 22+ 22 + 23 +24+25+……+ 22008 So s¸nh : –1 a, A = 1+2+ 22 + 23 +24+25+……+ 22008 vµ B = 22009 b, P = + + 32+ … + 3200 vµ Q = 3201 c, E = + x + x2+ … + x2008 vµ F = x2009 (x ∈ N*) Chøng tá r»ng : a, 13+33+53+73 b, c, 1+5+ 52 + 53 +… d, TÝnh: a, 3S – 22003 biÕt S b, c, H – K biết: Tìm : a, Số tự nhiên n biÕt: 2A + = 3n Víi A = 3+ 32 + 33 +……+ 3100 b, Ch÷ sè tËn cïng cña M biÕt : M = 2+ 22 + 23 +… + 220 Chøng tá r»ng : a, 87 – 218 ⋮ 14 h, 122n+1 + 11n+2 133 download by : skknchat@gmail.com ⋮ c, 817 – 279 b, 106 – 57 ⋮ d, 1099+23 ⋮ ⋮ ⋮ +20002008 13 vµ e, 1028 + ⋮ g, 439+440+441 2001 41 ⋮ 28 10 Chøng tá r»ng 2 a, b, c, A > B víi: A= 3.5 Dạng 5: Toán đố với lũy thừa Dạng toán đố với lũy thừa có số chủ yếu liên quan đến số phơng Số phơng bình phơng số tự nhiên *Phơng pháp: Cần nắm đợc số kiến thức sau +) Số phơng tận 0, , 4, 5, 6, tận b»ng 2, 3, 7, +) Khi ph©n tÝch thừa số nguyên tố, số phơng chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ +) Số lợng ớc số phơng số lẻ Ngợc lại số có số lợng ớc số lẻ số số phơng download by : skknchat@gmail.com Bài 1: Trong buổi họp mặt đầu xuân Tân Mùi 1991, bạn Thủy đố bạn điền chữ số vào dòng chữ sau để đợc phép tính Mùi mùi = tân mùi (*) Bạn hÃy trả lời giúp Phân tích đề : Đề hay, nhng tìm câu trả lời thật khó Ta phải tìm câu trả lời thích hợp thay cho dòng chữ (*) Mùi số có chữ số Theo (*) (Mùi)2 có tận mùi có chữ số Đi tìm đáp án: Gọi Mùi = a Ta cã: a2 = 1000 T¢N + a hay a2 – a = 1000 T¢N => a.(a-1) ⋮ 1000 Ta thÊy a-1 a hai số liên tiếp 1000 = 125 víi (125 ; ) = VËy cã thĨ x¶y : +) a +) a N) Vậy Mùi mùi = tân mùi Bài 2: Đố bạn: số phơng có chữ số đợc viết chữ số: 3, 6, 8, Với toán này, ta phải sử dụng phơng pháp loại trừ để tìm đáp án: Gọi số phơng phải tìm n2 Số phơng không tận cïng b»ng 3, nªn n cã tËn cïng Số tận 86 chia hết cho 2, không chia hết số phơng Vậy n2 có tận 36 Do số phơng cần tìm 8836 download by : skknchat@gmail.com Bài Bạn hÃy tìm số phơng có chữ cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống Gợi ý : Gọi số cần tìm n => n2 = => Ta cã 100 ¿ 11k2 ¿ 909 => Thử giá trị k có số 704 có chữ số hàng chục Vậy k = số cần tìm 7744 download by : skknchat@gmail.com ... = (2+ 22 + 23 )+ (24 +25 +26 )+……+ (25 8 +25 9+ 26 0 ) = 2. (1 +2+ 22) +24 .(1 +2+ 22) +……. +25 8.(1 +2+ 22) = (1 +2+ 22) . (2+ 24 +27 +……. +25 8) = 7. (2+ 24 +27 +……. +25 8) ⋮ =>A A = (2+ 23 )+ (22 +24 )+……+ (25 7 +25 9)+ (25 8+ 26 0 ) A = 2( 1 +22 ) +22 (1 +22 )+…… +25 7(1 +22 ) +25 8(1 +22 )... VÝ dô : A = 2+ 22 + 23 +……+ 26 0 = (2+ 22) + (23 +24 )+ (25 +26 )+…….+ (25 7 +25 8)+ (25 9 +26 0) = 2. (1 +2) +23 .(1 +2) +25 .(1 +2) +……. +25 7.(1 +2) +25 9.(1 +2) = (1 +2) . (2+ 23 +25 +… +25 7 +25 9) = 3.( 2+ 23 +25 +… +25 7 +25 9) ⋮ =>A... 2( 1 +22 ) +22 (1 +22 )+…… +25 7(1 +22 ) +25 8(1 +22 ) = (1 +22 ). (2+ 22+ 25 +26 +……. +25 7 +25 8) = (2+ 22+ 25 +26 +……. +25 7 +25 8 ⋮ =>A Bµi 4: Chøng tá r»ng : download by : skknchat@gmail.com D = + 32 + 33 + 34 +…… + 320 07