(SKKN CHẤT 2020) chuyên đề môn toán hệ thức viet

I Ứng dụng II Ứng dụng III Ứng dụng IV Ứng dụng V Ứng dụng VI Ứng dụng VII Ứng dụng VIII Ứng dụng B CỤ THỂ: ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨ Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0) Có hai nghiệm Suy ra: Vậy đặt : - Tổng nghiệm S : S = - Tích nghiệm P : P= Như ta thấy hai nghiệm phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với hệ số a, b, c Đây nội dung Định lí VI-ÉT, sau ta tìm hiểu số ứng dụng định lí giải tốn download by : skknchat@gmail.com I NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH : Dạng đặc biệt: Xét phương trình (*) ta thấy : a) Nếu cho x = ta có (*)  a.12 + b.1 + c = Như vây phương trình có nghiệm b) Nếu cho x = a+b+c=0 nghiệm cịn lại ta có (*)  a.( 1)2 + b( 1) + c =  a Như phương trình có nghiệm b+c=0 nghiệm cịn lại Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm phương trình sau: 1) (1) 2) (2) Ta thấy : Phương trình (1) có dạng a b + c = nên có nghiệm Phương trình (2) có dạng a + b + c = nên có nghiệm Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau: Cho phương trình , có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm tìm nghiệm cịn lại hệ số phương trình : Vídụ: a) Phương trình x2 b) Phương trình x2 px Có nghiệm 2, tìm p nghiệm thứ hai 5x q có nghiệm 5, tìm q nghiệm thứ hai c) Cho phương trình : x2 7x q , biết hiệu nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình d) Tìm q hai nghiệm phương trình : x2 qx 50 , biết phương trình có nghiệm có nghiệm lần nghiệm Bài giải: a) Thay v phương trình ban đ ầu ta đ ợc : download by : skknchat@gmail.com Từ b) Thay suy v phương trình ban đ ầu ta đ ợc Từ suy c) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử theo VI-ÉT ta có , ta giải hệ sau: Suy d) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử Với Với theo VI-ÉT ta có Suy th ì th ì II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm Ví dụ : Cho ; lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm Theo hệ thức VI-ÉT ta có nghiệm phương trình có dạng: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước: download by : skknchat@gmail.com o phương trình : x2 3x có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Khơng giải phương trình trên, 1 x1 x2 Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: Vậy phương trình cần lập có dạng: hay Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình 3x2 5x có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Khơng giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 (Đáp số: 2/ Cho phương trình : x2 5x có nghiệm y1 x14 y2 x24 (có nghiệm luỹ thừa (Đáp số : y2 3/ Cho phương trình bậc hai: x2 2x m2 727 y ) có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương nghiệm y1 ; y2 sa (Đáp số a) y1 a) y2 III TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng S Tích P hai số hai nghiệm phương trình : (điều kiện để có hai số S2 số a, b biết tổng S = a + b = Vì a + b = ab = tích P = ab = 4P ) Ví dụ : Tìm hai 4 n ên a, b nghiệm phương trình : download by : skknchat@gmail.com giải phương trình ta Vậy a = b = a = 4 b = Bài tập áp dụng: Tìm số a b biết Tổng S Tích P S= S= 3 S= S = 2x Bài tập nâng cao: Tìm số a b biết a + b = a2 + b2 = 41 a b = ab = 36 a2 + b2 = 61 v ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức VI- ÉT cần tìm tích a v b Từ Suy : a, b nghiệm phương trình có dạng : Vậy: Nếu a = b = a = b = 2) Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = a.c = 36 Suy a,c nghiệm phương trình : Do a = c = nên b = a = c = nên b = Cách 2: Từ *) Với Vậy a = ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : b = download by : skknchat@gmail.com *) Với ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : Vậy a = b = 3) Đã biết ab = 30, cần tìm a + b: T ừ: a2 + b2 = 61 *) Nếu ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình: Vậy a = *) Nếu b = ; a = b = ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình : Vậy a = b = ; a = b = IV TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức Biến đổi biểu thức để làm xuất : ( Ví dụ ) a) b) c) d) Ví dụ Ta biết Từ biểu thức biến đổi biến đổi biểu thức sau: ( (= (= download by : skknchat@gmail.com Bài tập áp dụng Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x 8x 15 Khơng giải phương trình, tính x12 x2 x1 x2 x2 Khơng giải phương trình, tính: b) Cho phương trình : x1 1 x1 x2 1 x1 x2 1 c) Cho phương trình : x 14x 29 Khơng giải phương trình, tính: d) Cho phương trình : 2x 3x Khơng giải phương trình, tính: x x 2 3.x1 x2 e) Cho phương trình x Q 6x12 10x1x2 6x22 5x1x23 5x13 x2 HD: Q 6x2 10x x 5x x3 V TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHƠNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm toán loại này, ta làm theo bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a và0) - Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v P = x1 x2 theo tham số download by : skknchat@gmail.com - Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x1 x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 Ví dụ : Cho phương trình : m x 2mx m có nghiệm x1 ; x2 Lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho chúng không phụ thuộc vào m Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì : Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : Rút m từ (1) ta có : (3) Rút m từ (2) ta có : (4) Đồng vế (3) (4) ta có: Ví dụ 2: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình : m x 2mx m A x1 x2 Chứng minh biểu thức 2x1 x2 không phụ thuộc giá trị m Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì : Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó : thay v A ta c ó: download by : skknchat@gmail.com Vậy A = với Do biểu thức A khơng phụ thuộc vào m Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm - Sau dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số Bài tập áp dụng: Cho phương trình : x m x 2m có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho x1 ; x2 độc lập m Hướng dẫn: Dễ thấy phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có Từ (1) (2) ta có: Cho phương trình : x2 Tìm hệ thức liên hệ x1 Hướng dẫn: Dễ thấy nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có Từ (1) (2) ta có: VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO Đối với toán dạng này, ta làm sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a 0) download by : skknchat@gmail.com - Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ 1: Cho phương trình : mx2 6m 1x 9m Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1 x2 Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó nghiệm x1 x2 l : Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: v t gi ả thi ết: Suy ra: (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 2m x m2 Theo hệ thức VI-ÉT ta có: x1 x2 Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2 x1 Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x2 x2 : từ giả thiết 3x1 x2 x1 x2 Suy Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2 x1 x2 Bài tập áp dụng 10 download by : skknchat@gmail.com Cho phương trình : mx 2 m 4x m Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 Cho phương trình : x m 1x 5m 3m x 0 Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức: 4x1 Cho phương trình : 3x 2x2 3m 3x2 Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 5x2 Hướng dẫn cách giải: Đối với tập dạng ta thấy có điều khác biệt so với tập Ví dụ ví dụ chỗ + Trong ví dụ biểu thức nghiệm chứa sẵn tổng nghiệm tích nghiệm nên ta vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m + Cịn tập biểu thức nghiệm lại khơng cho sẵn vậy, vấn đề đặt làm để từ biểu thức cho biến đổi biểu thức có chứa tổng nghiệm tích nghiệm từ vận dụng tương tự cách làm trình bày Ví dụ ví dụ BT1: - ĐKX Đ: -Theo VI-ÉT: - Từ x1 2x2 Suy ra: (2) - Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình sau: BT2: - ĐKXĐ: - Theo VI-ÉT: - Từ : 4x1 3x2 Suy ra: - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : (thoả mãn ĐKXĐ) 11 download by : skknchat@gmail.com BT3: - Vì với số thực m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt - -Theo VI-ÉT: - Từ giả thiết: 3x1 5x2 Suy ra: - Thế (1) vào (2) ta phương trình: (thoả mãn ) VII XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình: ax bx c (a 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm … Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm trái dấu dấu, dương, âm Ví dụ: Xác định tham số m cho phương trình: có nghiệm trái dấu Để phương trình có nghiệm trái dấu Vậy với phương trình có nghi ệm trái dấu Bài tập tham khảo: mx2 2m 2 3mx 2x 3m có nghiệm dấu 2m x m có nghiệm âm m x 2x m có nghiệm khơng âm 12 download by : skknchat@gmail.com VIII TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Áp dụng tính chất sau bất đẳng thức: trường hợp ta phân tích được: ( Thì ta thấy : ( ( Ví dụ 1: Cho phương trình : x2 2m x m Gọi x1 x2 A x12 x22 6x1 x2 có giá trị nhỏ Bài giải: Theo VI-ÉT: Theo đ ề b ài : Suy ra: Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 mx m Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị biểu thức sau: B Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT : Cách 1: Thêm bớt để đưa dạng phần (*) hướng dẫn Ta biến đổi B sau: 13 download by : skknchat@gmail.com Vì Vậy m=1 Với cách thêm bớt khác ta lại có: Vì Vậy Cách 2: Đưa giải phương trình bậc với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trình cho ln có nghiệm với m (Với m ẩn, B tham số) (**) Ta có: Để phương trình (**) ln có nghiệm với m hay Vậy: m=1 Bài tập áp dụng Cho phương trình : x2 4m x m Tìm m để biểu thức A x1 x2 có giá trị nhỏ 14 download by : skknchat@gmail.com Cho phương trình Tìm m cho nghiệm thỏa mãn điều kiện Cho phương trình : xác định m để phương trình có nghiệm a) đạt giá trị lớn b) đạt giá trị nhỏ Cho phương trình : Với giá trị m, biểu thức thỏa mãn dạt giá trị nhỏ Cho phương trình Xác định m để biểu thức đạt giá trị nhỏ 15 download by : skknchat@gmail.com ... CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức Biến... lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho x1 ; x2 độc lập m Hướng dẫn: Dễ thấy phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có Từ (1) (2) ta có: Cho phương trình : x2 Tìm hệ thức. .. phương trình cho có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 2m x m2 Theo hệ thức VI-ÉT ta có: x1 x2 Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2 x1 Bài giải: Điều kiện