(SKKN CHẤT 2020) CHUYÊN đề bài TOÁN CHIA hết TRONG số học

CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN CHIA HẾT TRONG SỐ HỌC download by : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU Để làm quen với số học việc đầu tiên, biết đến tốn chia hết, khái niệm trọng tâm số học Những tốn chia hết nói khơng thể thiếu số học nói riêng tốn học nói chung Trên giới có nhiều toán chia hết ha, đẹp, có phương pháp chứng minh thật thú vị bổ ích Khi cho trước số nguyên a số nguyên dương b, câu hỏi hiển nhiên đặt là: Liệu a có chia hết cho b không? Và làm cách để biết điều đó? Đó điều mà phải giải thường xuyên gặp toán số học Có thể nói vấn đề đồng dư chia hết vấn đề kiến thức lề học phân mơn số học Thường học sinh hay lao vào tốn phương trình nghiệm ngun thủ thuật giải mà khơng biết toán phép chia hết lại gốc dễ vấn đề Hiểu rõ tầm quan trọng này, tác giả xin đưa số phương pháp giải tốn chia hết, sau đưa cách khai thác tiếp cận với tốn khó Qua hy vọng phần giúp bạn đọc có cách nhìn định hướng đắn gặp toán số học NỘI DUNG A MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒNG DƯ CHIA HẾT I Phép chia tập số nguyên 1.1 Định nghĩa Cho hai số nguyên , Ta nói b chia hết cho a với c nguyên, ta cịn nói a chia hết b b bội a kí hiệu 1.2 Tính chất 1.2.1 Nếu download by : skknchat@gmail.com 1.2.2 Nếu 1.2.3 Nếu với m,n nguyên 1.2.4 Với số nguyên a khác 1.2.5 Nếu 1.2.6 Nếu 1.2.7 Nếu 1.3.Thuật chia Euclide Cho a b số nguyên, cặp số nguyên cho Khi tồn Ta gọi q thương, r phần dư Như vậy, a chia hết cho b phần dư thuật chia Euclide Ta thường gọi thuật chia Euclide phép chia Euclide II Số nguyên tố hợp số 2.1 Định nghĩa Số nguyên gọi số nguyên tố có hai ước ngun dương Số nguyên không nguyên tố gọi hợp số 2.2 Tính chất 2.2.1 Mỗi số nguyên dương lớn có ước nguyên tố 2.2.2 Ước nguyên dương nhỏ khác n số ngun tố ước khơng vượt q 2.2.3 Có vơ hạn số ngun tố (số ngun tố lớn tìm , tìm năm 2006 có 9808358 chữ số) 2.2.4 (Phân tích số theo thừa số nguyên tố) Mỗi số nguyên dương phân tích thành tích thừa số nguyên tố: nguyên tố BI , với Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ (The greatest common divisor and the least common multiple) download by : skknchat@gmail.com 3.1 Định nghĩa 3.1.1 Giả sử a,b hai số nguyên không đồng thời Ước chung lớn hai số a,b số nguyên lớn chia hết hai số Ta thường dùng kí hiệu để ước chung lớn hai số a b Hai số nguyên a,b gọi nguyên tố 3.1.2 Giả sử a,b hai số nguyên khác Bội chung nhỏ hai số a,b số nguyên dương nhỏ chia hết cho hai số Ta thường dùng kí hiệu để bội chung nhỏ hai số a b 3.2 Tính chất 3.2.1 Nếu p nguyên tố 3.2.2 Nếu 3.2.3 Nếu d' ước chung a b 3.2.4 Nếu Do với 3.2.5 Nếu 3.2.6 Với a,b nguyên dương 3.2.7 Nếu Nếu 3.2.8 Nếu a,b hai số nguyên dương nguyên tố tồn hai số nguyên dương u,v cho Tổng quát hơn: Nếu a,b hai số nguyên dương tồn hai số nguyên u,v cho IV Đồng dư (Modular arithmetics) 4.1 Định nghĩa Cho số nguyên số nguyên dương Nếu hết cho n ta nói a đồng dư với b modulo n, ký hiệu 4.2 Tính chất Cho số nguyên Ta có tính chất bản: download by : skknchat@gmail.com chia 4.2.1 Nếu 4.2.2 Nếu 4.2.3 Nếu 4.2.4 Nếu 4.2.5 Nếu với k ngun ta có 4.2.6 Nếu Đặc biệt với k ngun dương ta có 4.2.7 Nếu 4.2.8 Nếu Đặc biệt nguyên tố sánh đơi 4.3 Định lý Fermat Giả sử p nguyên tố, a số nguyên cho Khi Có thể đưa chứng minh đơn giản cho định lý sau: Xét số Ta chứng minh không tồn số đồng dư với phép chia cho p Thật vậy, giả sử tồn với (mâu thuẫn) Vậy chia số cho p ta nhận số dư khác Suy Vì suy Hệ Nếu p nguyên tố B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN CHỨNG MINH BÀI TOÁN CHIA HẾT Phương pháp dùng phép chia có dư download by : skknchat@gmail.com Căn vào số chia b, mà xét khả phân tích với Sau đó, với khả phân tích lý luận để suy lời giải toán Chẳng hạn với với số ngun a phân tích thành ba dạng Ví dụ Chứng minh Lời giải Với Với thì không chia hết cho với số nguyên a không chia hết cho , chia dư Với Với , chia dư , chia dư Vậy trường hợp khơng chia hết cho Ví dụ Tìm tất số nguyên dương n thỏa mãn Lời giải Rõ ràng n không chia hết cho Như vậy, n có dạng Nếu tức Nếu Nếu Nếu Như vậy, n có dạng Nhận xét: Các số dạng , gọi số Cullen Các số Cullen với hợp số, số Cullen với số nguyên tố Từ tốn ta suy có vơ hạn số Cullen hợp số, nhiên chưa biết có hữu hạn hay vơ hạn số Cullen số nguyên tố Ví dụ Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh Lời giải Ta chứng minh chia hết cho 2; 3; p download by : skknchat@gmail.com Thật vậy, ta có Do p lẻ nên Khó khăn toán chứng minh xét hai dạng p Để giải bước ta Ta có Tương tự với Vậy tốn chứng minh Bài tập tương tự: Bài Chứng minh Bài Chứng minh chia hết cho với số nguyên a chia hết cho với số nguyên a Bài Chứng minh chia hết cho với số nguyên a,b Bài Tìm số phần tử tập Phương pháp sử dụng đồng dư Nội dung phương pháp đơn giản dùng tính chất phép biến đổi đồng dư để chứng minh tính chia hết tìm số dư phép chia Ví dụ Chứng với số ngun dương n Lời giải Ta có: , suy Ví dụ Chứng với số tự nhiên n download by : skknchat@gmail.com chia hết cho 24 (đpcm) chia hết cho 133 Lời giải Ta có: Vì nên (1) Mặt khác (2) Từ (1) (2) suy Ví dụ Cho (đpcm) số nguyên dương Chứng minh chia hết cho số chia hết cho Lời giải Bài toán tương đương với việc chứng minh tồn hai ba số có số dư chia cho Nhận xét với số nguyên n Giả sử ; Từ ta thấy phải tồn hai số tốn chứng minh Phương pháp quy nạp toán học Phương pháp quy nạp tỏ hữu hiệu với toán chia hết phụ thuộc biến n có dạng lũy thừa phức tạp Ta đưa vài tốn minh họa cho phương pháp Ví dụ Chứng minh Lời giải Với Giả sử mệnh đề với n, tức Ta có Do Vậy Ví dụ Cho Lời giải Với download by : skknchat@gmail.com Giả sử mệnh đề với n, tức mệnh đề với , ta chứng minh Thật vậy, ta có Vậy với n nguyên dương, Ví dụ Chứng minh với n nguyên dương Lời giải Với mệnh đề hiển nhiên Giả sử mệnh đề với n, tức Ta có Như vậy, (đpcm) Nhận xét 1: Từ toán ta suy kết sau: Tồn vô hạn số nguyên dương n cho Rõ ràng cách hỏi khó để làm phải đốn nhận dạng tổng qt n, tốn cần chọn Đây dạng khó đặc biệt với học sinh THCS Tuy nhiên đưa thêm điều kiện n ngun tố tìm n thỏa mãn đề Thật vậy, theo định lý Fecmat, Vậy có , suy số nguyên tố thỏa mãn tính chất Nhận xét 2: Ta đưa tốn mà cách hỏi có chất khác hẳn sau: Chứng minh phương trình có vơ hạn nghiệm ngun dương Rõ họ nghiệm phương trình Bài tập tương tự: Bài Chứng minh với số tự nhiên n: a) b) c) chia hết cho 17 chia hết cho 23 chia hết cho 31 download by : skknchat@gmail.com Bài Chứng minh tổng lập phương ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Bài Chứng minh với số nguyên không âm b, số chia hết cho 169 Phương pháp sử dụng định lý Fecmat Với tốn khó hơn, đặc biệt toán chia hết liên quan đến số nguyên tố, biết dùng khéo léo định lý Fecmat cho ta lời giải nhanh gọn gàng Định lý Fecmat phát biểu thật đơn giản dễ nhớ lại mạnh, việc dùng cho phù hợp tinh tế điều quan trọng dạy cho học sinh cấp THCS Có thể nói định lý Fecmat đem lại vẻ đẹp tốn chia hết nói riêng tốn số học nói chung Ví dụ Cho p số nguyên tố lẻ, đặt Biết Chứng minh k không chia hết cho Lời giải Giả sử k chia hết cho Theo định lý Fecmat ta có Do nên thuẫn với , suy Vậy k không chia hết cho , mâu Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên k ta có chia hết cho 19 Lời giải Ta có Do hai vế chẵn nên Mặt khác, theo định lý Fecmat, Như vậy, (đpcm) Ví dụ Chứng minh chia hết cho 13 Lời giải Theo định lý Fecmat ta có: Mặt khác, Do 10 download by : skknchat@gmail.com Lại có Như vậy, (đpcm) Ví dụ Cho p nguyên tố a số nguyên Chứng minh Lời giải Ta có suy Suy Tương tự Do Do (đpcm) Ví dụ Cho p nguyên tố lẻ, đặt a) Chứng minh m hợp số lẻ m không chia hết cho b) Chứng minh c) Chứng minh Lời giải a) Ta có , suy m hợp số Mặt khác , suy m lẻ m chia dư b) Theo định lý Fecmat Vậy c) mà chia hết cho p Ta có (đpcm) Ví dụ Chứng minh với số nguyên tố p, tồn vô số nguyên dương n thoả mãn Lời giải Nếu Nếu n chẵn thoả mãn điều kiện đề , theo định lý Fermat, ta có: 11 download by : skknchat@gmail.com Lấy với Khi Do có vơ số số nguyên dương m cho nguyên dương n thoả mãn nên tồn vơ số số (đpcm) Ví dụ Cho p nguyên tố lớn Chứng minh số chia hết cho p Lời giải Ta có S = Vì Mặt khác nên theo định lý Fecmat, ta nên Bài tương tự Bài Cho p, q hai số nguyên tố phân biệt Chứng minh Bài Tìm số nguyên tố p q cho p3 – q5 = (p + q)2 C MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO Trong phần đưa số tốn nâng cao điển hình số học liên quan đến đồng dư chia hết, sau phân tích nhấn mạnh số kết tính chất quan trọng sử dụng khai thác tốn Qua góp phần cho bạn có cách nhìn cách tiếp cận với toán số học THCS Bài toán Cho số lẻ n số nguyên dương Chứng minh chia hết cho p Lời giải Đặt k lẻ Ta có Lấy tổng cho d chạy từ đến Chú ý: Với ta điều phải chứng minh nguyên phân biệt, ta có 12 download by : skknchat@gmail.com Với nguyên , ta có , n lẻ Tính chất hiển nhiên sử dụng nhiều tốn chia hết có lũy thừa số nguyên Từ tính chất cho ta tính chất đa thức nguyên sau: Cho đa thức có hệ số nguyên Khi ln chia hết cho với ngun phân biệt Ta thử đưa ví dụ áp dụng tính chất Bài tốn 1.1 Tồn hay khơng đa thức hệ số nguyên cho ; ? Hint Nếu tồn đa thức cho thỏa mãn đề , điều vô lý Vậy không tồn Bài toán 1.2 Cho đa thức số nguyên phân biệt phải chia hết thỏa mãn hệ số nguyên Chứng minh khơng tồn ba thỏa mãn Bài tốn 1.3 Cho m nguyên dương cho số nguyên tố Chứng minh m số nguyên tố Hint Giả sử m hợp số, suy Ta có nên hợp số, trái giả thiết Nhấn mạnh: Tính chất quan trọng: Nếu m,n nguyên dương thỏa mãn Bài tốn Cho n số nguyên dương lớn thỏa mãn Chứng minh n chẵn Phân tích tốn Để chứng minh số n chẵn ta cần chứng minh ước nguyên tố nhỏ n Khi đưa thêm yếu tố số nguyên tố vào ta có thêm nhiều cơng cụ để giải tốn Đặc biệt từ giả thiết có quan hệ đồng dư , với việc áp dụng định lý Fecmat ta có thêm nhiều 13 download by : skknchat@gmail.com suy luận cho p n Để giải toán dạng ta sử dụng thêm tính chất hay sau đây: Bổ đề: Cho a nguyên, n p nguyên dương thỏa mãn nguyên dương nhỏ thỏa mãn Gọi h số Khi n chia hết cho h Chứng minh: Ta biểu diễn Ta có Nếu điều mẫu thuẫn với việc chọn h số mũ nhỏ thỏa mãn Vậy , tức n chia hết cho h Lời giải toán Gọi p ước nguyên tố nhỏ n, ta chứng minh Ta có Gọi h số nguyên dương nhỏ cho (*) Theo bổ đề n chia hết cho h Cũng theo định lý Fecmat ta có Nếu , nên theo bổ đề thì gọi q ước nguyên tố h , suy Mà , mâu thuẫn với p ước nguyên tố nhỏ n Vậy , từ theo (*) ta Do n chẵn (đpcm) Một số tốn tương tự (sự dụng bổ đề) Bài toán 2.1 Cho p nguyên tố Gọi q ước nguyên tố minh chia hết cho p Hướng dẫn Gọi h số nguyên dương nhỏ thỏa mãn Khi Chứng , dễ thấy suy Theo định lý Fecmat ta có (đpcm) 14 download by : skknchat@gmail.com Bài toán 2.2 Cho p nguyên tố, a số nguyên, Đặt ước nguyên tố A Chứng minh chia hết cho p Bài toán 2.3 Cho n nguyên, thỏa mãn Gọi q Chứng minh n chẵn n không chia hết cho Bài toán 2.4 Cho a số tự nhiên, n nguyên lớn thỏa mãn a) Chứng minh n lẻ b) Chứng minh không lũy thừa Hướng dẫn a) Nếu n chẵn số phương, suy Nhưng , nên điều mẫu thuẫn b) Gọi p ước nguyên tố nhỏ n, n lẻ nên p lẻ Ta có Gọi h số nguyên dương nhỏ cho Khi Từ chứng minh Suy Vậy (tương tự tốn trên) có ước nguyên tố lẻ, tức là lũy thừa (đpcm) Bài tốn 2.5 Tìm tất n nguyên dương cho Bài toán 2.6 Cho p số nguyên tố lẻ, q,r số nguyên tố thỏa mãn ương cho Chứng minh hoặc Bài toán (HSG lớp Vĩnh Phúc 2009) Tìm tất số nguyên dương n cho với số a lẻ mà Lời giải Ta khai thác giả thiết với a lẻ thỏa mãn có tính chất để chặn a Muốn ta gọi a số nguyên dương lẻ lớn thỏa mãn , 15 download by : skknchat@gmail.com Nếu số lẻ chia hết n, mà số nguyên tố sánh đôi nên Dễ thầy điều mẫu thuẫn với Do Từ tìm Nhận xét: Đây dạng toán quen thuộc với học sinh THCS, tốn u cầu tìm số nguyên thỏa mãn quan hệ chia hết Để giải tốn dạng ta thường khai thác tính chất chia hết để chặn biến đánh giá thêm tính chất số học cho biến Có thể sử dụng thêm định lý Fecmat để xử lý cho nhanh nhiều tình Ta xét vài toán tương tự Bài toán 3.1 Cho p nguyên tố a,n nguyên dương thỏa mãn minh Chứng Hint Với Với Nếu Suy (vơ lí) Bài tốn chứng minh Bài tốn 3.2 Tìm tất n nguyên dương cho xóa chữ số cuối n ta số ước n Hint Gọi b chữ số cuối n a số thu xóa b, ta có Từ ta suy Nếu n ln thỏa mãn Nếu nên a chữ số n Khi số n thỏa mãn 11, 12,…,19, 22, 24, 26, 28, 33, 36, 39, 44, 48, 55, 56, 77, 88, 99 Bài toán 3.3 Cho n số nguyên dương chẵn nguyên tố Tìm biết hai số nguyên dương chia hết cho Hint Ta có 16 download by : skknchat@gmail.com Từ Cùng với giả thiết suy Suy Bài toán 3.4 Tìm tất số nguyên dương n cho số nguyên tố Hint Đặt Với n=1 P=3 số nguyên tố, n=1 thoả mãn Với , ta có Ta có chia hết cho , suy chia hết Vậy P chia hết cho Trong trường hợp P không số nguyên tố Vậy n=1 giá trị cần tìm Bài tốn 3.5 Tìm tất ngun dương để Bài tốn 3.6 Tìm tất số ngun tố số nguyên tố cho Bài toán Chứng minh với số ngun khơng số nguyên tố Lời giải Ta có: Chú ý nhân tử lớn nên không số nguyên tố Nhận xét: Đây dạng quen thuộc số học Để chứng minh số số nguyên tố hợp số ta thường cố gắng phân tích nhân tử đánh giá vào ước số nó, có trường hợp ta dùng phương pháp phản chứng Một số toán tương tự: Bài toán 4.1 Cho minh nguyên khác thỏa mãn không số nguyên tố 17 download by : skknchat@gmail.com Chứng Bài toán 4.2 (42nd IMO) Cho số nguyên dương thỏa mãn Chứng minh không số nguyên tố Bài toán 4.3 Cho số Chứng minh nguyên dương thỏa mãn hợp số Hint Từ giả thiết ta suy Phản chứng nguyên tố, ta có Mặt khác , suy (*) Mà , p nguyên tố suy thể xảy Vậy nên (*) không hợp số Nhận xét: Tư tưởng hay đẹp đẽ toán nằm bước phản chứng, từ bước cho tam thêm giả thiết ta phép đánh giá theo số nguyên tố, từ cho đơn giản mà hiệu Nếu khơng có p ngun tố phép suy luận chia hết khó khăn hẳn Bài tốn Tìm ước chung lớn số với Lời giải Ta có Xét theo mod5 ta Với , Xét theo mod7 ta , suy không ước chung số Do số chia hết cho với số tự nhiên n Suy ước chung lớn của 18 download by : skknchat@gmail.com Bài tương tự: (IMO 2005) Cho dãy số Chứng minh với số nguyên tố p tồn số hạng dãy chia hết cho p Hint Với Với thỏa mãn , ta có Theo định lý Fecmat, ta có (đpcm) Nhận xét: Từ kết ta giải tốn sau: Tìm tất số ngun dương mà chúng nguyên tố với số hạng dãy Rõ ràng có số thỏa mãn yêu cầu toán Bài toán Chứng minh số kết sau: KQ1 Cho số nguyên tố Chứng minh với x,y hai số nguyên ta có Chứng minh Giả sử Nếu , ta chứng minh , ta có điều phải chứng minh Nếu , theo định lý Fecmat, ta có Lại có Do (đpcm) KQ2 Cho số nguyên tố có Chứng minh với hai số nguyên ta Kết suy trực tiếp từ kết KQ3 Cho số nguyên a Chứng minh ước số nguyên tố lẻ có dạng Từ suy ước nguyên dương lẻ có dạng 19 download by : skknchat@gmail.com Chứng minh Gọi p ước nguyên tố lẻ (1) Hiển nhiên Nếu p có dạng Mặt khác từ (1) suy Vậy p có dạng KQ4 Cho Chứng minh Chứng minh Giả sử Theo định lý Fecmat, ta có Mặt khác Mà lẻ nên Từ (1) (2) suy KQ5 Giả sử Chứng minh Chứng minh Giả sử Theo định lý Fecmat ta có Suy Theo giả thiết Vậy Đặc biệt hóa cho KQ5.1 Cho số nguyên tố dạng 20 download by : skknchat@gmail.com thỏa mãn KQ5.2 Cho số nguyên tố dạng số tự nhiên x,y thỏa mãn Trên kết quan trọng có ứng dụng mạnh với toán đồng dư chia hết Xin đưa vài toán áp dụng minh họa: Bài tốn 7.1 Cho đa thức Chứng minh Hint Ta viết Do Bài toán 7.2 Cho đa thức a,b hai số ngun Chứng minh Bài tốn 7.3 Cho x,y nguyên dương cho số ngun Tìm giá trị nhỏ A Bài tốn Cho số nguyên, Chứng minh thỏa mãn điều kiện không chia hết cho p Phân tích tốn Rõ ràng cách hỏi toán đơn giản nhiên lại tốn khó khơng hiểu rõ ý nghĩa phép chia hết Từ giải thiết p số nguyên gần chẳng cho ta điều cả, ta ước p số nguyên tố, lẽ p nguyên tố từ suy Từ suy khơng chia hết cho p Vậy phải xử lý để dùng tính chất chia hết Tại ta không nghĩ tới gọi ước nguyên tố p Bởi lẽ gọi q ước nguyên tố p mà chứng minh khơng chia hết cho q 21 download by : skknchat@gmail.com suy không chia hết cho p Đến thứ rõ ràng toán giải ngắn gọn Ta rút điều quan trọng: "Để chứng minh a không chia hết cho b, ta cần chứng minh a không chia hết cho ước nguyên tố b" Bài tốn 10 Cho Chứng minh Lời giải Đặt nguyên khác thỏa mãn chia hết cho số nguyên a,b số hữu tỉ Mặt khác nguyên số nguyên nên nghiệm hữu tỷ phương trình hệ số nguyên nguyên Do Từ suy Vậy (đpcm) Có thể tổng quát với n nguyên dương chia hết cho ta có Bài tương tự: Cho Chứng minh nguyên khác thỏa mãn chia hết cho 22 download by : skknchat@gmail.com số nguyên Cuối số tập Bài Tìm tất số tự nhiên n cho ; ; ; ; số nguyên tố Bài Tìm dư chia số 112010 cho số 24 Bài Chứng minh Bài Cho với số n nguyên dương nguyên dương thỏa mãn Chứng minh Bài Chứng minh với số n nguyên dương Bài Giả sử n số tự nhiên không chia hết cho 17 Chứng minh hoặc Bài Với số nguyên n ta có Bài Chứng minh p số nguyên tố số nguyên tố Bài Chứng minh không tồn số tự nhiên n cho chia hết cho Bài 10 Tìm tất số nguyên tố p cho có ước số ngun dương Bài 11 Tìm tất số nguyên tố p cho hệ phương trình sau có nghiệm ngun: Bài 12 Chứng minh với số nguyên m tồn số nguyên n cho: chia hết cho 191 Bài 13 Cho hai số nguyên hai số thoả mãn Chứng minh có chia hết cho Bài 14 Tìm tât số nguyên tố p, q cho (5p – 2p)(5q – 2q) chia hết cho pq Bài 15 Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun dương 23 download by : skknchat@gmail.com a) (Euler) b) (Lebesgue) Bài 16 Chứng minh m2 – n2 số nguyên tố m, n số tự nhiên liên tiếp Bài 17 Cho nguyên dương thỏa mãn Chứng minh hợp số với n tự nhiên Bài 18 Chứng minh Bài 19 Cho hợp số với n nguyên dương hai số nguyên ước số Bài 20 Tìm số nguyên tố số nguyên tố lẻ Chứng minh ước thỏa mãn TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài giảng số học, Đặng Hùng Thắng- NXB Giáo Dục Việt Nam Number Theory, Titu Andreescu-Dorin Andrica Diễn đàn toán học: Mathscope.org; Mathlinks.ro Một số đề thi nước 24 download by : skknchat@gmail.com ... quen với số học việc đầu tiên, biết đến toán chia hết, khái niệm trọng tâm số học Những toán chia hết nói khơng thể thiếu số học nói riêng tốn học nói chung Trên giới có nhiều tốn chia hết ha,... chứng minh Bài tập tương tự: Bài Chứng minh Bài Chứng minh chia hết cho với số nguyên a chia hết cho với số nguyên a Bài Chứng minh chia hết cho với số nguyên a,b Bài Tìm số phần tử tập Phương pháp... minh Bài Tìm số nguyên tố p q cho p3 – q5 = (p + q)2 C MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO Trong phần đưa số toán nâng cao điển hình số học liên quan đến đồng dư chia hết, sau phân tích nhấn mạnh số kết