Dạng toán đố với lũy thừa có một số bài chủ yếu liên quan đến số chính phơng. Số chính phơng là bình phơng của một số tự nhiên.
*Phơng pháp: Cần nắm đợc một số kiến thức sau.
+) Số chính phơng chỉ có thể tận cùng là 0, 1 , 4, 5, 6, 9 và không thể tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
+) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phơng chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.
+) Số lợng các ớc của một số chính phơng là một số lẻ. Ngợc lại một số có số lợng các ớc là một số lẻ thì số đó là số chính phơng.
Bài 1: Trong buổi họp mặt đầu xuân Tân Mùi 1991, bạn Thủy đố các bạn điền các chữ số vào dòng chữ sau để đợc phép tính đúng
Mùi . mùi = tân mùi (*)
Bạn hãy trả lời giúp. Phân tích đề bài :
Đề bài rất hay, nhng khi tìm câu trả lời thì thật là khó. Ta phải tìm câu trả lời thích hợp thay cho dòng chữ (*)
Mùi là số có 3 chữ số
Theo (*) thì (Mùi)2 có tận cùng là mùi và có 6 chữ số. Đi tìm đáp án:
Gọi Mùi = a. Ta có:
a2 = 1000. TÂN + a hay a2 – a = 1000. TÂN
=> a.(a-1) ⋮ 1000 Ta thấy a-1 và a là hai số liên tiếp
1000 = 125 . 8 với (125 ; 8 ) = 1 Vậy có thể xảy ra :
+) a +) a
N)
Vậy Mùi . mùi = tân mùi
Bài 2: Đố bạn: số chính phơng nào có 4 chữ số đợc viết bởi các chữ số: 3, 6, 8, 8.
Với bài toán này, ta phải sử dụng phơng pháp loại trừ để tìm ra đáp án:
Gọi số chính phơng phải tìm là n2
Số chính phơng không tận cùng bằng 3, 8 nên n2 có tận cùng là 6 Số tận cùng là 86 thì chia hết cho 2, không chia hết cho 4 nên
không phải là số chính phơng. Vậy n2 có tận cùng là 36. Do đó số chính phơng cần tìm là 8836
Bài 3.
Bạn hãy tìm số chính phơng có 4 chữ sao cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau.
Gợi ý : Gọi số cần tìm là n => n2 = =>
Ta có 100 ¿ 11k2 ¿ 909 => 4
Thử các giá trị của k chỉ có số 704 có chữ số hàng chục bằng 0. Vậy k = 8 và số cần tìm là 7744 .