Ôn tập Hình học 10 Chương 2: Tích vô hướng của hai véc tơ và ứng dụng28691

Chương 2: Tích vơ hướng hai véc tơ ứng dụng §1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC TỪ ĐẾN 180 A LÝ THUYẾT Định nghĩa: Lấy M nửa đường tròn đơn vị tâm O Xét góc nhọn  = sin = y (tung độ) cos = x (hồnh độ) y  tung độ  tan =  (x  0) y  x  hoành độ  ฀ xOM Giả sử M(x; y) y M ฀฀ x1 O x -1 x  hoaønh ñoä  (y  0)   y  tung độ  Chú ý: – Nếu  tù cos < 0, tan < 0, cot < – tan xác định   900, cot xác định   00   1800 Các hệ thức lượng giác: a) Giá trị lượng giác hai góc bù nhau, hai góc phụ cot = Góc phụ sin(900   )  cos  cos(900   )  sin  tan(900   )  cot  cot(900   )  tan  Góc bù sin(1800   )  sin  cos(1800   )   cos  tan(1800   )   tan  cot(1800   )   cot  b) Các hệ thức lượng giác bản: sin  (cos   0) cos  cos  cot   (sin   0) sin  tan  cot   (sin  cos   0) sin   cos   1  tan   (cos   0) cos  1  cot   (sin   0) sin  Chú ý:  sin   1;   cos   tan   3.Giá trị lượng giác góc đặc biệt: 00 300 450 600 sin 2 cos 2 2 tan 3 cot  1 ThuVienDeThi.com 900 1800 0 –1  3  Chương 2: Tích vơ hướng hai véc tơ ứng dụng Góc hai véc tơ: B CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Tính giá trị lượng giác số góc đặc biệt Ví dụ 1: Cho góc   135o Hãy tính cot  ฀ C ฀  30o Hãy tính giá trị lượng giác góc A Ví dụ 2: Cho tam giác cân ABC có B Dạng 2: Biết giá trị lượng giác góc, tính giá trị lượng giác góc cịn lại , với 90o  x  180o tính giá trị lượng giác cịn lại x Ví dụ 2: Cho cot x  3 Tính sin x, cos x Ví dụ 1: Cho sin x  Dạng 3: Chứng minh hệ thức giá trị lượng giác Phương pháp:  Dựa vào định nghĩa giá trị lượng giác góc  Dựa vào tính chất tổng góc tam giác  Sử dụng hệ thức lượng giác phần lý thuyết Ví dụ 1: Chứng minh sin x  cos x   2sin x cos x Ví dụ 2: Chứng minh rằng: (  90o ) a)  tan   cos  b)  cot   (  0o ,180o ) sin  Ví dụ 3: Chứng minh biểu thức sau độc lập với x,y: A  cos x  sin y  cot x.cot y 2 sin x.sin y C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Hãy xác định điểm M, N, P, Q nửa đường tròn đơn vị cho: ฀ ฀ ฀ ฀ xOM  150o , xON  180o , xOP  0o , xOQ  135o Bài 2: Hãy tính giá trị lượng giác góc câu Bài 3: Cho tam giác ABC, chứng minh: a) sin B  sin( A  C ) b) cos B   cos( A  C ) Bài 4: Cho đều, tâm G Hãy trị lượng  ABC  tam giác  trọng  cho biết số đo giá    giác góc sau: a) (GA, GB) b) ( AB, BC ) c) (GA, AC ) d) (GA, BA) Bài 5: Cho góc x với sin x  Hãy tính giá trị biểu thức A  4sin x  cos x Bài 6: Tính giá trị hàm số lượng giác khác góc  biết : 5 (0o    90o ) (90o    180o ) a) sin   b) cos   13 ThuVienDeThi.com Chương 2: Tích vơ hướng hai véc tơ ứng dụng (0o    90o ) c) cot   Bài 7: Chứng minh đẳng thức sau: a) sin x  cos x   2sin x.cos x b) sin x  cos x   3sin x.cos x sin x  cos x  cos x c)   cos x sin x  cos x  Bài 8: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x a) A  2(sin x  cos x)  3(sin x  cos x) b) A  2(sin x  cos x  sin x.cos x)  (sin x  cos8 x) c) C  cot x  cos x sin x.cos x  cot x cot x Ghi chú:  Nguyễn Mộng Hy:  Trần Thành Minh: §2 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ A LÝ THUYẾT Góc hai vectơ        Cho a , b  Từ điểm O vẽ OA  a , OB  b  A a   Khi a , b   ฀AOB với 00  ฀AOB  1800 Chú ý:     + a , b  = 900  a  b  b  a O  b B         + a , b  = 1800  a , b ngược hướng     + a , b  = 00  a , b hướng + a , b   b , a  Tích vơ hướng hai vectơ      a.b  a b cos a , b   Định nghĩa:   2 Đặc biệt: a.a  a  a     Tính chất: Với a , b , c kR, ta có:        + a.b  b a ; a b  c   a.b  a.c ;        ka .b  k a.b   a kb  ; a  0; a   a                a  b 2  a  2a.b  b ; + a  b   a  2a.b  b ; a  b  a  b a  b        + a.b >  a, b  nhọn + a.b <  a, b  tù    a.b =  a, b  vng   *) Cơng thức hình chiếu: Cho hai véc tơ AB, CD Gọi E, F hình chiếu vng góc     C, D xuống đường thẳng AB Ta có công thức: AB.CD  AB.EF    Biểu thức toạ độ tích vơ hướng: Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2) Khi đó: a.b  a1b1  a2 b2 ThuVienDeThi.com Chương 2: Tích vô hướng hai véc tơ ứng dụng   Ứng dụng tích vơ hướng: Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2) Khi đó:  a) Tính độ dài véc tơ: a  a12  a22 ; Suy ra: Cho A( x A ; y A ), B( xB ; yB ) Khi đó: AB  ( xB  x A )2  ( yB  y A )2   b) Tính góc hai véc tơ: cos(a , b )  a1b1  a2 b2 a12  a22 b12  b22 Chú ý:   a  b  a1b1  a2 b2  Áp dụng:    Bài tốn 1: Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn MA.MB  k ( A, B cố định, k số)  Bài tốn 2: phương tích điểm với đường tròn B CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Tính tích vơ hướng hai véc tơ Phương pháp: Áp dụng công thức định nghĩa Chú ý:  Xác định góc hai véc tơ phai đưa hai véc tơ chung gốc  Khi hai véc tơ phương, phân biệt hai hợp góc chúng 0o hay 180o trường       Ví dụ 1: Cho hình vng ABCD cạnh a Tính: CB AD, AD AC , AB.DC   Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vng A Cạnh AB=5dm Tính BA.BC Dạng2: Chứng minh vng góc phương phương pháp tọa độ Phương pháp:     Điều kiện vng góc: a  b  a.b   a1b1  a2b2      a  k b1  Điều kiện phương: a , b phương  a  k b    a1b2  a2b1  a2  k b2 Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm A(-2;1), B(1;2), C(3;-4), D(0; -5) Chứng minh ABCD hình chữ nhật Ví dụ 2: Trong mp tọa độ cho hai điểm A(-1;2) B(4,5; 3) Tìm điểm C trục Ox cho tam giác ABC vuông C Dạng 3: Các toán liên quan đến độ dài véc tơ, khoảng cách hai điểm, góc hai véc tơ Chú ý: Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn lớn ngược lại Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(0;3), B(-1;0), C(3;0) a) Tính độ dài cạnh tam giác b) Tính góc lớn tam giác Ví dụ 2: Trong mp(Oxy) cho hai điểm B(-1;3), C(3;1) Tìm tọa độ điểm A cho ABC tam giác vuông cân A Dạng 4: Chứng minh toán véc tơ có liên quan đến tích vơ hướng Chứng minh hai đường thẳng vng góc Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B cố định M điểm Gọi H hình chiếu M lên AB I trung điểm AB Chứng minh rằng: ThuVienDeThi.com Chương 2: Tích vơ hướng hai véc tơ ứng dụng   AB 2 a) MA.MB  MI  AB b) MA2  MB  MI  2 c) MA  MB  AB.IH Ví 2: Cho tam giác dụ    ABC  A’, B’, C’theo thứ tự trung điểm BC, CA, AB Chứng minh BC AA '  CA.BB '  AB.CC '  Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, đường cao BB’ CC’ cắt H Chứng minh AH vng góc với BC Dạng 5: Sử dụng cơng thức hình chiếu     Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vng A AB.CB  4, AC.BC  Tính cạnh tam giác    Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn hệ thức BC.(2 AM  BC )  Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cao AA’, có 3 đường      BB’, CC’ Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Chứng minh: A ' M BC  B ' N CA  C ' P AB  Dạng6: Chứng minh hệ thức độ dài ฀ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có BAC  120o , AB  3, AC  Tính cạnh BC Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với trọng tâm G, BC=a, CA=b, AB=c   c  b  a a) Chứng minh AB AC  b) Tính AG theo cạnh a,b,c Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a Chứng minh với điểm M ta có: MA2  MB  MC  MD  MO  2a Dạng 7: Tìm tập hợp điểm Ví dụ 1:  Cho tam  giác ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn: a) ( MA  MB)( MC  MB)    b) MA2  MA.MB  Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD cạnh a Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện:   a2 a) MA.MC     4  b) MA.MC  MB.MD  a      c) ( MA  MB  MC )( MA  MC )  a Dạng 8: Tính phương tích, tính đoạn tiếp tuyến Ví dụ 1: Cho điểm A(-2;1), B(4;7), M(0;2), N(-3;-5) Tính phương tích điểm M, N đường trịn đường kính AB ThuVienDeThi.com Chương 2: Tích vơ hướng hai véc tơ ứng dụng Ví dụ 2: Cho điểm A(-2;-1), B(-1;4), C(4;3), D(5;-2) Chứng minh điểm M ngồi đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tính đoạn tiếp tuyến MT vẽ từ M đến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( T tiếp điểm ) C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho ABC tam giác vuông cân A có cạnh góc vng a     a) Hãy tính AB AC ( AB AC )       b) AB.BC , AB AC , AB.CA Bài 2:  Cho hình vng ABCD cạnh a. Hãy    tính biểu thức sau:   a) AB AD b) AB.BC c) AB AC     d) AB.DC e) AB.CD  Bài 3: Tính a.b với:   a) a (5;3), b(2;6)       b) a  4i  j , b  3i  j Bài 4: Hãy  xác định  giá trị m để hai cặp véc tơ sau vng góc a) a  (3; 2), b  (4;5m)   b) a  (9; 16m), b  (1; 4m) Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm A(0;0), B(1;0) Hãy tìm điểm C ABC tam giác Bài 6: Trong mp tạo độ cho A(-1;1), B(3;2) Hãy tìm điểm C Ox có tọa độ nguyên cho tam giác ABC vuông C Bài 7: Cho tam giác ABC cân A O tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi D trung điểm AB G trọng tâm tam giác ACD Chứng minh OG vng góc với CD Bài 8: Cho tam giác ABC đều cạnh  a, G trọng tâm tam giác M điểm Chứng       minh T  ( MA.GB  MB.GC  MC.GA) có giá trị khơng đổi, tính giá trị Bài 9: Cho hình vng ABCD cạnh a có tâm O Dùng cơng thức hình chiếu tính tích vơ hướng sau:           AB.BD, ( AB  AD)( BD  BC ), (OA  OB  OC ) AB    3a Bài 10: Cho tam giác ABC cạnh a Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn: (CA  BC )CM  Bài 11: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh rằng:       GA.GB  GB.GC  GC.GA   (GA2  GB  GC )   Bài 12: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=4, AD=3 điểm M thỏa mãn AM  k AB Định k để hai đường thẳng AC DM vng góc Bài 13: cho tam giác ABC vuông A Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD=AC; tia đối tia AC lấy điểm E cho AE=AB Chứng minh đường trung tuyến kẻ từ A tam giác ADE vng góc với BC Bài 14: Cho tam giác ABC vuông A, D thuộc tia AC AD=3AC G trọng tâm tam giác BCD Chứng minh AG  ( AB  16 AC ) Bài 15: Cho tứ giác ABCD   a) Chứng minh rằng: AB  BC  CD  DA2  AC.DB ThuVienDeThi.com Chương 2: Tích vơ hướng hai véc tơ ứng dụng b) Từ công thức suy điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc AB  CD  BC  AD Bài 16: Cho  tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện: a) ( AB  AC ) AM      b) MA.( MA  MB  MC )  Bài Cho tam ABC đều, cạnh a Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện 17:  giác ( MA  MB).MC  a Ghi chú:  Nguyễn Mộng Hy:  Trần Thành Minh: §3 CÁC HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC A LÝ THUYẾT Cho ABC có: Định lí cơsin – độ dài cạnh: BC = a, CA = b, AB = c – độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C: ma, mb, mc – độ dài đường cao vẽ từ đỉnh A, B, C: ha, hb, hc – bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r – nửa chu vi tam giác: p – diện tích tam giác: S a2  b2  c2  2bc.cos A ; b2  c2  a2  2ca.cos B ; Định lí sin a b c    2R sin A sin B sin C Độ dài trung tuyến c2  a2  b2  2ab.cos C 2(b2  c2 )  a2 2(a2  c2 )  b2 2(a2  b2 )  c2 mb2  mc2  ; ; 4 4 Diện tích tam giác 1 1 1 S = aha  bhb  chc = bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 2 2 abc = = pr = p( p  a)( p  b)( p  c) (công thức Hê–rơng) 4R Giải tam giác tính cạnh góc tam giác biết số yếu tố cho trước Hệ thức lượng tam giác vuông (nhắc lại) Cho ABC vuông A, AH đường cao A  BC  AB  AC (định lí Pi–ta–go) ma2   AB  BC.BH ,  AH  BH CH , AC  BC.CH 1   2 AH AB AC B H C  AH BC  AB AC  b  a.sin B  a.cos C  c tan B  c cot C ; c  a.sin C  a.cos B  b tan C  b cot C ThuVienDeThi.com Chương 2: Tích vơ hướng hai véc tơ ứng dụng Hệ thức lượng đường tròn (bổ sung) Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định  Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD   T   PM/(O) = MA.MB  MC.MD  MO  R  Nếu M đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT B A O M PM/(O) = MT  MO  R R C D B CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Tính tốn yếu tố tam giác dựa vào yếu tố cho Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có b=6, c=5 cos A  Tính a, sinA diện tích tam giác ABC o ฀ ฀ Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A  30 , BC  5, B  45o Tính cạnh AC đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ฀  65o , AB=96 Tính góc B tam giác, biết góc A nhỏ Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AC=100, C 25o Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có cạnh BC=a=7, AC=b=4, AB=c=2 Hãy tính góc tam giác Dạng2: Giải tam giác Tương ứng với trường hợp tam giác, để giải tam giác ta có trường hợp bản:  Cho biết cạnh (c.c.c)  Cho biết hai cạnh góc xen ( c.g.c)  Cho biết cạnh hai góc kề cạnh ( g.c.g) Các trường hợp cịn lại ta đưa trường hợp Ví dụ 1: Giải tam giác ABC biết a=2,b=3,c=4 ฀  30o , AC  10 Ví dụ 2: Giải tam giác ABC biết ฀A  45o , B Ví dụ 3: Giải tam giác ABC biết AB  8, 2, BC  12, ฀A  110o Dạng 3: Chứng minh biểu thức liên quan đén cạnh, góc, độ dài trung tuyến, đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp diện tích tam giác Phương pháp: Sử dụng hệ thức lượng tam giác thường, tam giác vuông cơng thức liên quan Ví dụ 1: Chứng minh tam giác ABC ta có: a  b cos C  c cos B Hãy suy hệ thức tương tự Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Chứng minh 1 a) Nếu b  c  2a   hb hc b) Nếu bc  a sin B.sin C  sin A hb hc  ha2 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN ฀  77 o Tính cạnh b Bài 1: Cho tam giác ABC có a  5, c  8, B Bài 2: Cho tam giác ABC có a  90, b  70, c  40 Hãy tính góc A, B, C ThuVienDeThi.com Chương 2: Tích vơ hướng hai véc tơ ứng dụng Bài 3: Cho hình bình hành có hai cạnh 30 cm 70 cm có góc 65o Hãy tính hai đường chéo hình bình hành Bài 4: Một cọc cao 40m đóng triền dốc thẳng nghiêng với chiều ngang góc 17o Người ta nối dây cáp từ đỉnh cọc đến cuối dốc Tìm chiều dài dây cáp cho biết đoạn đường từ đáy cọc đến cuối dốc 72m ฀  57 o , b  47 Tính cạnh góc cịn lại tam giác ABC Bài 5: Cho tam giác ABC có ฀A  48o , C Bài 6: Cho tam giác ABC có ฀A  67 o , a  100, c  125 Tính cạnh góc cịn lại tam giác ฀  36o ', a  12, 4, b  8, Tính cạnh góc cịn lại tam giác Bài 7: Cho tam giác ABC có B ฀  44o3' Hãy tính diện tích tam giác ABC Bài 8: Cho tam giác ABC có a=2,20 cm, b=1,30cm C Bài 9: Cho tam giác ABC có a=5 cm, b=3 cm ฀A  37 o Tính diện tích tam giác ABC Tính góc C Bài 10: Chứng minh tam giác ABC ta có: a) sin A  sin B cos C  sin C cos B b) hA  R sin B sin C c) S  R sin A sin B sin C (a  b  c ) Bài 12: Cho hình vng ABCD có cạnh cm, E trung điểm CD Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ACE góc tam giác a Bài 13: Cho hình vng ABCD có cạnh a Một đường trịn có bán kính qua hai đỉnh A, C cắt cạnh BC E Tính đoạn AE góc BAE ฀ Bài 14: Cho tam giác ABC có BAC  120o AD phân giác góc A (D thuộc cạnh BC) Chứng minh tổng hai bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD tam giác ADC bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ฀ ฀ Bài 15: Cho tam giác ABC điểm M thuộc cạnh BC Biết BAM   , CAM   Chứng minh bc sin(   ) AM  c sin   b sin  Bài 16: Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC vuông A mb2  mc2  5ma2 c Bài 17: Tam giác ABC có cạnh BC=a, CA=b, AB=c trung tuyến AM  Chứng minh rằng: 2 2 2 a) 2b  a  c b) sin A  2sin B  sin C Bài 18: Cho tam giác ABC nhọn có AB=3cm, AC=4 cm diện tích S  3cm Tính cạnh BC đường cao AH tam giác Bài 19: Cho hình vng ABCD cạnh a, O tâm hình vng E trung điểm AB Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp, diện tích góc tam giác OCE t anA c  a  b Bài 20: Cho tam giác ABC chứng minh:  tan B b  c  a Bài 21: Tam giác ABC có cạnh BC=a, CA=b, AB=c cạnh thỏa mãn b  c  5a Chứng minh hai trung tuyến vẽ từ B C vng góc với Bài 22: PQ 2 2 a) Cho tam giác MPQ có trung tuyến MR Chứng minh: MP  MQ  MR  b) Cho tam giác ABC vuông A BC=6 Trên đường thẳng BC lấy hai điểm D E cho BD=BE=1 Chứng minh rằng: AD  AE  AC  74 Bài 11: Chứng minh rằng: ma2  mb2  mc2  ThuVienDeThi.com Chương 2: Tích vơ hướng hai véc tơ ứng dụng Ghi chú:  Nguyễn Mộng Hy:  Trần Thành Minh: 12- 22 10 ThuVienDeThi.com ... Biểu thức toạ độ tích vơ hướng: Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2) Khi đó: a.b  a1b1  a2 b2 ThuVienDeThi.com Chương 2: Tích vơ hướng hai véc tơ ứng dụng   Ứng dụng tích vơ hướng: Cho a = (a1,... ý:  Xác định góc hai véc tơ phai đưa hai véc tơ chung gốc  Khi hai véc tơ phương, phân biệt hai hợp góc chúng 0o hay 180o trường       Ví dụ 1: Cho hình vng ABCD cạnh... ABCD   a) Chứng minh rằng: AB  BC  CD  DA2  AC.DB ThuVienDeThi.com Chương 2: Tích vô hướng hai véc tơ ứng dụng b) Từ công thức suy điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD có hai đường chéo vng