1 CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG x dx dx x =ln tan( ) + C sin x = ln tan + C cos x dx x dx tan x cot x x = ( + ln tan ) + C cos3 x = ( cos x + ln tan( ) ) + C sin x sin x dx xa dx = ln x x a + C x a = 2a ln x a + C 2 x a dx xdx 2 = ln|x2 + a| + C x a = ln x x a + C x a x 11 13 xdx xdx = ln|x2 - a| + C 10 = x2 a2 + C 2 2 a x a xdx = x2 a2 + C 12 x a dx = ( x x a + a2 ln x x a ) + C x2 a2 x a dx = ( x x a - a2 ln x x a ) + C 14 ln xdx = xlnx - x + C 2 15 tan xdx = - ln|cosx| + C 16 cot xdx = ln|sinx| + C Lưu ý: du = u'.dx VD: d(ax+b) = d(ax) = adx; d(sinx) = cosxdx; d(cosx) = -sinxdx x d( ) x x x dx dx ; d(tan ) = (tan )'dx = ( )' = = x cos x 2 cos x cos 2 2 Nếu f (u )du = F(u) + C f (au b)du = F(au + b) + C (a 0) a (ax b) 1 du VD: = ln|au + b| + C; (ax b) dx = + C ( -1) ; a au b a 1 2t x 1 t2 2t 2dt Biểu thị sinx, cosx, tanx theo t = tan : sinx = ; cosx = ; tanx = ; dx = 2 1 t 1 t 1 t2 1 t 1 1 = ( ) ( x a)( x b) a b x a x b dx dx ; Đặt x = atant x a2 x2 a2 a dx Đặt x = 2 cos t x a dx Đặt x = asint a2 x2 Chứng minh x d (tan ) dx dx dx 1 = ln tan x + C I = = = = x sin x sin x cos x tan x cos x tan 2 2 d (cos x) 1 sin xdx d (cos x) dx Cách 2: = = = - = - ( )d (cos x) 2 sin x cos x cos x (1 cos x)(1 cos x) sin x cos x HCT-GV THPT Hoài Ân, Bình Định ThuVienDeThi.com =- 1 cos x (-ln|1-cosx| + ln|1+cosx|) + C = ln +C 2 cos x x = tan x = tan x nên hai kết trên, đúng! Rõ ràng x 2 cos 2 x 2dt 2t 2t 1 t2 x Cách 3: Đặt t = tan dt = (1 tan ) dx dx = ; thay sinx = (cosx = ; tanx = ) 2 2 2 1 t 1 t 1 t2 1 t 2dt dt x dx I= = 1 t = = ln|t| + C = ln|tan | + C 2t sin x t 2 1 t x Phương pháp biểu thị sinx, cosx, tanx theo t = tan , chuyển từ biểu thức lượng giác sang biểu thức đại số dx 1 dx dx dx = = = x x x cos x sin( ) cos( ) tan( ) cos ( x ) sin( x ) 2 4 4 x d (tan ) =ln tan( x ) + C = x tan( ) dx 1 cos xdx d (sin x) d (sin x) )d (sin x) Cách 2: = = = = ( 2 cos x (1 sin x)(1 sin x) sin x sin x cos x sin x 1 sin x = (-ln|1-sinx| + ln|1+sinx|) + C = ln +C 2 sin x cos x = cos x sin x x x x x cos ) sin cos sin( ) x 2 = 2 = Rõ ràng = tan( ) x x x x x (sin cos ) sin cos cos( ) 2 2 x x 2dt 1 t2 Cách 3: Đặt t = tan dt = (1 tan ) dx dx = ; thay cosx = 2 1 t2 1 t2 2dt dx 1 2dt 2dt 1 t )dt = -ln|1-t| + ln|1+t| + C = ln I= = 1 t2 = = =( +C cos x 1 t 1 t (1 t )(1 t ) 1 t 1 t 1 t 1 t2 x = ln tan( ) + C dx sin x dx I = Đặt u = du = dx; dv = v = tanx cos x cos x cos x cos x tan x sin x tan xdx tan x sin xdx tan x AD CT NH TP : I = = = - I1 cos x cos x cos x cos x cos x sin xdx dx dx cos xdx x Với I1 = = = - = I - ln tan( ) 3 cos x cos x cos x cos x tan x tan x x Từ I = - I1 = - (I - ln tan( ) ) cos x cos x x x tan x tan x 2I = + ln tan( ) + C I= ( + ln tan( ) ) + C cos x cos x sin x = sin x (sin HCT-GV THPT Hồi Ân, Bình Định ThuVienDeThi.com cos x u dx du dx sin x I Đặt sin x sin x dv dx v cot x sin x cot x cot x.cos x cot x I dx I1 sin x sin x sin x cos x sin x dx dx x dx dx I ln tan C Tính I1 3 sin x sin x sin x sin x cot x cot x x x cot x x cot x I I1 I ln tan C I ln tan C I ln tan C sin x sin x 2 sin x 2 2sin x 1 dx dx 1 xa ( )dx = ln = = +C x a ( x a)( x a) 2a x a x a 2a x a a adt dx I = Đặt x = atant dx = ; x a = a tan t a = a (1 tan t ) = 2 cos t cos t x a dx = x2 a2 adt (cos t ) a cos t = dt t x = ln tan( ) + C , với t = arctan cos t a Cách 2: Đặt t = x+ x a dt = (1+ Từ I = I = dx x a 2 dx = x a dt t x a Đặt x = x2 a2 a sin t dt dx t cos = = sin t x2 a2 a cos t = x2 a2 dt t 10 xdx x2 a2 = xdx x a 2 = x2 a2 d (x a ) (x2 a ) x2 a2 = t dx = x2 a2 dx dx = x2 a2 dt t x2 a2 = a2 a = a.tant cos t t a = ln tan( ) + C, với t = arccos x dt cos t x x2 a2 dx x2 a2 = d (x2 a2 ) x a = ln|x2 + a2| + C x x2 a2 a a sin t dx = dt ; cos t cos t Từ I = )dx = dt = ln|t| + C = ln x x a + C t Cách 2: Đặt t = x + x a dt = (1+ dx = x )dx = x x2 a2 x a dt t x2 a2 dx = x2 a2 = xdx x2 a2 = 2 x2 a2 dx dt = ln|t| + C = ln x x a + C t 1 (x a ) (x2 a ) d (x2 a ) = 2 t 2 d (x2 a2 ) x a = ln|x2 - a2| + C +C= x2 a2 + C d (x a ) 1 (x a ) = (x2 a ) d (x2 a ) = + C = x2 a2 + C 1 2 x a (x2 a ) 2 a adt 12 x a dx Đặt x = atant dx = ; x a = a tan t a = a (1 tan t ) = cos t cos t t x a.adt dt tan t 2 x a dx = cos t cos t = a2 cos t = a2 ( cos t + ln tan( ) ) + C, với t = arctan a 11 xdx 2 = 2 2 HCT-GV THPT Hồi Ân, Bình Định ThuVienDeThi.com Cách 2: I = I2 = a2 Với I1 = x a x x a dx = x a x2 a2 dx = a2 x2 a2 dx = Đặt u = x du = dx; dv = ADCT NHTP I2 = x x a x dx v = x a x2 a2 dx = I1 + I2 x a dx = x2 a2 x a dx = = x x a - I 2 ( x x a + a2 ln x x a ) + C I = I1 + I2 = a2 ln x x a + x x a - I I = 13 I = x2 dx + dx = a2 ln x x a (chọn C = 0) 2 a2 x2 ( x x a - a2 ln x x a ) + C a a sin t a2 2 dx = dt ; x a = a = a.tant 2 cos t cos t cos t 2 a sin t sin t dt = a2 cos t dt = a2( dt dt I = x a dx = a tan t = a 3 cos t cos t cos t cos t 1 t t tan t dt = ( dt = ln tan( ) + C Với + ln tan( ) ) + C; cos t cos t 4 cos t Đặt x = Cách 2: I = Với I1 = I2 = a2 x x a dx = x a 2 x2 a2 dx = x2 x2 a2 dx - a2 x2 a2 dx = I2 - I1 dx = a2 ln x x a (chọn C = 0) x a 2 x2 a2 cos t dt ) dx = Đặt u = x du = dx; dv = ADCT NHTP I2 = x x a 2 x x a 2 dx v = x2 a2 x a dx = = x x a - I 2 I = I2 - I1 = x x a - I - a2 ln x x a I = ( x x a - a2 ln x x a ) + C 14 I = ln xdx dx ; dv = dx v = x x ADCT NH TP : I = xlnx - dx = xlnx - x + C Đặt u = lnx du = d cos x ln cos x C cos x d sin x cos x 16 I cot x dx ln sin x C sin x sin x 15 I tan xdx sin x cos x dx = Good luck! = HCT-GV THPT Hoài Ân, Bình Định ThuVienDeThi.com ... sin x t 2 1 t x Phương pháp biểu thị sinx, cosx, tanx theo t = tan , chuyển từ biểu thức lượng giác sang biểu thức đại số dx 1 dx dx dx = = = x x x cos x sin( ) cos( ) tan(... ln +C 2 cos x x = tan x = tan x nên hai kết trên, đúng! Rõ ràng x 2 cos 2 x 2dt 2t 2t 1 t2 x Cách 3: Đặt t = tan dt = (1 tan ) dx dx = ; thay sinx = (cosx = ; tanx = ) 2 2 2 1 t 1 t... d (tan ) =ln tan( x ) + C = x tan( ) dx 1 cos xdx d (sin x) d (sin x) )d (sin x) Cách 2: = = = = ( 2 cos x (1 sin x)(1 sin x) sin x sin x cos x sin x 1 sin x