Bài giảng toán rời rạc chương 4 đại số boole (đh công nghệ thông tin)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN CHƯƠNG 4: ĐẠI SỐ BOOLE NỘI DUNG CHÍNH Đại số logic B Đại số Boole Hàm Boole Công thức đa thức tối thiểu Biểu đồ Karnaugh hàm Boole Phương pháp Quine – McCluskey Các cổng logic 3/1/2016 Đại Số Boole Trang Đại số logic B Trên tập logic B =0, 1 xét phép tốn logic  (tích Boole) xy  (tổng Boole) xy  (phép bù) x x, y B gọi biến logic biến Boole 3/1/2016 Đại Số Boole Trang 3/1/2016 Đại Số Boole Trang Các đẳng thức logic 1) Giao hoán 6) Luỹ đẳng 2) Kết hợp 7) Phần tử trung hoà 3) Phân phối 8) Phần tử bù 4) Luật bù kép 9) Luật thống trị 5) De Morgan 10) Luật hấp thu 3/1/2016 Đại Số Boole Trang Một số phép tốn – ngơi khác đại số logic B 1) Tổng modulo 2, x + y 2) Kéo theo x  y 3) Tương đương x  y 4) Vebb (NOR) x  y 5) Sheffer (NAND) x  y 3/1/2016 Đại Số Boole Trang 3/1/2016 Đại Số Boole Trang Đại số Boole Định nghĩa: Cho tập A có phần tử, có phần tử đặc biệt ký hiệu Trên A xét phép toán – ngơi  , phép tốn – / Ký hiệu (A, , , /, 0, 1) 3/1/2016 Đại Số Boole Trang Tập A với phép toán gọi đại số Boole phép tốn có tính chất: Giao hoán ∀ , ∈ : ∨ = ∨ ∧ = ∧ Kết hợp ∀ , , Phân phối ∨ ∨ = ∨ ( ∨ ) ( ∧ ) ∧ = ∧ ( ∧ ) ∀ , , ∈ : Phần tử trung hoà Phần tử bù 3/1/2016 ∀ ∈ : ∨ ( ∧ ) = ( ∨ ) ∧ ( ∨ ) Trong A tồn phần tử 1: ∀ ∈ ∧ ( ∨ ) = ( ∧ ) ∨ ( ∧ ) ∧1 =1∧ = ∈ , tồn phần tử bù cho: ∨0 =0∨ = ∧ = ∨ Đại Số Boole = Trang Ví dụ: Cho U tập bất kỳ, A = P(U) (tập tập U) xét phép  phép , phép  phép , phép / phép lấy phần bù, phần tử tập rỗng  phần tử tập U Khi P(U) đại số Boole 3/1/2016 Đại Số Boole Trang 10 3/1/2016 Đại Số Boole Trang 62 Phương pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng chuẩn tắc tối thiểu: Bước 1: Phát tất nguyên nhân nguyên tố cốt yếu Bước 2: Xoá tất cột phủ nguyên nhân nguyên tố cốt yếu Bước 3: Trong bảng lại, xố nốt dịng khơng cịn dấu + sau có hai cột giống xố bớt cột Bước 4: Sau bước trên, tìm hệ S nguyên nhân nguyên tố với số biến phủ cột lại 3/1/2016 Đại Số Boole Trang 63 wxyz + + + + + + + + 3/1/2016 + + Đại Số Boole + + Trang 64 Các cổng logic Các phép toán đại số boole  Phép cộng thể qua hàm OR  Phép nhân thể qua hàm AND  Phép phủ định thể qua hàm NOT Các phép tính áp dụng cho logic 3/1/2016 Đại Số Boole Trang 65 Các cổng Cổng AND Đầu =1 tất ngõ vào =1 Đầu = có ngõ vào =1 Cổng OR Cổng NOT 3/1/2016 A ̅ Bù giá trị đầu vào Đại Số Boole Trang 66 Cổng NAND Chỉ = tất ngõ vào =1 Cổng NOR Chỉ = tất ngõ vào =0 Cổng XOR ngõ khác =1 Cổng X-NOR 3/1/2016 ngõ giống =1 Đại Số Boole Trang 67 Sự chuyển đổi cổng sang cổng NAND 3/1/2016 Đại Số Boole Trang 68 Sự chuyển đổi cổng sang cổng NOR 3/1/2016 Đại Số Boole Trang 69 VD: Viết lại biểu thức logic sau từ mạch logic: Kết quả: Y = ( ̅ + )( + 3/1/2016 Đại Số Boole + ) ̅ Trang 70 Các bước thiết kế logic tổng hợp:  Bước 1: Đặt biến cho ngõ vào hàm ngõ tương ứng  Bước 2: Thiết lập bảng chân trị cho ngõ ngõ vào  Bước 3: Viết biểu thức logic liên hệ ngõ ngõ vào  Bước 4: Tìm cơng thức đa thức tối tiểu biểu thức logic vừa tìm  Bước 5: Từ biểu thức logic rút gọn chuyển sang mạch logic tương ứng 3/1/2016 Đại Số Boole Trang 71 Ví dụ: Một ngơi nhà có cơng tắc, người chủ nhà muốn bóng đèn sáng cơng tắc hở, cơng tắc đóng cịn công tắc thứ hở Hãy thiết kế mạch logic thực cho số cổng Giải:  Bước 1: Gọi công tắc A, B, C Bóng đèn Y Trạng thái cơng tắc đóng logic 1, hở Trạng thái đèn sáng logic tắt 3/1/2016 Đại Số Boole Trang 72  Bước 2: Từ yêu cầu tốn ta có bảng chân trị: 3/1/2016 Đại Số Boole Trang 73  Bước 3: Từ bảng chân trị ta có biểu thức logic ngõ = ̅ ̅+ ̅  Bước 4: Rút gọn biểu thức logic: = ̅ ̅ +  Bước 5: Mạch logic tương ứng biểu thức A B ̅ C Y 3/1/2016 Đại Số Boole Trang 74  Ngoài ra, ta sử dụng cổng XOR cho tốn sau: 3/1/2016 Đại Số Boole Trang 75 CHÂN THÀNH CẢM ƠN CÔ VÀ CÁC BẠN ĐÃ LẮNG NGHE VÀ THEO DÕI ... CHÍNH ? ?Đại số logic B ? ?Đại số Boole Hàm Boole ? ?Công thức đa thức tối thiểu Biểu đồ Karnaugh hàm Boole Phương pháp Quine – McCluskey Các cổng logic 3/1/2016 Đại Số Boole Trang Đại số logic... biệt, Bn đại số Boole 3/1/2016 Đại Số Boole Trang 11 Nếu không nói thêm, tất tập nói đến chương tập hữu hạn Nhắc lại: Một tập hữu hạn thứ tự ln ln có phần tử tối tiểu/tối đại Trên đại số Boole tổng... xét đại số logic B 3/1/2016 Đại Số Boole Trang 12 3/1/2016 Đại Số Boole Trang 13 Hàm Boole Định nghĩa: Ánh xạ f: BnB gọi hàm Boole n biến Hàm đồng ký hiệu 1, hàm đồng ký hiệu Tập tất hàm Boole