Tài liệu Chương 4: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống trong miền tần số rời rạc doc

Chương 4: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC 4.1 KHÁI NiỆM DFT 4.2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT) 4.3 CÁC TÍNH CHẤT DFT 4.4 KHÔI PHỤC BIẾN ĐỔI Z & FT TỪ DFT 4.5 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT)  1 4.1 KHÁI NiỆM DFT X( X( ω ω ) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính: ) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:  Tần số Tần số ω ω liên tục liên tục  Độ dài x(n) là vô hạn: Độ dài x(n) là vô hạn: n n biến thiên - biến thiên - ∞ đến ∞ ∞ đến ∞ Biến đổi Fourier dãy x(n): ∑ −∞ ∞= − = n njj e)n(x)e(X ωω Khi xử lý X( Khi xử lý X( Ω Ω ) trên thiết bị, máy tính cần: ) trên thiết bị, máy tính cần:  Rời rạc tần số Rời rạc tần số ω ω -> -> ω ω K K  Độ dài x(n) hữu hạn là N: Độ dài x(n) hữu hạn là N: n n = 0 = 0 ÷ ÷ N -1 N -1 ⇒ ⇒ B B iến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần iến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần số rời rạc, gọi tắt là số rời rạc, gọi tắt là biến đổi Fourier rời rạc – DFT biến đổi Fourier rời rạc – DFT (Discrete Fourier Transform) (Discrete Fourier Transform)  2  DFT DFT của của x(n) có độ dài N định nghĩa: x(n) có độ dài N định nghĩa:      −≤≤ = ∑ − = − : 0 10:)( )( 1 0 2 k Nkenx kX N n kn N j π còn lại r N r N jmNr N j mNr N WeeW === −+− + ππ 2 )( 2 )(      −≤≤ = ∑ − = : 0 10:)( )( 1 0 k NkWnx kX N n kn N còn lại N j N eW π 2 − =  W W N N tuần hoàn với độ dài tuần hoàn với độ dài N: N:  3  X(k) biểu diễn dưới dạng modun & argument: )( )()( kj ekXkX ϕ = Trong đó: Trong đó: )(kX - phổ rời rạc biên độ - phổ rời rạc biên độ )](arg[)( kXk = ϕ - phổ rời rạc pha - phổ rời rạc pha  IDFT:      −≤≤ = ∑ − = : 0 10:)( 1 )( 1 0 2 n NnekX N nx N k kn N j π còn lại        −≤≤= −≤≤= ∑ ∑ − = − − = 10:)( 1 )( 10: )()( 1 0 1 0 NnWkX N nx NkWnxkX N k kn N N n kn N  Cặp biến đổi Fourier rời rạc:  4 Ví dụ 4.2.1: Tìm DFT của dãy: { } 4,3,2,1 )( ↑ =nx ∑ = = 3 0 4 )()( n kn WnxkX jWWjeW j =−=−== − 3 4 2 4 4 2 1 4 ;1; π 10)3()2()1()0()()0( 3 0 0 4 =+++== ∑ = xxxxWnxX n 22)3()2()1()0()()1( 3 4 2 4 1 4 3 0 4 jWxWxWxxWnxX n n +−=+++== ∑ = 2)3()2()1()0()()2( 6 4 4 4 2 4 3 0 2 4 −=+++== ∑ = WxWxWxxWnxX n n 22)3()2()1()0()()3( 9 4 6 4 3 4 3 0 3 4 jWxWxWxxWnxX n n −−=+++== ∑ =  5 Ví dụ: 4.2.2: a) Tìm FT của dãy x(n)=a n u(n), với /a/<1 b) Tìm DFT của dãy x(n)=a n rect N (n) c) Vẽ phổ biên độ & pha của FT và DFT với a=3/4, N=16  Biến đổi FT của x(n): ω ω j j ae eX − − = 1 1 )( 2 cos21 1 )( aa eX j +− = ω ω [ ] ω ω ω cos1 sin )(arg a a arctgeX j − −=  6  Biến đổi DFT của x(n): ( ) k N N N n n k N N n kn N n aW a aWWakX − − === ∑∑ − = − = 1 1 )( 1 0 1 0 2 2 cos21 1 )( ak N a a kX N +− − = π [ ] 1 2 cos 2 sin )(arg − = k N a k N a arctgkX π π  7 8 0 8 16 k 4 /X(k)/ a=3/4 N=16 8 0 π 2π ω 4 /X(e jω )/ a=3/4  8 8 0 8 16 k arg[X(k)] a=3/4 N=16 8 0 π 2π ω π/2 arg[X(e jω )] -π/2 a=3/4  9 a) Tuyến tính N DFT N )k(X)n(x 11  →← NN DFT NN )k(Xa)k(Xa)n(xa)n(xa 22112211 + →←+  Nếu: Nếu:  Thì: Thì: N DFT N )k(X)n(x 22  →← b) Dịch vòng: N DFT N )k(X)n(x  →←  Nếu: Nếu: 0 0 N kn N DFT N )k(XW)nn(x  →←−  Thì: Thì: Với: Với: (n)rect N00 NN )nn(x ~ )nn(x −=− gọi là dịch vòng của x(n) N đi n 0 đơn vị 21 21 xx LNNL =≠= Nếu: Nếu: Chọn: Chọn: }N,Nmax{N 21 =  10 [...]... X(4) X(5) X(6) X(7) Với N=2M -> M lần phân chia Số phép nhân = số phép cộng = NM/2=(N/2)log2N  32  Bảng mô tả qui luật đảo bít: Chỉ số Số nhị phân chưa đảo Số nhị phân đảo (n2,n1,n0) (n0,n1,n2) tự nhiên 0 1 2 3 4 5 6 7 000 001 010 011 100 101 110 111 000 100 010 110 001 101 011 111 Chỉ số đảo 0 4 2 6 1 5 3 7  33 Ví dụ 4.5.1: Hãy vẽ lưu đồ và tính FFT cơ số 2 phân theo t/g x(0) X(0) x(2) X(1) -1 x(1)... X(2) = [x(0) + x(2)] - W0[x(1) + x(3)] = - 2  k=3: X(3) = [x(0) - x(2)] - W1[x(1) - x(3)] = - 2 - j2  34 b THUẬT TÓAN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO TẦN SỐ  Thuật tóan dựa trên sự phân chia dãy ra X(k) thành các dãy nhỏ, do biến k biểu thị cho trục tần số nên gọi là phân chia theo tần số N −1 X( k ) = ∑ n =0 = kn x( n )WN = ( N / 2 )−1 ∑ n =0 = ( N / 2 )−1 ∑ n =0 = ( N / 2 )−1 ∑ n =0 kn x( n )WN + kn x( n )WN... X(4) X(5) X(6) X(7) Qui ước cách tính X(k) theo lưu đồ: - Nhánh ra của 1 nút bằng tổng các nhánh vào nút đó - Giá trị mỗi nhánh bằng giá trị nút xuất phát nhân hệ số   27   Sau đó đánh lại chỉ số theo thứ tự các mẫu x(n), tiếp tục phân chia DFT của N/2 điểm thành 2 DFT của N/4 điểm theo chỉ số n chẵn và lẽ và cứ thế tiếp tục phân chia cho đến khi nào còn DFT 2 điểm thì dừng lại Ví dụ X0(k) được phân...  0: n ≠  18 d) Tính đối xứng:   DFT x( n )N ←  → X ( k )N  Nếu: Thì: DFT x∗ ( n )N ←  → X ∗ ( − k )N e) Quan hệ Parseval:   DFT x( n )N ←  → X ( k )N  Nếu: Thì: N −1 ∑ n= 0 x( n )N 2 1 = N N −1 ∑ k =0 X ( k )N 2  19 f) Chập tuyến tính sử dụng DFT:  Kết quả phép chập tuyến tính của 2 dãy x1(n)N1 và x2(n)N2 sẽ giống với chập vòng nếu thêm các mẫu 0 vào sau các dãy x1(n) và x2(n) để có chiều... đồ phép chập tuyến tính thông qua DFT được mô tả: x1(n)N1+N2 -1 DFT X1(k) x x2(n)N1+N2 -1 DFT X3(k) IDFT x3(n)N1+N2 -1 X2(k)  20  Ví dụ 4.3 .4: Cho 2 dãy x1(n)=x2(n)=rect3(n)  Hãy tìm x3(n)=x1(n)*x2(n) và x3(n)=x1(n)5 ⊗ x2(n)5  Chập tuyến tính của 2 dãy: x3 (n) = x1 (n) ∗ x2 (n) = {1,2,3,2,1} ↑  Kết quả sẽ tương tự đối với phép chập vòng nếu thêm vài mẫu 0 vào sau 2 dãy x1(n) và x2(n) để có độ dài... phục về mặt tốc độ xử lý của phép tính DFT, nhiều tác giả đã đưa ra các thuật tóan riêng dựa trên DFT gọi là FFT (Fast Fourier Transform)  24 a THUẬT TÓAN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO THỜI GIAN  Giả thiết dãy x(n) có độ dài N=2M, nếu không có dạng lũy thừa 2 thì thêm vài mẫu 0 vào sau dãy x(n)  Thuật tóan dựa trên sự phân chia dãy vào x(n) thành các dãy nhỏ, do biến n biểu thị cho trục thời gian nên gọi... ĐỔI FOURIER NHANH FFT Vào những năm thập kỷ 60, khi công nghệ vi xử lý phát triển chưa mạnh thì thời gian xử lý phép tóan DFT trên máy tương đối chậm, do số phép nhân phức tương đối lớn  N −1  kn DFT của x(n) có độ dài N: X (k ) = ∑ x(n)WN : 0 ≤ k ≤ N − 1 n=0  Để tính X(k), ứng với mỗi giá trị k cần có N phép nhân và (N-1) phép cộng, vậy với N giá trị k thì cần có N2 phép nhân và N(N-1) phép cộng... của N/2 điểm ứng với chỉ số n chẵn  X1(k) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số n lẽ  Lấy ví dụ minh họa cho x(n) với N=8  26  Phân chia DFT- N điểm -> 2 DFT- N/2 điểm; X0(0) x(0) n chẵn x(2) x(4) x(6) DFT N/2 điểm n lẽ x(5) x(7) W DFT N/2 điểm X1(1) X1(2) X1(3) W4 W5 W6 W7 2 W X0(3) 1 W X0(2) X1(0) x(1) x(3) W X0(1) 0 3 X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) Qui ước cách tính X(k) theo lưu đồ: -... X 1( k )N Nếu: DFT x2 ( n )N ←  → X 2 ( k )N  DFT x1 ( n )N ⊗ x2 ( n )N ← → X 1( k )N X 2 ( k )N  Thì: N −1 ∑ x1( m )N x2 ( n − m )N Với: x1 ( n )N ⊗ x2 ( n )N = Và: x2 ( n − m )N = ~2 ( n − m )N rect N ( n ) x m= 0 Chập vòng có tính giao hoán: Chập vòng 2 dãy x1(n) & x2(n) Dịch vòng dãy x2(-m) đi n đ/vị x1 ( n )N ⊗ x2 ( n )N = x2 ( n )N ⊗ x1 ( n )N Nếu: Lx1 = N1 ≠ N 2 = L x2 Chọn: N = max{ N1... Xác định x2(-m )4:  14 x2(m) x2(-m) 4 3 2 1 4 3 2 1 m 0 1 2 ~ x 2 (− m ) -3 -2 -1 0 3 m -3 -2 -1 0 ~ x2 ( − m )4 = x2 ( − m )rect4 ( n) 4 3 2 1 m 1 2 3 4 4 3 2 1 0 m 1 2 3  15  Xác định x2(n-m) là dịch vòng của x2(-m) đi n đơn vị với 3 ≥ n ≥ 0 x2(-m)4 x2(1-m)4 4 3 2 1 0 m 1 2 4 3 2 1 3 0 1 x2(2-m)4 m 2 2 3 x2(3-m)4 4 3 2 1 0 1 m 3 4 3 2 1 m 0 1 2 3  16 Nhân các mẫu x1(m) & x2(n-m) và cộng lại:  . Chương 4: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC 4.1 KHÁI NiỆM DFT 4.2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT) 4.3 CÁC TÍNH CHẤT DFT 4.4. X( Khi xử lý X( Ω Ω ) trên thiết bị, máy tính cần: ) trên thiết bị, máy tính cần:  Rời rạc tần số Rời rạc tần số ω ω -> -> ω ω K K  Độ