Tài liệu Chương 4: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống trong miền tần số rời rạc doc

: W n x k n kn N 4.5.1 KHÁI NiỆM BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT  Vào những năm thập kỷ 60, khi công nghệ vi xử lý phát triển chưa mạnh thì thời gian xử lý phép tóan DFT trên máy tương đối

4.4 KHÔI PHỤC BIẾN ĐỔI Z & FT TỪ DFT

4.5 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT)

4.1 KHÁI NiỆM DFT

X() có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:

 Tần số Tần số  liên tục

 Độ dài x(n) là vô hạn: nĐộ dài x(n) là vô hạn: n biến thiên -∞ đến ∞

Biến đổi Fourier dãy x(n): 

j ) x ( n ) e e

(

Khi xử lý X() trên thiết bị, máy tính cần:

 Rời rạc tần số Rời rạc tần số  ->  -> K

 Độ dài x(n) hữu hạn là N: nĐộ dài x(n) hữu hạn là N: n = 0  N -1

 Biến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần

số rời rạc, gọi tắt là

số rời rạc, gọi tắt là biến đổi Fourier rời rạc – DFT biến đổi Fourier rời rạc – DFT

(Discrete Fourier Transform)

 DFT của x(n) có độ dài N định nghĩa:

0

1 0

: )

( )

e n

x k

X

N n

kn N

j 

còn lại

r N

r N j mN

r N

j mN

2 )

0

1 0

: )

( )

W n

x k

X

N n

kn N

 X(k) biểu diễn dưới dạng modun & argument:

) (

) ( )

0

1 0

: )

(

1 )

e k

X N

n x

N k

kn N

:)

(

1)

(

10

: )

()

(

1

1 0

N n

W k

X N

n x

N k

W n x k

X

N

kn N

N

n

kn N

 Cặp biến đổi Fourier rời rạc:

Ví dụ 4.2.1: Tìm DFT của dãy: ( )  1 , 2 , 3 , 4





n x

(

n

kn W n x k

2 1



10 )

3 ( )

2 ( )

1 ( )

0 ( )

( )

x x

W n x

X

n

2 2

) 3 ( )

2 ( )

1 ( )

0 ( )

( )

3 ( )

2 ( )

1 ( )

0 ( )

( )

W x

W x

x W

n x

X

n

n

2 2

) 3 ( )

2 ( )

1 ( )

0 ( )

( )

3

( 3 x n W43 x x W43 x W46 x W49 j

Ví dụ: 4.2.2:

a) Tìm FT của dãy x(n)=a n u(n), với /a/<1

b) Tìm DFT của dãy x(n)=a n rect N (n)

c) Vẽ phổ biên độ & pha của FT và DFT với a=3/4, N=16

 Biến đổi FT của x(n):  

1 )

(

2

cos 2

1

1 )

(

a a

sin )

(

arg

a

a arctg

 Biến đổi DFT của x(n):

N

N N

n

n k N

N n

kn N

n

aW

a aW

W a k

0

1 0

2

2 cos 2

1

1 )

(

a

k N a

a k

2 sin )

k N

a arctg

k

X





0 8 16 k

4 /X(k)/

a=3/4 N=16

8

0  2 

4 /X(e j )/

a=3/4

0 8 16 k

arg[X(k)]

a=3/4 N=16

a) Tuyến tính

N

DFT

N X ( k ) )

n (

N N

DFT N

N a x ( n ) a X ( k ) a X ( k ) )

n ( x

n (

n (

n

0 1 2 3

4 3 2 1

n

x(n+3)

-3 -2 -1 0

4 3 2 1

b) x(n)

n

0 1 2 3

4 3 2 1

x(n+1) 4

n

0 1 2 3

4 3 2 1

c) Chập vòng:

N

DFT

N X ( k ) )

n (

N N

DFT N

N x ( n ) X ( k ) X ( k ) )

n (

n (

2 1

N m

N N

N

N x ( n ) x ( m ) x ( n m ) )

n ( x

N

N x ( n ) x ( n ) x ( n ) )

n (

) n ( rect )

m n

( x~

) m n

(

x2(-m) đi n đ/vị

Ví dụ 4.3.2: Tìm chập vòng 2 dãy

3 0

3 0

4 2

4 1

4 2

4 1

4



n :

) m n

( x ) m ( x )

n ( x )

n ( x )

3

N

N N

m -3 -2 -1 0 1 2 3 4

4 3 2 1

) (

4 3 2 1

m

0 1 2 3

4 3 2 1

) ( )

(

~ )

) ( )

(

~ )

x   

 Xác định x 2 ( n -m) là dịch vòng của x 2 (-m) đi n đơn vị

3 0

3

0

4 2

4 1

4



n :

) m n ( x ) m ( x )

n (

0

0 3

0

4 2

4 1

x ) m ( x )

( x

0

4 2

4 1

x ) m ( x )

( x

3 0

4 2

4 1

x ) m ( x )

( x

3 0

4 2

4 1

x ) m ( x )

( x

Vậy:

N n

W n x k

X k

X

 Biến đổi DFT 2 dãy:

N W

0

1 ( 0 )

:

0

0 1

1 )

(

kN N N

n

kn N

W

W W

k X

X

: 0

0

: )

X k X k

X

: 0

0

: )

( )

( )

(

2 2

1 3

0 n

: )

(

1 )

( )

( )

0 3

2 1

3

N W

k

X N

n x n

x n

k

kn N

d) Tính đối xứng:

N

DFT

N X ( k ) )

n (

n (

2 1

N

) n ( x

 Nếu:

 Thì:

 Ví dụ 4.3.4: Cho 2 dãy x1(n)=x2(n)=rect3(n)

 Hãy tìm x3(n)=x1(n)*x2(n) và x3(n)=x1(n)5  x2(n)5

 Chập tuyến tính của 2 dãy:

n x n

x n

n x n

x n

và n

x1( )5 { 1 , 1 , 1 , 0 , 0 } 2( )5 { 1 , 1 , 1 , 0 , 0 }





n

n

z n x z

X

4.4.1 KHÔI PHỤC BIẾN ĐỔI Z

 Biến đổi Z của dãy

)(

1)

k

kn N

W k

X N

n x

)()

n

n

z n x z

n

N k

kn

W k

X N

1 0

)(1

1 )

(

1 )

N N

k

N

N k

N n

n k

N N

1

( )

N N

z W

k

X N

z z

X

4.4.2 KHÔI PHỤC BIẾN ĐỔI FOURIER

 Mối quan hệ giữa biến đổi Z & FT:  

j

e z

j X z e

X



 ( ) )

1

( )

N

z W

k

X N

z z

(

) ( )

1

( )

e

k

X N

e e

) (

e j e

e e

e

x j

x j

x j

x j

N j N

X N

e X

0 sin( )

2

sin )

(

1 )

(

:)

()

W n x k

n

kn N

4.5.1 KHÁI NiỆM BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH FFT

 Vào những năm thập kỷ 60, khi công nghệ vi xử lý phát triển chưa mạnh thì thời gian xử lý phép tóan DFT trên máy tương đối chậm, do số phép nhân phức tương đối lớn

 DFT của x(n) có độ dài N:

 Để tính X(k), ứng với mỗi giá trị k cần có N phép nhân và

(N-1) phép cộng, vậy với N giá trị k thì cần có N 2 phép

nhân và N(N-1) phép cộng

 Để khắc phục về mặt tốc độ xử lý của phép tính DFT, nhiều tác giả đã đưa ra các thuật tóan riêng dựa trên DFT gọi là FFT (Fast Fourier Transform)

a THUẬT TÓAN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO THỜI GIAN

 Thuật tóan dựa trên sự phân chia dãy vào x(n) thành các dãy nhỏ, do biến n biểu thị cho trục thời gian nên gọi là phân chia theo thời gian

kn N

W ) n ( x )

1 n

1 2,4

0 n

N

,

kn N

N

,

kn

N x ( n ) W W

) n ( x

(

) r (

k N

) / N

(

kr

W ) r ( x )

k (

X

 Thay n=2r với n chẵn và n=2r+1 với n lẽ:

 Giả thiết dãy x(n) có độ dài N=2 M, nếu không có dạng lũy thừa 2 thì thêm vài mẫu 0 vào sau dãy x(n)

 X 0 (k) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số n chẵn

 X 1 (k) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số n lẽ

0 r

2

) / N

(

kr / N

W ) r ( x )

k (

0 r

2

) / N

(

kr / N

W ) r

( x )

k ( X

Đặt:

) (

) ( )

0 r

2

1 2

0 r

2

) / N

(

kr / N

k N

) / N

(

kr /

W ) r ( x )

k ( X

kr / N

kr /

N

j r

k N

j r

k

2 2

2 2

N/2 điểm

x(0) x(2) x(4) x(6)

X(0) X(1) X(2) X(3)

DFT

N/2 điểm

x(1) x(3) x(5) x(7)

X(4) X(5) X(6) X(7)

 Phân chia DFT- N điểm -> 2 DFT- N/2 điểm;

 Qui ước cách tính X(k) theo lưu đồ:

- Nhánh ra của 1 nút bằng tổng các nhánh vào nút đó

- Giá trị mỗi nhánh bằng giá trị nút xuất phát nhân hệ số

 Sau đó đánh lại chỉ số theo thứ tự các mẫu x(n), tiếp tục phân chia DFT của N/2 điểm thành 2 DFT của N/4 điểm theo chỉ số n chẵn và lẽ và cứ thế tiếp tục phân chia cho đến khi nào còn DFT 2 điểm thì dừng lại

 Ví dụ X 0 (k) được phân chia:

0 r

2

1 2

0 r

2

) / N

(

kr / N

) / N

(

kr /

W ) r ( x )

k (

5 3 1 r

2

1 2

4 2 0 r

2

) / N (

, ,

kr / N

) / N (

, ,

kr /

N g ( r ) W W

) r ( g

0 l

4 2

1 4

0 l

2

) / N

(

kl / N

k / N

) / N

(

kl /

N W g ( l ) W W

) l ( g

) k ( X W

) k (

X00  N k / 2 01



 Phân chia DFT- N/2 điểm -> 2 DFT- N/4 điểm của X 0 (k)

 Phân chia X 1 (k) tương tự:

) k ( X W ) k ( X ) k (

X 1 (2)

X (3)

X 11 (0)

 Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 2 lần phân chia với N=8

x(5)

x(3)

x(7)

X(4) X(5) X(6) X(7)

 Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 3 lần phân chia với N=8

x(5)

x(3)

x(7)

X(4) X(5) X(6) X(7)

 Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 3 lần phân chia với N=8

x(0) x(4) x(2) x(6)

X(0) X(1) X(2) X(3) x(1)

x(5) x(3) x(7)

X(4) X(5) X(6) X(7)

-1 -1

Đảo

bít

 Với N=2 M -> M lần phân chia

 Số phép nhân = số phép cộng = NM/2=(N/2)log 2 N

Chỉ số

tự nhiên

Số nhị phân chưa đảo

Ví dụ 4.5.1: Hãy vẽ lưu đồ và tính FFT cơ số 2 phân theo t/

g

x(0) x(2) x(1) x(3)

X(0) X(1) X(2) X(3)

b THUẬT TÓAN FFT CƠ SỐ 2 PHÂN THEO TẦN SỐ

 Thuật tóan dựa trên sự phân chia dãy ra X(k) thành các dãy nhỏ, do biến k biểu thị cho trục tần số nên gọi là phân chia theo tần số

N n

kn N

W ) n ( x )

k (

1 2

0 n

N / N

kn N

) / N

(

kn

W ) n ( x

0 n

2

1 2

0 n

2

) / N

(

) / N n (

k N

) / N

(

kn

W ) n ( x

0 n

2

1 2

0 n

2

) / N

(

kn N

/

kN N

) / N

(

kn

W ) n ( x

) / N

(

kn N

k x ( n N / ) W )

( ) n ( x

0 n

2

2 2

) / N

(

rn / N

W ) / N n

( x ) n ( x )

r (

0 n

2

2 1

2

) / N

(

rn / N

n

N W W

) / N n

( x ) n ( x )

r (

X

) / N n ( x ) n ( x ) n ( h );

/ N n ( x ) n ( x ) n (

0 n

2

2

) / N

(

rn / N

W ) n ( g )

r (

0 n

2

1 2

) / N

(

rn / N

n

N W W

) n ( h )

r ( X

 X(2r) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số k chẵn

 X(2r+1) – DFT của N/2 điểm ứng với chỉ số k lẽ

 Phân chia DFT N=8 điểm -> 2 DFT N/2= 4 điểm

k chẵn

k lẽ

DFT

N/2 điểm

DFT

N/2 điểm

-1 -1 -1 -1

 Sau đó đánh lại chỉ số theo thứ tự các mẫu X(k), tiếp tục phân chia DFT của N/2 điểm thành 2 DFT của N/4 điểm theo chỉ số k chẵn và lẽ Tiếp tục phân chia cho đến khi nào còn DFT 2 điểm thì dừng lại.

 Dữ liệu ra X(k) được sắp xếp theo thứ tự đảo bít, còn

dữ liệu vào được sắp theo thứ tự tự nhiên

 Số phép nhân và phép cộng trong lưu đồ phân theo tần

số bằng với số phép nhân và cộng trong lưu đồ phân theo thời gian

 Lưu đồ DFT dãy x(n) sau 3 lần phân chia với N=8

x(5)

x(6)

x(7)

X(1) X(5) X(3) X(7)

-1 -1

Đảo bít

X(0) X(2) X(1) X(3)

W 0

W 1

-1

-1 -1

-1

5.4.3 THUẬT TOÁN FFT VỚI N=N1N2

 Giả thiết độ dài dãy x(n) có thể phân tích N=N 1 N 2, nếu

độ dài không thể biểu diễn dưới dạng trên thì thêm vài mẫu 0 vào sau dãy x(n)

 Lấy ví dụ sắp xếp dãy x(n) với N=12, chọn N1=3 và N2=4

 DFT N điểm dãy x(n) được phân

1 2 1

N n

N n

) N n n )(

N k k

( N

W ) N n n

( x )

N k k

( X )

k ( X

1 2

2 2 2

1 1 1

N n

N n

N N k

n N

N k

n N

N k

n N

k

n

W ) N n n

( x

1 :

2

1 1 1

2 1

2

2

2 2 2

1 2 1

1

1 1 1

N n

k

n N

k

n N

N n

k

n

W ) N n n

( x )

k ( X

) ,

( )

(

N n

k

n N W k

n G k

1 2

1

1

1 1 1

N n

k

n N

W ) N n n

( x )

k , n ( F

1 2

1 2 1

2, k ) F ( n , k ) W N n k

n (

 Đặt:

Các bước tiến hành theo thuật tóan:

 Sắp xếp dữ liệu vào theo thứ tự từng cột, mảng x

Ví dụ 4.5.3: Nêu các bước tính và vẽ lưu đồ thuật tóan FFT

2 1 2

1 2

1

1

1 1 1

N n

k

n N

W ) N n n

( x )

k , n ( F

 Nhân các phần tử mảng F(n 2 ,k 1 ) với các hệ số của

1 2 2

1 1

2

2

2 2 2

N n

k

n N

W ) k , n ( G )

k N k

( X )

k ( X

 Đọc dữ liệu ra theo thứ tự từng hàng X(k)

 Lưu đồ FFT dãy x(n) N=N 1 N 2 , với N 1 =3, N 2 =4:

DFT

N 1 điểm

DFT

N 2 điểm

DFT

N 2 điểm

X(0) X(3) X(6) X(9) X(1) X(4) X(7) X(10) X(2) X(5) X(8) X(11)