Tài liệu Chương 2: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền phức Z doc

Ch Ch ương 2 ương 2 : : BI BI ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN PHỨC Z TRONG MIỀN PHỨC Z 2.1 BIẾN ĐỔI Z 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z 2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 2.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN Z • Nếu x(n) nhân quả thì : (*) (**) • Ký hiệu: x(n) X(z) hay X(z) = Z{x(n)} X(z) x(n) hay x(n) = Z - 1 {X(z)} 2.1 BI 2.1 BI Ế Ế N N ĐỔI ĐỔI Z Z 2.1.1 2.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z: Z: ∑ ∞ = − = 0n n znxzX )()( →← Z  →← −1 Z ≡ Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía • Biến đổi Z của dãy x(n): Biến đổi Z 1 phía dãy x(n): (*) (**) Trong đó Z – biến số phức ∑ ∞ −∞= − = n n znxzX )()( • Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence) là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho X(z) hội tụ. 2.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC) 2.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC) +++= ∑ ∞ = )2()1()0()( 0 xxxnx n 1)(lim 1 < ∞→ n n nx 0 0 Im(Z) Re(z) R x+ R x- R O C • Để tìm ROC của X(z) ta áp dụng tiêu chuẩn Cauchy • Tiêu chuẩn Cauchy: Một chuỗi có dạng: hội tụ nếu: Ví dụ 2.1.1: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=a n u(n) ( ) n n az ∑ ∞ = − = 0 1 1 1 1 − − = az )z(X azazlim n n n >⇔<       − ∞→ 1 1 1 ∑ ∞ −∞= − = n n z)n(x)z(X [ ] ∑ ∞ −∞= − = n nn z)n(ua ∑ ∞ = − = 0n nn z.a 0 ROC ROC Im(z) Re(z) /a/ Theo tiêu chuẩn Cauchy, X(z) sẽ hội tụ: Nếu: Vậy: a; az )z(X > − = − Z:ROC 1 1 1 ( ) m m za ∑ ∞ = − −= 1 1 azzalim n n n <⇔<       − ∞→ 1 1 1 ∑ ∞ −∞= − = n n z)n(x)z(X [ ] ∑ ∞ −∞= − −−−= n nn z)n(ua 1 ∑ − −∞= − −= 1 n nn z.a ( ) 1 0 1 +−= ∑ ∞ = − m m za ( ) 1 0 1 +−= ∑ ∞ = − n m za)z(X 1 1 1 − − = az 0 ROC ROC Im(z) Re(z) /a/ Theo tiêu chuẩn Cauchy, X(z) sẽ hội tụ: Nếu: Ví dụ 2.1.2: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=-a n u(-n-1) 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z 2.2.1 Tuyến tính RROC : )()( 222 =→← zXnx Z RROC : )()( 111 =→← zXnx Z )()()()( 22112211 zXazXanxanxa Z +→←+ • Nếu: • Thì: Ví dụ 2.2.1: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=a n u(n) - b n u(-n-1) với /a/</b/ ROC chứa R 1 ∩ R 2 Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được: 1 1 1 )( − − →← az nua Z n 1 1 1 )1( − − →←−−− bz nub Z n bzR <: 2 11 1 1 1 1 1 −− − + − →←−−− bzaz )n(ub)n(ua Z nn 0 ROC ROC Im(z) Re(z) /a/ 0 ROC ROC Im(z) Re(z) /b/ azR >: 1 bzaRRR <<∩= : 21 0 ROC ROC Im(z) Re(z) /b/ /a/ Theo v Theo v í dụ 2.1.1 và 2.1.2, ta có: í dụ 2.1.1 và 2.1.2, ta có: 2.2.2 Dịch theo thời gian a az nua Z n > − →← − z:ROC; 1 1 )( 1 az az az Z > − →← − − : 1 1 1 RROC : =→← )z(X)n(x Z R'ROC : 0 0 =→←− − )z(Xz)nn(x nZ R R R'    = trừ giá trị z=0, khi n 0 >0 trừ giá trị z=∞, khi n 0 <0 Ví dụ 2.2.2: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=a n u(n-1) Nếu: Thì: Với: Theo ví dụ 2.1.1: Vậy : x(n)=a n u(n-1)=a.a n-1 u(n-1) 2.2.3 Nhân với hàm mũ a n aR' az )az(X)n(ua)n(xa Z nn > − =→←= − − z:; 1 1 1 1 RROC : )()( =→← zXnx Z RROC : )()( 1 azaXnxa Z n =→← − 1− ∞ −∞= ∑ =→←= z)n(u)z(X)n(u)n(x n Z Nếu: Thì: Ví dụ 2.2.3: Xét biến đổi Z & ROC của x 1 (n)=u(n) và x 2 (n)=a n u(n) 1z 1 1 1 > − = − :R; z 2.2.4 Đạo hàm X(z) theo z a az zXnuanx Z n > − =→←= − z:ROC; 1 1 )()()( 1 RROC : )()( =→← zXnx Z RROC : )( =−→← dz dX(z) znxn Z dz )z(dX z)z(G)n(nx)n(g Z −=→←= az az az > − = − − : )1( 21 1 Nếu: Thì: Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC của g(n)=na n u(n) [...]... X (z) /z, hay nghiệm của B (z) là đơn, bội và phức liên hiệp a) Xét X (z) /z có các điểm cực đơn: Zc1, Zc2, Zc3,… ZcN, A( z ) X ( z ) A( z ) = = z B ( z ) bN ( z − zc1 )( z − zc 2 )( z − zcN ) Theo lý thuyết hàm hữu tỉ, X (z) /z phân tích thành: N K1 K2 KN Ki X ( z ) A( z ) = + ++ =∑ = ( z − zcN ) i =1 ( z − zci ) z B ( z ) ( z − zc1 ) ( z − zc 2 ) Với hệ số Ki xác định bởi: X ( z) Ki = ( z − zci ) hay z. .. 5z + 6 ROC : a) /z/ >3, b) /z/ max{ /zci/ }: i=1÷N, biến đổi Z ngược của thành phần Ki/ (z- zci)r sẽ là: −1 z n(n − 1) (n... z Z = Z ci A( z ) Ki = B' ( z ) Z =Z ci Suy ra X (z) có biểu thức: N K1 K2 KN Ki X ( z) = + ++ =∑ −1 −1 −1 (1 − zc1 z ) (1 − zc 2 z ) (1 − zcN z ) i =1 (1 − z ci z −1 ) Xét: Ki X i ( z) = (1 − zci z −1 ) ⇒ xi (n) = K i ( zci ) n u (n) • Nếu ROC: /z/ > /zci/ • Nếu ROC: /z/ < /zci/ ⇒ xi ( n) = − K i ( zci ) u (− n − 1) n N •Vậy: x( n) = ∑ xi ( n) i =1 Ví dụ: 2.3.5: Tìm x(n) biết 2z 2 − 5z X ( z) = 2 z. .. hàm X (z) zn-1 : 1 x ( n) = X ( z ) z n−1dz ∫ 2πj C (*) Trong đó: • Zci – các điểm cực của X (z) zn-1 nằm trong đường cong C • Res[X (z) zn-1 ]z= zci - thặng dư của X (z) zn-1 tại điểm cực zci  Tổng cộng các thặng dư tại tất cả các điểm cực, ta được x(n) Ví dụ 2.3.1: Tìm biến đổi Z ngược của X ( z ) = Thay X (z) vào (*), ta được 1 z 1 n −1 = z n−1dz x ( n) = ∫ X ( z ) z dz 2πj ∫ ( z − 2 ) 2πj C C z ( z − 2)... −1 z N −1 + + b 1z + b0 B( z ) B( z ) Ta được C (z) là đa thức và phân thức A (z) /B (z) có bậc M≤N •Nếu K≤N, thì X (z) có dạng giống phân thức A (z) /B (z) Việc lấy biến đổi Z ngược đa thức C (z) là đơn giản, vấn đề phức tạp là tìm biến đổi Z ngược A (z) /B (z) có bậc M≤N Xét X (z) /z là phân thức hữu tỉ có bậc M≤N : X ( z ) A( z ) aM z M + aM −1 z M −1 + a1 z + a0 = = z B ( z ) bN z N + bN −1 z N −1 + + b 1z + . BI BI ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN PHỨC Z TRONG MIỀN PHỨC Z 2.1 BIẾN ĐỔI Z 2.2 CÁC TÍNH CHẤT. =→← zXnx Z RROC : )( =−→← dz dX (z) znxn Z dz )z( dX z) z(G)n(nx)n(g Z −=→←= az az az > − = − − : )1( 21 1 Nếu: Thì: Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z &