• Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC Region Of Convergence là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho Xz hội tụ.. 2.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z ROC tiêu chuẩn Cau
Trang 12.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN Z
Trang 2• Nếu x(n) nhân quả thì : (*) (**)
Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía
• Biến đổi Z của dãy x(n):
Biến đổi Z 1 phía dãy x(n):
Trang 3• Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence)
là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho X(z) hội tụ.
2.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC)
tiêu chuẩn Cauchy
• Tiêu chuẩn Cauchy:
Một chuỗi có dạng:
hội tụ nếu:
Trang 4Ví dụ 2.1.1: Tìm biến đổi Z & ROC của x(n)=a n u(n)
a z
ROC: Z1
1
1
Trang 5 m
m
z a
z a lim
Trang 62.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z
2.2.1 Tuyến tính
R ROC
: ) ( )
2 n X z
R ROC
: ) ( )
1 n X z
) ( )
( )
( )
Ví dụ 2.2.1: Tìm biến đổi Z & ROC của
x(n)=a n u(n) - b n u(-n-1) với /a/</b/
ROC chứa R 1 R 2
Trang 7Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được:
1
1
1)
1
1 1
1
) n
( u b )
R1 :
b z
a R
Trang 82.2.2 Dịch theo thời gian
a az
n u
a
z az
:
X ( z ) )
n (
R'ROC
:
0
n ) z X ( z ) n
(
R
RR'
Trang 92.2.3 Nhân với hàm mũ a n
a
R' az
) az ( X )
n ( u a )
n ( x
R ROC
: ) ( )
( n X z
RROC
: )(
)(n X a 1z a x
Nếu:
Thì:
Ví dụ 2.2.3: Xét biến đổi Z & ROC của
x 1 (n)=u(n) và x 2 (n)=a n u(n)
1
z 1
Trang 102.2.4 Đạo hàm X(z) theo z
a az
z X n
u a n
( )
( )
R ROC
: ) ( )
R ROC
: )
dz
dX(z) z
n x
dz
) z (
dX z
) z ( G )
n ( nx )
Trang 112.2.5 Đảo biến số
Nếu:
Thì:
a az
z X n
u a n
( )
( )
R ROC
: ) ( )
R X
a 1
1 )
z ( X )
Trang 122.2.6 Liên hiệp phức
R ROC
: ) ( )
R X
n
x * ( ) Z * (z*) : ROC
2.2.7 Tích 2 dãy
RR
ROC :
d)
(2
1)
()
RROC
: )()
2 n X z
RROC
: )()
Trang 13Ví dụ 2.2.6: Tìm x(0), biết X(z)=e 1/z và x(n) nhân quả
X(z) lim
: )()
RROC
: )()
)()
()
(
*)
1 n x n X z X z
1 e
Trang 140 5
0 1
1 5
z
) z ( X )
n ( u ) ( )
1
11
n ( u )
n
(
2 5
0 2
1
1 5
0 1
) z (
) z ( H ) z ( X )
z
(
Y
25
02
1
13
45
01
13
)
z (
.
)1(
23
4)
()5.0
(3
1)
(
*)()
Trang 15z X
v
X
j C
1 2
1 ( ) 2
Trang 16BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG
1
) 1
az
az
Trang 172.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
2.3.1 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC
C
n dz z
) z (
X j
) n (
2
1
Với C - đường cong khép kín bao quanh gốc tọa độ trong
mặt phẳng phức, nằm trong miền hội tụ của X(z), theo chiều (+) ngược chiều kim đồng hồ
Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất phức tạp của phép lấy tích phân vòng
Thặng dư
Khai triển thành chuỗi luỹ thừa
Phân tích thành tổng các phân thức tối giản
(*)
Trang 182.3.2 PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ
b) Phương pháp:
• Theo lý thuyết thặng dư, biểu thức biến đổi Z ngược theo tích phân vòng (*) được xác định bằng tổng các thặng dư
tại tất cả các điểm cực của hàm X(z)z n-1 :
• Thặng dư tại điểm cực Z ci bội r của F(z) được định nghĩa:
r Z
dz
d r
z F
1 )
Trang 19
C
n dz z
z
X j
n
2
1)
(
• Zci – các điểm cực của X(z)zn-1 nằm trong đường cong C
• Res[X(z)z n-1]z=z ci - thặng dư của X(z)zn-1 tại điểm cực zci
z
X j
n
2
1)
(
z j
1
22
1
Thay X(z) vào (*), ta được
Trang 20• n0 :
)2(
()2
• n<0 : n n
z z
z z
)2(
1)
1Res
()
2(
Trang 21()!
1(
1Res
1)!
1(
m
z z z
dz d m
Trang 222.3.3 PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN CHUỖI LUỸ THỪA
Giả thiết X(z) có thể khai triển:
(*) (**)
Đồng nhất (*) & (**), rút ra: x ( n ) an
Ví dụ: 2.3.2: Tìm x(n) biết X(z) = z 2 + 2z + 3 - 4z -1 - 5z -2
ROC: 0</z/< ∞
2 1
0 1
2 2
2
21
01
Trang 23Ví dụ: 2.3.3: Tìm x(n) biết: : 2
2 1
1 )
Do ROC của X(z) là /z/>2, nên x(n) sẽ là dãy nhân quả
và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:
0 0
z a z
a a
z a )
Để có dạng (*), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:
X
) ( 2
0 :
2 )
x n n
Trang 24: 2
1
1 )
Do ROC của X(z) là /z/<2, nên x(n) sẽ là dãy phản nhân quả và sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:
1 1 1
z a z
a z
a z
a )
Để có dạng (**), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:
(**)
2 2
(
n
n
n z z
X
) 1 (
2 0
: 2 )
Ví dụ: 2.3.4: Tìm x(n) biết:
Trang 252.3.4 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH TỔNG
CÁC PHÂN THỨC TỐI GIẢN
Xét X(z) là phân thức hữu tỉ có dạng:
) (
)
( )
(
z B
z
D z
0 1
1 1
0 1
1 1
b z
b z
b z
b
d z
d z
d z
d
N N
N N
K K
K K
)
( )
(
z B
z
D z
) (
)
( )
(
z B
z
A z
0 1
1 1
0 1
1 1
b z
b z
b
a z
a z
a z
a z
N
N N
M M
M M
Ta được C(z) là đa thức và phân thức A(z)/B(z) có bậc MN
•Nếu KN, thì X(z) có dạng giống phân thức A(z)/B(z)
Việc lấy biến đổi Z ngược đa thức C(z) là đơn giản, vấn đề phức tạp là tìm biến đổi Z ngược A(z)/B(z) có bậc MN
Trang 26Xét X(z)/z là phân thức hữu tỉ có bậc MN :
) (
) ( )
(
z B
z
A z
z
Xét đến các điểm cực của X(z)/z, hay nghiệm của B(z) là
đơn, bội và phức liên hiệp
0 1
1 1
0 1
1 1
b z
b z
b z
b
a z
a z
a z
a
N N
N N
M M
M M
) ( )
(
z B
z
A z
z
)(
))(
) ( )
(
z B
z
A z
z
)(
)(
)
K z
z
K z
i
z B
z
A K
)(')(
Trang 27Suy ra X(z) có biểu thức:
)1
()
1()
1(
)
2
2 1
K z
z
K z
z
K z
X
cN
N c
K
) 1
K z
X
ci
i i
Xét:
Trang 28) 3 )(
2 (
z
) 3 (
) 2
z
K z
K
6 5
5 2
z z
z
X
)3(
52
z
X
)2(
52
) 3 (
1 )
2 (
1 )
z
z
X
) 3
1 (
1 )
2 1
(
1 )
z X
ROC : a) /z/>3, b) /z/<2, c) 2</z/<3 5 6
5
2 )
z
z z
X
Ví dụ: 2.3.5: Tìm x(n) biết
Trang 29Với các miền hội tụ:
) 3
1 (
1 )
2 1
(
1 )
Trang 30b) Xét X(z)/z có điểm cực Z c1 bội r và các điểm cực đơn:
Z c(r+1) ,…,Z cN ,
) (
) ( )
(
z B
z
A z
z
)(
)(
)(
)(
) 1 (
c
N z z z z z z b
K z
z
K z
z
K z
z
X
)(
)(
)(
)
(
1
2 1
2 1
i
z z
K z
Z Z
r 1 c )
i r (
) i r
z
)z(
Xdz
d)!
ir
(
1K
)( r c(1r 1) z N z cN
K z
Trang 31Vậy ta có biểu thức biến đổi Z ngược là:
Với giả thiết ROC của X(z): /z/ > max{ /z ci / }: i=1N,
biến đổi Z ngược của thành phần K i /(z-z ci ) r sẽ là:
) 2 ) (
a i
n n
n a
)
( )!
1 (
) 2 ) (
1
( )
n n
n K n
r l
n cl l
i n r
( ) z
(
z z
z )
z ( X
) 1 (
) 2 (
4 5
2 )
z
z z
z
X
) 1 (
) 2 (
) 2 ( 1 2 2 3
z
K z
K z
K
Trang 32Vậy X(z)/z có biểu thức là:
Với các hệ số được tính bởi:
)1(
1)
2(
2)
2(
1)
z z
z
X
1 )
1 (
4 5
d
2
2 )
1 2 (
) 1 2 (
)!
1 2
z
X dz
d K
2 )
1 (
4 5
2
2 )
2 2 (
) 2 2 (
)!
2 2
z
X dz
d K
z
X
) 2 (
4 5
2
1 2
) 1
(
1 )
2 1 (
2 )
2 1 (
1 )
z z
z
) ( )
( 2
) ( 2
)
Trang 33c) Xét X(z)/z có cặp điểm cực Z c1 và Z* c1 phức liên hiệp,
các điểm cực còn lại đơn: Z c3 ,…,Z cN ,
) (
) ( )
(
z B
z
A z
z
)(
))(
c
N z z z z z z z z b
)(
)(
)(
2 1
1
cN
N c
c
K z
z
K z
z
K z
z
K z
K z
z
K z
z
K z
z
X
3
* 1
2 1
1
)(
)(
)(
)
(
Với các hệ số K 1 , K i được tính giống điểm cực đơn:
N i
: )
z z
( z
) z (
X
K
ci
Z Z
ci
1
Trang 34Xét :
Do các hệ số A(z), B(z) là thực, nên K 2 =K 1 *
) z z (
*
K )
z z (
K z
) z (
X
* c
1 1
*
K )
z z (
K )
z (
c
1 1
1
1 1
K1 1
j c
c z e
z 1 1
Và giả thiết ROC: /z/>max{/zci/} :
z u ( n ) K
) n
cos(
z K )
n (
i
n ci i
n c
Vậy:
Trang 35: ) 1 )(
2 2
z
z z
X
Ví dụ: 2.3.7: Tìm x(n) biết:
)1)(
22
(
1)
z z
z j
z
( 1 ) ( 1 ) ( 31 )
* 1
z
K j
z
K
1 )
1 (
) 1
z j
z
) 2 2
K
1 )
1 ( 1
2 /
1 )
1 ( 1
2 /
1 )
j z
j z
Trang 362.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN Z
Trong miền phức Z, H(z) đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống
Trang 372.4.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT ĐƯỢC BIỂU DIỄN THEO
CÁC HỆ SỐ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
N k
k
k z X z b z a
M
r
r r
z a
z b )
z ( X
) z (
Y )
z ( H
0 0
• Phương trình sai phân TTHSH có dạng:
• Lấy biến đổi Z 2 vế PTSP & áp dụng tính chất dịch theo t/g:
Trang 38Ví dụ: 2.4.1: Tìm H(z) và h(n) của hệ thống nhân quả cho bởi:
y(n) - 5y(n-1) + 6y(n-2) = 2x(n) - 5x(n-1)
2 1
1
6 5
1
5
2 )
(
)
( )
z z
X
z
Y z
H
)3(
)2( 1 2
z
K z
K
) 3 1 (
1 )
2 1 (
1 )
z z
)3)(
2(
52
z z
z
H
Do hệ thống nhân quả nên: h(n) = ( 2 n + 3 n ) u(n)
1 2 )
3 (
z
3 )
2 (
z K
Trang 422.4.4 TÍNH NHÂN QUẢ & ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG
))(
(
)
()
z
A z
Trang 43H ( ) ( ) : khi z 1
Hệ thống TTBB
là ổn định ROC của H(z) có chứa /z/=1
Theo đ/k ổn định (*), nhận thấy H(z) cũng sẽ hội tụ với /z/=1
(*)
Trang 45)2/1
z
K z
K
1)
2/1(1
1)
z
H
)2)(
2/1(
2
54
z z
1)
2/1(
b Hệ thống ổn định (1/2</z/<2): h(n)=(1/2) n u(n) - 2 n u(-n-1)
c Hệ thống nhân quả và ổn định:
ROC: /z/>2 không thể chứa /z/=1 không tồn tại h(n)
Trang 462.4.5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA
) ( n k
kY z y r z
z
1
) (
) (
Z
1 phía
) 1
0 ( )
1 ( )
1 ( z 1Y z
y
) 2
1 ( )
2 ( y z 1 z 2Y z
y
Trang 47Ví dụ 2.4.4: Hãy giải PTSP dùng biến đổi Z 1 phía
y(n) – 3y(n–1) +2 y(n-2) = x(n) : n0
biết: x(n)=3n-2u(n) và y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9
Lấy biến đổi Z 1 phía hai vế PTSP:
Y(z) - 3[y(-1)+z-1Y(z)] + 2[y(-2)+y(-1)z-1+z-2Y(z)] = X(z) (*)
Thay y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9 và X(z)=3-2/(1-3z-1) vào (*), rút ra:
)3(
1
2
1)
1(
1
2
1)
3)(
1(
1)
z z
z
z
Y
) 3
1 (
1
2
1 )
1 (
1
2
1 )
z
Y
3 1 ( ) 2
1 )
y n