Tài liệu Biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền Z pdf

Tính ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian cũng có thể được biểu diển thông qua các đặc tính của hàm truyền đạt.. Trong phần trước của bài học ta đã biết rằng điều kiện

Quan hệ trên được sử dụng để xác định H(z) khi hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân với hệ số hằng dưới dạng :

y(n) = -∑

=

− N

1 k

ky(n k)

=

− M

0 k

kx(n k) b

Lấy biến đổi Z cả hai vế :

Y(z) = -∑

=

N 1 k

kY(z)

a z-k + ∑

=

M 0 k

kX(z)

Y(z)











=

− N 1 k

k

kz a











∑

=

− M 0 k

k

kz b

H(z) =

) z ( X

) z (

∑

∑

=

−

=

−

+ N 1 k

k k

M 0 k

k k z a 1

z b

(2.26)

→ Nhận xét khi biết tín hiệu vào x(n) và đáp ứng xung h(n), để tìm đáp ứng ngõ ra y(n) ta thực hiện các bước sau :

° Biến đổi Z x(n) và h(n)

x(n) ←→z X(z), h(n) ←→z H(z)

° Tìm Y(z) = X(z) H(z)

° Biến đổi ngược z của Y(z) để tìm y(n)

Ví dụ 2.18 :

Hãy xác định hàm truyền đạt H(z) và đáp ứng xung h(n) của hệ thống nhân quả được mô tả bởi phương trình sai phân :

y(n) =

2

1 y(n-1) + 2x(n)

Giải :

Lấy biến đổi Z cả hai vế của phương trình

Y(z) =

2

1z-1 Y(z) + 2X(z)

H(z) =

) z ( X

) z (

1 z 2

1 1

2

−

−

2

1











b Hàm truyền đạt của các hệ thống kết nối :

Trong nhiều trường hợp, ta gặp hai hay nhiều lọc mắc nối tiếp (còn gọi là mắc chồng) hoặc song song Lúc đó tính toán đáp ứng tần số toàn thể thuận lợi hơn là tính toán đáp ứng xung cho toàn thể

• Hàm truyền đạt ghép nối tiếp : Hình 2.6

H(z) = H1(z) H2(z) … Hn (z) với n nguyên dương (2.28)

• Hàm truyền đạt ghép song song : Hình 2.7

H(z) = H1(z) + H2(z) + … + Hn (z) với n nguyên dương (2.29)

• Đặc biệt khi hai lọc như nhau mắc nối tiếp, ta có :

H(z) = H12(z)

2.5.2 Giải Phương Trình Sai Phân Tuyến Tính Hệ Số Hằng Nhờ Biến Đổi Z

Vì việc giải phương trình sai phân thường đi kèm với điều kiện đầu khác không

Vì vậy ta cần ứng dụng biến đổi Z một phía để giải phương trình Trước hết, ta xét biến đổi Z của hàm số :

x(n – m) ←→z Xm(z) = ∑∞

=

− 0 n

) m n (

x z-n Đặt k = n– m

= ∑∞

−

= m k

) k (

x z-k-m = z-m ∑∞

−

= m k

) k (

x z-k









 ∑−1 x(k)z− k +∑∞ x(k)z− k

Hình 2.6

H1(z)X(z)

H1(z)

H2(z)

Hình 2.7

H1(z)X(z)

H2(z)X(z)

= z-m 









=

m 1 k

k z ) k ( x ) z ( X

Ví dụ 2.19 :

Giải phương trình sai phân sau

2x(n – 2) – 3x(n – 1) + x(n) = 3n-2 với n ≥ 0 Biết điều kiện đầu x(2) =

-9

4 , x(1) =

-3 1

Giải :

Lấy biến đổi Z một phía 2 vế của phương trình :

2{z− 2X(z)+z− 1x(−1)+x(−2)} - 3{z− 1X(z)+x(−1)} + X(z) = 3-2

3 z

z

−

-9

4 , x(1) =

-3 1

Ta được : X(z) =

) 3 z )(

1 z (

z

−

−

Để tìm biến đổi ngược Z, ta sẽ phân chia X(z) thành tổng hai phân thức:

X(z) =

-2

1

1 z

z

− + 2

1

3 z

z

− =

-2

1

1 z 1

1

−

2

1

1 z 3 1

1

−

−

-2

1 u(n) +

2

1 3nu(n) Miền hội tụ ROC z > 3

2.5.3 Độ Oån Định Và Tiêu Chuẩn Jury

2.5.3.1 Sự Oån Định Của Một Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến

Ổn định là một đặc tính quan trọng đối với bất kỳ một hệ thống nào được sử dụng trong thực tế Một hệ thống bất kỳ được gọi là ổn định khi và chỉ khi với dãy đầu vào bị chặn, ta có dãy đầu ra cũng bị chặn Nói khác đi, khi không có tín hiệu ở đầu vào của hệ thống, nhưng cũng có thể ở đầu ra của hệ thống xuất hiện tín hiệu, đó chính là trường hợp hệ thống không ổn định

Tính ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian cũng có thể được biểu diển thông qua các đặc tính của hàm truyền đạt

Trong phần trước của bài học ta đã biết rằng điều kiện cần và đủ để bảo đảm tính ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian là :

∑∞

−∞

= n

) n (

Mặt phẳng Z

1

Hình 2.8

0 r

ROC

1

Hình 2.9

Trong miền Z, điều kiện này sẽ tương đương với việc ROC của hàm truyền đạt H(z) phải chứa vòng tròn đơn vị

Thật vậy vì : H(z) = n

n

z ) n (

∞

−∞

=

∑

Ta suy ra : H ( z ) ≤ ∑∞

−∞

=

− n

n z ) n (

−∞

= n

) n (

Đánh giá biểu thức này tại z = 1

Ta suy ra : H(z) z=1 ≤ ∑∞

−∞

= n

) n ( h

Để điều kiện ổn định trong miền thời gian

(tức là ∑∞

−∞

=

n

) n (

h < ∞) được bảo đảm thì rõ ràng hàm

truyền đạt H(z) cũng phải hội tụ với z = 1

(điểm hội tụ nằm trên vòng tròn dơn vị trong mặt

phẳng Z)

Như vậy ta có thể đưa ra kết luận, để hệ

thống ổn định thì vòng tròn đơn vị phải thuộc ROC của hàm truyền đạt H(z)

→ Kết luận :

Hệ thống tuyến tính bất biết theo thời gian là ổn định nếu và chỉ nếu ROC của hàm hệ thống có chứa vòng tròn đơn vị Hình vẽ bên minh hoạ điều này

Đối với một hệ nhân quả, điều kiện ổn

định có thể được thu hẹp lại trong một chừng

mực nào đó Thật vậy, ta đã biết rằng hệ thống

nhân quả có đáp ứng xung thoả điều kiện: h(n)

= 0, n< 0, hay nói cách khác h(n) phải là dãy

nhân quả Nếu hệ thống được biểu diễn trong

miền Z thì ROC của H(z) phải là miền nằm

ngoài vòng tròn với bán kính nào đó và để hệ

thống ổn định thì ROC của H(z) lại phải chứa

vòng tròn đơn vị

Vậy để hệ thống là nhân quả và ổn định thì

ROC của H(z) là z > r, với r < 1

Ta cũng nhận xét là ROC không thể chứa bất cứ một cực nào của H(z) Do vậy, suy ra rằng một hệ thống LTI nhân quả và ổn định khi và chỉ khi tất cả các cực của H(z) nằm bên trong vòng tròn đơn vị

Ví dụ 2.21 :

Xét một hệ thống LTI có hàm truyền đạt :

H(z) =

α

− z 1

Với α là một số thực, dương

Hãy tìm điều kiện ổn định của hệ thống ?

Giải :

Điểm cực của H(z) là z = α Vậy để hệ thống ổn định ta phải có

α< 1 Bây giờ ta hãy kiểm tra lại điều này trong miền thời gian Trước hết ta thực hiện phép biến đổi ngược Z để tìm đáp ứng xung h(n)

Ta có H(z) =

α

−

z 1

z

−

− α

− Suy ra h(n) = αn−1 u(n – 1)

h(0) = 0; h(1) = 1; h(2) = α; h(3) = α2

Ví dụ2.22 :

Xét hệ thống LTI được đặc trưng bởi hàm truyền đạt H(z)

z 5 , 1 z 5 , 3 1

z 4 3

−

−

−

+

−

1 z 2

1 1

1

−

z 3 1

2

−

−

Hãy chỉ ra ROC của H(z) và xác định h(n) trong những điều kiện sau :

a) Hệ thống là ổn định

b) Hệ thống là nhân quả

c) Hệ thống là không nhân quả

Giải :

h(n)

1

α

α2

n

Hệ ổn định

h(n)

1

2

n

Hệ không ổn định Hình 2.10

Hệ thống có các cực tại z=

2

1 và z=3 a) Hệ thống là ổn định, vì ROC không chứa các điểm cực và chứa vòng tròn đơn vị nên ROC của H(z) là:

2

1 < z < 3

2

1











 u(n) – 2 3n u( -n–1 ) Hệ thống không nhân quả

b) Hệ thống là nhân quả :

ROC của H(z) phải là z > 3

2

1











 u(n) + 2 3n n(n) c) Hệ thống là không nhân quả :

ROC của H(z) phải là z <

2 1

u(n)= –















 +











n 3 2 2

ROC không chứa vòng tròn đơn vị nên trong trường hợp này hệ thống không ổn định

→ Vì độ ổn định tùy thuộc vào khoảng cách từ tâm 0 đến cực, nghĩa là bán kính của cực nên ta cũng có thể diễn tả cực trong hệ tọa độ cực Ví dụ ta có hệ thống với đôi cực như hình vẽ sau đây :

Vị trí của các cực lần lượt là :

p1 = rejθ

p2 = re−jθ

) re z )(

re z (

1

j

−

r z ) cos r 2 ( z

1 +

Hệ này ổn định thì r < 1

2.5.3.2 Tiêu chuẩn ổn định Schür – Cohn

θ θ 0

Hình 2.11

Im(Z)

Re(Z) r

r

Ta đã biết rằng muốn xét một hệ thống có ổn định hay không, phải tìm các điểm cực của H(z) Nhưng khi bậc của mẫu số của H(z) lớn thì việc tìm các điểm cực sẽ gặp nhiều khó khăn Để tránh tìm các điểm cực mà vẫn biết được hệ thống có ổn định hay không, ta có thể dùng tiêu chuẩn ổn định Schür – Cohn sẽ được trình bày dưới đây : Giả thiết H(z) =

) z ( A

) z (

B Các cực của hệ thống là nghiệm của A(z) A(z) = 1+ a1z-1 + a2z-2 + + aNz-N (2.33) Trước khi đi vào trình bày chi tiết phương pháp, ta hãy thiết lập một số công thức liên quan Ta ký hiệu đa thức bậc m cho bởi :

Am(z)=∑

=

− m

0 k

k

m(k)z

am(0)= 1

→ Hãy xét đa thức ngược Bm(z) của Am(z), đa thức này có các hệ số giống như các hệ số của Am(z) nhưng được sắp xếp theo thứ tự ngược lại Như vậy ta có :

Bm(z) = ∑

=

−

− m

0 k

k

m(m k)z

→ Theo tiêu chuẩn Schür – Cohn, để xác định đa thức có tất cả các cực nằm bên trong đường tròn đơn vị, ta cần xác định tập hợp các hệ số được gọi là các hệ số phản xạ k1, k2, kN từ đa thức Am(z)

Đầu tiên ta đặt : AN(z)= A(z); kN= aN(N) Sau đó ta sẽ tính các đa thức Am(z) với m=N, N-1, N-2, 1 theo công thức đệ quy

Am-1(z)= 2

m

m m m

k 1

) z ( B k ) z ( A

−

Trong đó các hệ số km được định nghĩa bởi km= am(m) Tiêu chuẩn Schür-Cohn phát biểu rằng: Đa thức A(z)= 1+ a1z-1+ a2z-2+ + aNz-N sẽ có tất cả các cực nằm trong vòng tròn đơn vị nếu và chỉ nếu các hệ số km thỏa mãn điều kiện km < 1 với mọi m= 1, 2, , N

Ví dụ2.23 :

Hãy xác định tính ổn định của hệ thống được mô tả bởi hàm truyềân đạt

H(z) =

2

2

1 z 4

7 1

1

−

− −

−

Giải :

Hãy bắt đầu với A2(z) Theo định nghĩa

A2(z) = 1 -

4

7z-1 -

2

1z-2 = ∑

=

2 0 k

2(k)

a z-k Xét đa thức ngược

B2(z) = ∑

=

− 2

0 k

2(2 k)

2

1 -

4

7z-1 + z-2

→ k2 = a2(2) = -

2 1

Theo công thức đệ quy :

A1(z) = 2

2

2 2 2

k 1

) z ( B k ) z (

A

−

2 1 2

1

2

1 1

z z 4

7 2

1 2

1 z

2

1 z 4

7 1











−

−





















−

−

−

=

4 3

z 2

1 z 8

7 4

1 z 2

1 z 4

7

1− − 1− − 2− − − 1+ − 2

=

4 3

z 8

21 4

−

= 1 -

2

7z-1

với k1 = a1(1) =

-2 7

với k2 =

2

1 < 1, nhưng k1 =

2

7 > 1 Do đó hệ thống không ổn định

Ví dụ2.24 :

Xét tính ổn định của hệ thống

z z z 2 z 3 4

1

−

−

−

+

Giải :

Viết lại H(z)

H(z) =

4 3

2

4

1 z 4

1 z 2

1 z 4

3 1

4 1

−

−

−

+

→ A4(z) = 1 +

4

3z-1 +

2

1z-2 +

4

1z-3 +

4

1z-4 = ∑

=

− 4

0 k

k

4(k)z a

=

−

− 4

0 k

k

4(4 k)z

4

1 +

4

1z-1 +

2

1z-2 +

4

3z-3 + z-4

→ k4 = a4(4) =

4 1

4

4 4 4

k 1

) z ( B k ) z ( A

−

=

16

1 1

z z 4

3 z 2

1 z 4

1 4

1 4

1 z 4

1 z 4

1 z 2

1 z 4

3

−











− +

+ +

=

16 15

z 16

1 z 8

3 z 16

11 16

15+ −1+ −2 + −3

= 1 +

15

11z-1 +

5

2z-2 +

15

1 z-3

15

1 +

5

2z-1 +

15

11z-2 + z-3

15 1

3

3 3 3

k 1

) z ( B k ) z ( A

−

−

=

2

3 2 1

3 2

1

15

1 1

z z 15

11 z 5

2 15

1 15

1 z 15

1 z 5

2 z 15

11 1

−











− +

+

=

225 224

z 225

79 z

75

53 225

+ +

= 1 +

224

159 z-1 +

224

79 z-2

224

79 +

224

159 z-1 + z-2

224 79

→ A1(z) = 2

2

2 2 2

k 1

) z ( B k ) z ( A

−

−

2 1 2

1

224

79 1

z z 224

159 224

79 224

79 z

224

79 z

224

159 1













−











− +

299 145

224 224

145













×











299

159 z-1

299 159

Tóm lại hệ thống ổn định vì

k1 =

299

159 < 1

k2 = 224

79

< 1

k3 =

15

1 < 1

k4 =

4

1 < 1

Ví dụ2.25:

Giả sử ta có1 hệ thống LTI được mô tả bởi phương trình sai phân sau :

y(n) + a1y(n -1) + a2y(n - 2) = x(n) Hãy xét sự ổn định của hệ thống theo hai tham số a1 , a2

Giải :

Lấy biến đổi Z 2 vế của phương trình sai phân ta có

Y(Z)( 1+ a1z-1 + a2z-2 ) = X(z) Vậy hàm truyền đạt H(z) =

) z ( X

) z (

2

1

a 1

1

−

− + +

Xét sự ổn định : ° A2(z) = 1+ a1z-1 + a2z-2

° B2(z) = a2+ a1z-1 + z-2

° k2 = a2

2

2 2 2

k 1

) z ( B k ) z ( A

−

2

2 1 1 2 2

2 2

1 1

a 1

) z z a a ( a z a z a 1

−

+ +

− +

2 2

1 2 1 1

2 2 a 1

z a a a a 1

−

− +

= 1 +

2

1 a 1

a + z-1

2

1 a 1

a + Điều kiện ổn định k2 < 1

1

k < 1

2

1

a 1

a + < 1

⇒ – 1 < a2 < 1 và –1 <

2

1 a 1

a + < 1 Vậy : -1 < a2 < 1 và -1-a2 < a1 < 1+ a2

a2 > –1 – a1 Hay a2 > a1 – 1

–1 < a2 < 1

BÀI TẬP CHƯƠNG II

Bài tập 2.1

Xác định biến đổi Z của các tín hiệu sau :

1) x(n) = {3, 0, 0, 0, 0, 6, 1, -4}

2) x(n) =

























≤

≥













4 n khi 0

5 n khi 2

1 n

Bài tập 2.2

Tính biến đổi Z và vẽ miền hội tụ của các tín hiệu sau :

1) x1(n) =















<













≥













−

0 n khi 2

1

0 n khi 3

1 n n

2) x2(n) =













<

≥

−













0 n khi 0

0 n khi 2

3

3) x3(n) = x1(n+4)

4) x4(n) = x1(–n)

Bài tập 2.3

Tính biến đổi Z và vẽ sơ đồ không-cực tương ứng của các tín hiệu sau : 1) x(n) = (1 + n).u(n)

2) x(n) = (an + a-n).u(n)

3) x(n) = (-1)n 2nu(n)

4) x(n) = n.an sinωon.u(n)

5) x(n) = n.an cosωon.u(n)

6) x(n) = A.rn cosωon.u(n) (0< r <1)

7) x(n) = 









 2

1 (n2 + n) n 1

3

1 −











 u(n – 1)

8) x(n) = 2

2

1











 [u(n) – u(n – 10)]

Bài tập 2.4

Xác định biến đổi Z của các tín hiệu sau :

1) x(n) = n(-1)n u(n)

2) x(n) = n2 u(n)

3) x(n) = (-1)n











3 cosπ u(n) 4) x(n) = (-1)n u(n)

5) x(n) = -n.an u(-n – 1)

6) x(n) = {1, 0, -1, 0, 1, -1, .}

Bài tập 2.5

Biểu diễn biến đổi Z của tín hiệu :

y(n) = ∑

−∞

=

n k

) k (

x qua X(z)

Bài tập 2.6

Sử dụng biến đổi Z để tính tổng chập của các tín hiệu sau :

x1(n) =















<













≥













−

0 n khi 2

1

0 n khi 3

1 n n

x2(n) = n

2

1











Bài tập 2.7

Xác định tín hiệu nhân quả x(n) biết biến đổi Z ngược của nó

X(z) =

( 1)( 1)2

z 1 z 2 1

1

−

−

Bài tập 2.8

Dùng phép chia, xác định biến đổi Z ngược của tín hiệu x(n) :

X(z) = 1 1 2

z z 2 1

z 2 1 +

−

+

−

−

Bài tập 2.9

Xác định tín hiệu nhân quả x(n) biết biến đổi Z của nó

1) X(z) = 1 1 2

z 2 z 3 1

z 3 1

−

−

− + + +

2) X(z) =

2

2

1 z 1

1

−

− +

−

3) X(z) = 6 17

z 1

z z

−

−

−

− +

4) X(z) = 22

z 1

z 2 1

−

−

− +

5) X(z) =

4

1











 − +

−

+ +

−

−

−

−

−

1 2

1

2 1

z 2

1 1 ) z 2 z 2 1 (

z z 6 1

z 5 , 0 z 5 , 1 1

z 5 , 1 2

−

−

−

+

−

−

7) X(z) = 11 22

z 4 z 4 1

z z 2 1

−

−

−

− + +

+ +

8) Cho X(z) bởi sơ đồ không cực với G =

4 1

9) X(z) =

1

1

z 2

1 1

z 4

1 1

−

−

+

−

Bài tập 2.10

Xác định mọi tín hiệu x(n) có thể thu được từ biến đổi Z

1

z

5 −

Imz

Rezr θ

r -1/4

θ =

4 1

r =

2 1

Hình BT.2.9

Bài tập 2.11

Xác định tổng chập của các cặp tín hiệu sau bằng cách dùng biến đổi Z :

1) x1(n) = n

4

1





































 + n 2

1

2) x1(n) = u(n) ; x2(n) = δ(n) + n

2

1











3) x1(n) = n

2

1











4) x1(n) = n.u(n) ; x2(n) = 2n u(n-1)

Bài tập 2.12

Xác định tổng chập của các cặp biến đổi Z sau bằng cách dùng biến đổi Z một

phía

1) x1(n) = {1, 1, 1, 1, 1} ; x2(n) = {1, 1, 1}

2) x1(n) = n

2

1











3

1











3) x1(n) = {1, 2, 3, 4} ; x2(n) = {4, 3, 2, 1}

Bài tập 2.13

Sử dụng biến đổi Z một phía để xác định y(n), n ≥ 0 trong trường hợp sau :

1) y(n) +

2

1 y(n – 1)

4

1

− y(n – 2) = 0 ; y(-1) = y(-2) = 1 2) y(n) – 1,5y(n – 1) + 0,5(n – 2) = 0 ; y(-1) = 1, y(-2) = 0

3) y(n) =

2

1 y(n – 1) + x(n) ; x(n) = n

3

1











 u(n), y(-1) =1

4) y(n) =

4

1 y(n – 2) + x(n) ; x(n) = u(n), y(-1) = 0, y(-2) = 1

Bài tập 2.14

Chứng minh rằng hai hệ thống sau là tương đương :

1) y(n) = 0,2y(n-1) + x(n) – 0,3x(n-1) + 0,02x(n-2)

2) y(n) = x(n) – 0,1x(n-1)

Bài tập 2.15

Xét hệ thống

H(z) =

) z 2 , 0 1 )(

z 5 , 0 1 )(

z 1 (

z z 2 z 2 1

1 1

1

3 2 1

−

−

−

−

−

−

−

−

−

− +

1) Vẽ sơ đồ không – cực của hệ thống Hệ thống này có ổn định không ?

2) Xác định đáp ứng xung của hệ thống

Bài tập 2.16

Tính đáp ứng của hệ thống:

y(n) = 0,7y(n-1) + 0,12y(n-2) + x(n-1) + x(n-2)

khi ngõ vào là x(n) = nu(n) Hệ thống này có ổn định không ?

Bài tập 2.17

Xác định đáp ứng xung của hệ thống trên hình vẽ sau nếu biết :

h1(n) = n

3

1











 u(n) ; h2(n) = n

2

1











 u(n) ; h3(n) = n

5

1











Bài tập 2.18

Xác định đáp ứng xung và đáp ứng bậc của các hệ thống nhân quả sau đây Vẽ sơ đồ không-cực và xác định tính ổn định của hệ thống

1) y(n) =

43 y(n-1)

8

1

− y(n-2) + x(n) 2) y(n) = y(n-1) + 0,5y(n-2) + x(n) + x(n-1)

3) H(z) = 1 1 13

) z 1 (

) z 1 ( z

−

−

−

−

− +

4) y(n) = 0,6y(n-1) + 0,8y(n-2) + x(n)

5) y(n) = 0,7y(n-1) - 0,1y(n-2) + 2x(n) – x(n-2)

Bài tập 2.19

Xét một hệ thống tuyến tính bất biến khi có tín hiệu ngõ vào là :

h1(n)

Hình BT.2.17