Chương 3 - BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC pot

3.5.5 Khôi phục lại tín hiệu tương tự• Để khôi phục lại tín hiệu tương tự xa t thì phổ của tín hiệu được khôi phục phải giống với phổ ban đầu của x a t.

Chương 3:

BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG

MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC

3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER

3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER

3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F

3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ

3.5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU

• Ký hiệu:

x(n) X(e j ) hay X(e j ) = FT{x(n)}

X(e j ) x(n) hay x(n) = FT -1 {X(e j )}

3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER

3.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI FOURIER:

Trong đó:  - tần số của tín hiệu rời rạc,  =  Ts

 - tần số của tín hiệu liên tục

T s - chu kỳ lấy mẫu

e

X(  ) ( ) 

• X() biểu diễn dưới dạng modun & argument:

• Nhận thấy X(ej) tuần hoàn với chu kỳ 2, thật vậy:

) ()

()

2

k

k dk

(

Ví dụ 3.1.1: : Tìm biến đổi F của các dãy:

1:

)()

1

1 :

) 1 (

e



je

1

e n

Ví dụ 3.1.2: : Xét sự tồn tại biến đổi F của các dãy:

( );

( )

( );

( 2 ) ( );

( 5 0 )

(

n

n

2 5

0 1

N n

X2(ej) không tồn tại

X3(ej) không tồn tại

3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER

a) Tuyến tính

) (

) ( n F X e j

) (

) (

) ( )

) ( n F X e j

Nếu:

Thì: x ( n  n0 )   F e-jn 0 X ( e j )

) 2 (

n n

) ( n F X e j

Nếu:

) (

* )

Áp dụng tính chất dịch theo thời gian:

d) Đảo biến số

) (

) ( n F X e j

) (

  ( ) )

( )

)

(

2 1 1

e

e

X

) / (

)

(

2 1 1

e) Vi phân trong miền tần số

1



 na u n a n

11

n

ae

e X n

u a n

x

) (

) (n F X e j

x  

)

n x n

j F

ae d

e

dX j

e G n

nx n

g

j

j

j j

) ( )

ae

e X n

u a n

x

) (

) (n F X e j

x  

] [

g) Tích 2 dãy

) (

2 1

2 1

2

1Thì:

) (

1 2

j

ae ae

e Y

) (

21

 

 F

g) Tổng chập 2 dãy

) (

)

) (

) (

) (

* )

( ) (

) (

(

* ) ( )

) ( 2 )

4 (

)

- gọi là phổ mật độ năng lượng

g) Quan hệ Parseval

) (

) (n F X e j

X n

x n

1

2

1Thì:

X n

) (

Với: ( j ) ( j ) 2

xx e X e

j j

C



21

 ( ) * ( )

2 1

x1( ) *2( )

3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER & Z

Hay biến đổi Fourier chính là

biến đổi Z được lấy trên vòng

tròn đơn vị theo biến số 

j X z e

X



 ( ) )

• Nếu ROC[X(z)] có chứa /z/=1

• Nếu ROC[X(z)] không chứa /z/=1

Ví dụ 3.3.1: : Tìm biến đổi Z & FT của các dãy:

Giải:

)(2)

(

2 n u n

5 0

; 5

0 1

1 )

)()5.0()

j

e

z X e

1 )

( )

1

2

; 2

1

1 )

Do ROC[X 2 (z)] không chứa /z/=1, nên X 2 (e j) không tồn tại

3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC

) (

) ( e j H e j e j 

Nếu H(e j) biểu diễn dạng môdun và pha:

) ( e j

H

) ( 



- Đáp ứng biên độ

- Đáp ứng pha

Ví dụ: 3.4.1: Tìm H(), vẽ đáp ứng biên độ & pha, biết:

Giải:

Biến đổi Fourier của h(n):

h(n)=rect 4 (n)

n j n

0

) (

)

( )

2 2

j

j j

j j

e e

e

e e

e e

) 2

) 2

) 2

( : 2

/ 3

0 )

( : 2 /

3 )

Với

Theo tính chất tổng chập: h 1 (n)*h 2 (n) F H1 (e j)H 2 (e j)

3.4.3 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm mũ phức

)(

)()

(

*)()

(

*)()

) ( )

m

Ae m

h n

(n u n h

1 1

1 2

) ( ) ( )

e

e H

n x



j

n j

3.4.4 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm cos,sin

A n

A n

2

)cos(

2

) (

) ( )

Xét tín hiệu vào có dạng hàm cos:

Biểu diễn đáp ứng tần số dưới dạng môđun & pha:

) ()

()

(e j H e j e j 

 ( )  ( ) cos  ( ) 

Re )

A n

2

)sin(

1 1

0 0

sin

cos)

H A

n e

H A e

H A n

y

j

j j

Ví dụ: 3.4.3: Tìm y(n) biết: h(n)=(0.5) n u(n)

1)

(

25

.01

1)





j e H

Tín hiệu vào chứa 3 thành phần tần số:  = 0, /2 và 

  = 0:





148 0

5 0 1

1 )

0 1

1 )

02

sin88.1720

)

y

3.5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HiỆU

3.5.1 Khái niệm lấy mẫu tín hiệu

Rời rạc hóa

 Quá trình lấy mẫu tín hiệu

 Quá trình biến đổi tín hiệu tương tự -> tín hiệu số

Tín hiệu tương tự

x a (t)

t 0

x a (nT s )

n

0 Ts 2Ts …

Tín hiệu rời rạc Tín hiệu được lấy mẫu

x s (t)

n

0 Ts 2Ts …

t 0

Chuỗi xung lấy mẫu

3.5.2 Quan hệ giữa tần số tín hiệu rời rạc và tương tự

Trong đó:  - tần số của tín hiệu rời rạc

 - tần số của tín hiệu tương tự

T s - chu kỳ lấy mẫu

3.5.3 Quan hệ giữa phổ tín hiệu rời rạc và

s s

) mF F

( X

F F

F X

f X

Ví dụ: 3.5.1: Hãy vẽ phổ biên độ

tín hiệu rời rạc, biết phổ biên độ

tín hiệu tương tự cho như hình

vẽ, với các tốc độ lấy mẫu:

a)F s >2F M b) F s =2F M c) F s <2F M

Trong đó: X(f) – phổ của tín hiệu rời rạc

X a (F) – phổ của tín hiệu tương tự

/X a (F)/

F 0

1

F 0

3.5.4 Định lý lấy mẫu

“Tín hiệu tương tự x a (t) có dải phổ hữu hạn (-F M ,F M ) chỉ

có thể khôi phục 1 cách chính xác từ các mẫu x a (nT s ) nếu tốc độ lấy mẫu thỏa F s ≥ 2F M ”

Ví dụ 3.5.2: Xác định tốc độ Nyquist của tín hiệu tương tự:

• Fs =2F M =F N: Tốc độ (tần số) Nyquist

t t

t t

x a( )  3 cos 2000   5 sin 6000   10 cos 12000 

t t

t t

xa( )  3 cos 2000   5 sin 6000   10 cos 12000 

Giải:

Tín hiệu có các tần số: F 1 =1 kHz, F 2 =3 kHz, F 3=6 kHz

F M =max{F 1 , F 2 , F 3 }=6 kHz  F N =2FM = 12 kHz

3.5.5 Khôi phục lại tín hiệu tương tự

• Để khôi phục lại tín hiệu tương tự xa (t) thì phổ của tín hiệu

được khôi phục phải giống với phổ ban đầu của x a (t).

• Vì phổ của tín hiệu lấy mẫu là sự lặp lại vô hạn của phổ tín hiệu tương tự, nên cần phải giới hạn lại bằng cách người ta

cho các mẫu x a (nT s ) đi qua mạch lọc thông thấp lý tưởng

trong điều kiện thỏa định lý lấy mẫu có đáp ứng tần số:

2

f2

f- : /

1)

(

s

s f

F f

ở các tần số khác

) (

] ) (

sin[

) (

) ( )

( )

(

s s

s s

lp s

a a

nT t

F

nT t

F nT

x t

h nT

x t

t

f df

e f H

d e

H t

h

s

s ft

j lp

t

j lp

( 2

1 )