Chương 3 - BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC pot

Ch Ch ương 3 ương 3 : : BI BI ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC 3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER 3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER 3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F 3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ 3.5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU • Ký hiệu: x(n) X(e jω ) hay X(e jω ) = FT{x(n)} X(e jω ) x(n) hay x(n) = FT -1 {X(e jω )} 3.1 BI 3.1 BI Ế Ế N N ĐỔI ĐỔI FOURIER FOURIER 3.1.1 3.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI FOURIER: FOURIER: →← F  →← −1 F Trong đó: ω - tần số của tín hiệu rời rạc, ω = Ω T s Ω - tần số của tín hiệu liên tục T s - chu kỳ lấy mẫu • Biến đổi Fourirer của x(n): ∑ ∞ −∞= − = n njj enxeX ωω )()( • X(ω) biểu diễn dưới dạng modun & argument: • Nhận thấy X(e jω ) tuần hoàn với chu kỳ 2π, thật vậy: )( )()( ωϕωω jjj eeXeX = Trong đó: )( ω j eX - phổ biên độ của x(n) )](arg[)( ω ωϕ j eX = - phổ pha của x(n) ∑ ∞ −∞= +−+ = n njj enxeX )2()2( )()( πωπω )()( ωω j n nj eXenx == ∑ ∞ −∞= − Áp dụng kết quả:    ≠ = = ∫ − 0 :0 0:2 k k dke jk π π π Biểu thức biến đổi F ngược: ∫ − = π π ωω ω π deeXnx njj )( 2 1 )( Ví dụ 3.1.1 Ví dụ 3.1.1 : : Tìm biến đổi F của các dãy: 1:)()( 1 <= anuanx n Gi Gi ải: ải: nj n nj enuaeX ωω − ∞ −∞= ∑ = )()( 1 ( ) ∑ ∞ = − = 0n n j ae ω ω j ae − − = 1 1 1:)1()( 2 >−−−= anuanx n nj n nj enuaeX ωω − ∞ −∞= ∑ −−−= )1()( 2 ( ) ∑ −∞ −= − − −= 1 1 n n j ea ω ( ) ∑ ∞ = − −= 1 1 m m j ea ω ( ) 1 0 1 +−= ∑ ∞ = − m m j ea ω ω j ea 1 1 1 1 − − −= ω j ae − − = 1 1 ∑ ∞ −∞= − = n njjω enxeX ω )()( 3.1.2 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER 3.1.2 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER ∑ ∞ −∞= − ≤ n nj enx ω )( ∑ ∞ −∞= = n nx )( Vậy, để X(ω) hội tụ thì điều kiện cần là: ∞< ∑ ∞ −∞=n nx )( • Các tín hiệu thỏa điều kiện hội tụ là tín hiệu năng lượng, thậy vậy: ∑ ∞ −∞= = n x nxE 2 )( 2 )(       ≤ ∑ ∞ −∞=n nx Nếu: ∞< ∑ ∞ −∞=n nx )( ∞<= ∑ ∞ −∞=n x nxE 2 )( Ví dụ 3.1.2 Ví dụ 3.1.2 : : Xét sự tồn tại biến đổi F của các dãy: Gi Gi ải: ải: ∑ ∞ −∞=n nx )( 1 )()( );()( );(2)( );(5.0)( 4321 nrectnxnunxnunxnunx N nn ==== ∑ ∞ −∞= = n n nu )()5.0( ∑ ∞ = = 0 )5.0( n n 2 5.01 1 = − = ∑ ∞ −∞=n nx )( 2 ∑ ∞ −∞= = n n nu )(2 ∞== ∑ ∞ =0 2 n n ∑ ∞ −∞=n nx )( 3 ∑ ∞ −∞= = n nu )( ∑ ∞ −∞=n nx )( 4 ∑ ∞ −∞= = n N nrect )( ∞== ∑ ∞ =0 )( n nu Nnrect N n N == ∑ − = 1 0 )( X 2 (e jω ) không tồn tại X 3 (e jω ) không tồn tại 3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER 3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER a) Tuyến tính )()( ω j F eXnx 11 →← )()()()( ωω jj F eXaeXanxanxa 22112211 +→←+ Nếu: Thì: )()( ω j F eXnx 22 →← b) Dịch theo thời gian )()( ω j F eXnx →← Nếu: Thì: )()( 0 n-j ω ω j F eXennx →←− 0 )2();( −nn δδ Ví dụ 3.2.1 Ví dụ 3.2.1 : : Tìm biến đổi F của dãy: Gi Gi ải ải : : 1==→←= ∑ ∞ −∞= − n njj F eneXnnx ωω δδ )()()()( c) Liên hiệp phức )()( ω j F eXnx →← Nếu: )(*)(* ω j F eXnx − →← Thì: Áp dụng tính chất dịch theo thời gian: ωωω δ 22 22 jjj F eeXenxn −− =→←−=− )()()( d) Đảo biến số )()( ω j F eXnx →← )()( ω j F eXnx − →←− Giải: Giải: Nếu: Thì: Ví dụ 3.2.2 Ví dụ 3.2.2 : : T T ì ì m bi m bi ến đổi F của dãy: ến đổi F của dãy: )(2)( nuny n −= )()( nunx n       = 2 1 ( ) )()()( nunxny n −=−= 2 Theo ví dụ 6.1.1, có kết quả: ω ω j j F e eX − − =→← )/( )( 211 1 ω ω j j F e eX )/( )( 211 1 − =→← − e) Vi phân trong miền tần số 1<= anunang n );()( 1 1 1 < − =→←= − a;)()()( ω ω j j F n ae eXnuanx )()( ω j F eXnx →← )( ω ω d )dX(e jnxn j F →← ( ) 1 1 2 < − ==→←= − − a ae ae d edX jeGnnxng j jj j F ; )( )()()( ω ωω ω ω ω Giải: Giải: Theo ví dụ 6.1.1: Nếu: Ví dụ 6.2.3 Ví dụ 6.2.3 : : T T ìm ìm biến đổi F của: Thì: [...]... xác 3. 5.2 Quan hệ giữa tần số tín hiệu rời rạc và tương tự xa ( t ) = A cos Ωt Lấy mẫu t = nTs xa ( nTs ) = A cos(nΩTs ) x(n) = xa ( nTs ) = A cos(nΩTs ) = A cos(ωn) ⇒ ω = ΩTs Trong đó: ω - tần số của tín hiệu rời rạc Ω - tần số của tín hiệu tương tự Ts - chu kỳ lấy mẫu 3. 5 .3 Quan hệ giữa phổ tín hiệu rời rạc và phổ tín hiệu tương tự +∞ F X ( f ) = X   = Fs ∑ X a ( F − mF s ) F  m = −∞  s Trong. .. x(n) H (e jω ) ∑ m = −∞ Ví dụ: 3. 4.2: Tìm y(n) biết: x( n) = 2e π j n 3 n 1 h( n) =   u ( n) 2 π   j n π  j n e 3 1  =2 y (n) = x( n) H (ω ) = 2e 3  π  1 − 1 e − jω  1 −j3  ω = π 1− e  2  2 3 3.4.4 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm cos,sin Xét tín hiệu vào có dạng hàm cos: ( A jω n x(n) = A cos(ω0 n) = e + e − jω n 2 0 0 ) Biểu diễn đáp ứng tần số dưới dạng môđun & pha: H (... − e − jω sin( 2ω ) − j3ω / 2 e − j 2ω ( e j 2 ω − e − j 2ω ) jω = e H (e ) = − jω / 2 jω / 2 − jω / 2 e (e −e ) sin(ω / 2) sin( 2ω ) H (e ) = sin(ω / 2) jω sin( 2ω )  − 3 / 2 : A(ω ) > 0 φ (ω ) =  Với A(ω ) = sin(ω / 2)  − 3 / 2 + π : A(ω ) < 0 4 - - /2 /H(ejω )/ π/2 0 π 3 /2 2π ω 2π ω argH(ejω ) 3 /4 - - /2 - /4 - /2 -3 /4 0 π/2 π 3 /2 3. 4.2 Đáp ứng tấn số của các hệ thống ghép nối a Ghép nối... X(f) – phổ của tín hiệu rời rạc Xa(F) – phổ của tín hiệu tương tự Ví dụ: 3. 5.1: Hãy vẽ phổ biên độ tín hiệu rời rạc, biết phổ biên độ tín hiệu tương tự cho như hình vẽ, với các tốc độ lấy mẫu: a)Fs>2FM b) Fs=2FM c) Fs2FM F 0 -FM -Fs FM Fs /X(F/Fs)/ Fs b) Fs=2FM F -Fs 0 -FM Fs FM Fs /X(F/Fs)/ c) Fs tín hiệu số xa(t) Rời rạc hóa x(n) Lượng xq(n) Mã hóa tử hóa  Quá trình lấy mẫu tín hiệu xa(t) X sa(t) xs(t) Chuyển xung -> mẫu xa(nTs) = x(n) xd(n) xa(t) sa ( t ) = ∞ ∑ δ ( t − nTs ) n = −∞ t 0 t 0 Tín hiệu tương tự Ts 2Ts … Chuỗi xung lấy mẫu xs(t) xa(nTs) n 0 Ts 2Ts … Tín hiệu được lấy mẫu n 0 Ts 2Ts … Tín hiệu rời rạc Tốc độ lấy mẫu càng lớn -> khôi phục tín hiệu càng... cos12000πt 3. 5.4 Định lý lấy mẫu Tín hiệu tương tự xa(t) có dải phổ hữu hạn (-FM ,FM) chỉ có thể khôi phục 1 cách chính xác từ các mẫu xa(nTs) nếu tốc độ lấy mẫu thỏa Fs ≥ 2FM” • Fs =2FM=FN: Tốc độ (tần số) Nyquist Ví dụ 3. 5.2: Xác định tốc độ Nyquist của tín hiệu tương tự: xa (t ) = 3 cos 2000πt + 5 sin 6000πt + 10 cos12000πt Giải: Tín hiệu có các tần số: F1=1 kHz, F2 =3 kHz, F3=6 kHz FM=max{F1, F2, F3}=6... Re(z) Ví dụ 3. 3.1: Tìm biến đổi Z & FT của các dãy: x1 (n) = (0.5) n u (n) x2 ( n ) = 2 n u ( n ) Giải: 1 X1( z) = ; z > 0.5 −1 1 − 0.5 z Do ROC[X1(z)] có chứa /z/=1, nên: jω X 1 (e ) = X 1 ( z ) z = e jω 1 = 1 − 0.5e − jω 1 X 2 ( z) = ;z >2 −1 1 − 2z Do ROC[X2(z)] không chứa /z/=1, nên X2(ejω ) không tồn tại 3. 4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ 3. 4.1 Định nghĩa đáp ứng tần số Miền n:... ≡ x(n)  Miền n: Theo tính chất tổng chập: h1(n)*h2(n) X(ejω ) H1(ejω )H2(ejω ) H2(ejω ) Y(ejω ) ≡  Miền ω : H1(ejω ) F y(n) X(ejω ) H(ejω )=H1(ejω )H2(ejω ) Y(ejω ) b Ghép song song x(n) h2(n) + y(n) ≡  Miền n: h1(n) x(n) X(ejω ) H1(ejω ) H2(ejω ) + y(n) Y(ejω ) ≡  Miền ω: h1(n)+h2(n) X(ejω ) H1(ejω )+H2(ejω ) Y(ejω ) 3. 4 .3 Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm mũ phức Xét tín hiệu vào có dạng... = 12 kHz 3. 5.5 Khôi phục lại tín hiệu tương tự • Để khôi phục lại tín hiệu tương tự xa(t) thì phổ của tín hiệu được khôi phục phải giống với phổ ban đầu của xa(t) • Vì phổ của tín hiệu lấy mẫu là sự lặp lại vô hạn của phổ tín hiệu tương tự, nên cần phải giới hạn lại bằng cách người ta cho các mẫu xa(nTs) đi qua mạch lọc thông thấp lý tưởng trong điều kiện thỏa định lý lấy mẫu có đáp ứng tần số: fs fs . 3 ương 3 : : BI BI ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG ỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC 3. 1 BIẾN ĐỔI FOURIER 3. 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER 3. 3. không tồn tại 3. 4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC 3. 4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ TRONG MIỀN TẦN SỐ 3. 4.1 Định nghĩa đáp ứng tần số h(n)x(n) y(n)=x(n)*h(n )Miền n: Miền ω: H(e jω )X(e jω ). FOURIER 3. 3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F 3. 4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ 3. 5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU • Ký hiệu: x(n) X(e jω ) hay X(e jω ) = FT{x(n)} X(e jω ) x(n) hay x(n) = FT -1 {X(e jω )}