Đang tải... (xem toàn văn)
Trong ch¬ng tr×nh to¸n phæ th«ng chóng ta gÆp rÊt nhiÒu d¹ng to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh. §èi víi mçi d¹ng l¹i cã nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c nhau. Vµ th«ng thêng ta hay chän c¸ch gi¶i chÝnh x¸c vµ ng¾n gän nhÊt. Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô thêng dÉn ®Õn thµnh c«ng víi hiÖu qu¶ gi¶i to¸n cao. Song viÖc chän Èn phô nh thÕ nµo ®Ó bµi to¸n trë nªn ®¬n gi¶n h¬n lµ vÊn ®Ò khã kh¨n. Trong ph¹m vi ®Ò tµi nµy t«i muèn ®Ò cËp tíi viÖc Sö dông ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô trong gi¶i ph¬ng tr×nh chøa hai phÐp to¸n ngîc nhau trªn c¬ së dùa vµo tÝnh chÊt cña c¸c hµm sè ngîc ®Ó ®a viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh vÒ gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng hai Èn kiÓu II.
Sáng kiến kinh nghiệm - Triệu Sơn GV: Ngô Thị Xuân I.- Lý chọn đề tài : Trong chơng trình toán phổ thông gặp nhiều dạng toán giải phơng trình Đối với dạng lại có nhiều cách giải khác Và thông thờng ta hay chọn cách giải xác ngắn gọn Phơng pháp đặt ẩn phụ thờng dẫn đến thành công với hiệu giải toán cao Song việc chọn ẩn phụ nh để toán trở nên đơn giản vấn đề khó khăn Trong phạm vi đề tài muốn đề cập tới việc "Sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ giải phơng trình chứa hai phép toán ngợc nhau" sở dựa vào tính chất hàm số ngợc để đa việc giải phơng trình giải hệ phơng trình đối xứng hai ẩn kiểu II II.- Mục đích yêu cầu : - Làm cho học sinh nắm vững tính chất hai hàm số ngợc khảo sát biến thiên hàm số - Trên sở củng cố cách giải hệ phơng trình đối xứng hai ẩn kiểu II - Rèn luyện khả t logic III.- Phơng pháp nghiên cứu : Tài liệu tham khảo : - Phơng pháp giải toán mũ logarit - Lê Hồng Đức - Tạp chí toán học tuổi trẻ từ 2000 - 2005 - Sách : Phơng trình hệ phơng trình Phạm Thành Luân - Đề thi tuyển sinh Đại học năm 1996 Thực tế giảng dạy trờng phổ thông Từ yếu tố đà giúp hoàn thành đề tài với hy vọng làm phong phú thêm môn đại số sơ cấp góp phần nhỏ bé vào công tác giảng dạy trờng phổ thông Trang Sáng kiến kinh nghiệm - Triệu Sơn GV: Ngô Thị Xuân IV.- Nội dung : phần muốn giới thiệu dạng phơng trình chứa hai phép toán ngợc phơng pháp giải toán tổng quát cho dạng Sau tập áp dụng Dạng : Phơng trình chứa bậc hai luỹ thừa bậc hai Bài toán tổng qu¸t : a1 x + b1 = c( a x + b2 ) + dx + e Gi¶i phơng trình : (I) Với : a1 , a , c ≠ vµ a = a1c + d b2 = b1c + e §iỊu kiƯn : a1 x + b1 Giải : Đặt : a1 x + b1 = a y + b2 Víi ®iỊu kiƯn : a y + b2 ≥ ta đợc a1 x + b1 = ( a y + b2 ) (1) Khi ®ã (I) cã d¹ng : c( a x + b2 ) = a y − dx + b2 − e Tõ (1) ta cã : c( a x + b2 ) = a1cx + b1c c( a x + b2 ) = a y + ( ca1 − a ) x + b1 c Ta có hệ phơng trình : c( a y + b2 ) = a1 cx + b1 c (2) (3) Lấy (2) - (3) ta đợc : ( x − y )( a cx + a cy + 2b2 c + 1) = x = y ⇔ a cx + a cy + 2b2 c + = Trêng hỵp : x = y thay vào (1) ta đợc : ( a x + b2 ) = a1 x + b1 Đây phơng trình bậc hai ®èi víi x Trêng hỵp : a cx + a cy + 2b2 c + = kết hợp với (1) => Giải hệ phơng trình tìm x, y Bài tập : Bài : Giải phơng trình : Giải : (4) x + 15 = 32 x + 32 x − 20 §iỊu kiƯn : x + 15 ≥ ⇔ x ≥ − 15 Ta cã : (4) ⇔ x + 15 = 2(4 x + 2) − 28 (5) x + 15 = y + (6) Đặt : Trang Sáng kiến kinh nghiệm - Triệu Sơn GV: Ngô Thị Xuân Với ®iỊu kiƯn : y + ≥ ⇔ y ≥ − ta cã : (6) ⇔ x + 15 = (4 y + 2) Khi đó, ta có hệ phơng trình : (4 x + 2) = y + 15 (4 y + 2) = x + 15 (7 ) (8) Lấy (7) - (8) ta đợc : (x - y)(8x + 8y + 9) = * Trêng hợp : x = y thay vào (8) ta ®ỵc : 16x2 + 14x - 11 = x = ⇔ x = − 11 (loại) * Trờng hợp : x + y + = ⇔ y = − 8x − thay vµo (8) ta cã : − + 221 x = 16 64x2 + 72x - 35 = ⇔ − − 221 x = 16 VËy phơng trình có hai nghiệm : x = (loại ®iỊu kiƯn cđa y) − − 221 vµ x = 16 Bài : Giải phơng trình : x = − x + (9) §iỊu kiƯn : − x ≥ ⇔ x Giải : Khi : (9) − x = x2 − ⇔ − x = ( x) Đặt : x = −y (10) Víi ®iỊu kiƯn y ≤ th× (10) ⇔ − x = y x − = − y Ta cã hÖ phơng trình : y = x Lấy (11) - (12), ta đợc : (x - y)(x + y - 1) = * Trêng hợp : x = y thay vào (11) ta đợc : Trang (11) (12) Sáng kiến kinh nghiệm - Triệu Sơn GV: Ngô Thị Xuân x +x-2=0 (lo¹i) x = ⇔ x = −2 * Trêng hỵp : x + y - = ⇔ y = - x Thay vµo (11) ta cã : x2 - x - = 1+ x = ⇔ 1− x = (loại) Vậy phơng trình có hai nghiƯm : x = - vµ x = 1+ Bài : Giải phơng trình : tg x − 2tgx − = tgx + (13) Đặt tgx = X Giải : (13) X + = X − X − ⇔ X + = ( X − 1) − §iỊu kiƯn : X + ≥ X Đặt X + = Y − víi ®iỊu kiƯn Y ≥ ta cã : X + = (Y − 1) Khi ®ã ta cã hƯ : ( X − 1) = Y + (Y − 1) = X + (14) (15) LÊy (14) - (15), ta đợc : ( X Y )( X + Y − 1) = * Trêng hỵp : Với X = Y, thay vào (14) ta đợc : X − 3X − = + 17 X = ⇔ − 17 X = (loại) * Trờng hợp : Víi X + Y − = ⇔ Y = − X thay vµo (14), ta cã : X − X −3= Trang S¸ng kiÕn kinh nghiệm - Triệu Sơn GV: Ngô Thị Xuân (lo¹i) + 13 X = ⇔ − 13 X = * Víi X = + 17 + 17 ta cã : tgx = 2 ⇔ x = α + kΠ * Víi X = (k ∈ Z ) víi + 17 = tgα víi − 13 = tgβ − 13 − 13 ta cã : tgx = 2 ⇔ x = β + k' (k ' Z ) Vậy phơng trình có hä nghiÖm : x = α + kΠ , k ∈ Z vµ tgα = + 17 x = β + k ' Π , k '∈ Z vµ tgβ = + 13 Bµi : Giải phơng trình : 2 x x + = Giải : (16) Đặt : x = u > Khi ®ã : (16) ⇔ u = u + Đặt u+6 =v ≥0 Khi ®ã : u + = v u = v + Ta cã hÖ phơng trình : v = u + (17) (18) u = v u + v + = Lấy (17) - (18) ta đợc : ( u − v ) (u + v + 1) = ⇔ u = u = −2 (lo¹i) + Với u = v ta đợc : u − u − = ⇔ Víi u = ⇔ x = ⇔ x = log + Víi u + v + = ta đợc phơng trình : u + u − = Trang S¸ng kiÕn kinh nghiệm - Triệu Sơn GV: Ngô Thị Xuân − + 21 u = ⇔ − − 21 u = Víi u = 21 − ⇔ 2x = (lo¹i) 21 − ⇔ x = log 2 21 − 21 Vậy phơng trình có hai nghiƯm : x = log vµ x = log 2 Bài : Giải phơng trình : log 32 x − log x = log x + Giải : (19) Đặt log x = U Khi (19) có dạng : U − 2U = U + (U − 1) − = U + §iỊu kiƯn : U Đặt : U + = V − víi V ≥ Khi ®ã : U + = (V − 1) (V − 1) = U + Ta có hệ phơng trình : (U − 1) = V + (20) (21) Lấy (20) - (21) ta đợc : (U − V )(U + V − 1) = U = V ⇔ U + V − = U = (lo¹i) + Víi U = V ta cã : U2 - 3U = ⇔ U = Víi U = ⇔ log x = ⇔ x = 27 + Víi U + V = , ta đợc phơng trình : U −U −1 = 1+ U = ⇔ 1− U = (lo¹i) 1− ⇔ log3 x = ⇔ x=3 Vậy phơng trình đà cho có hai nghiƯm : x = 27 vµ x = Trang 1− S¸ng kiÕn kinh nghiƯm - Triệu Sơn GV: Ngô Thị Xuân Các tËp tù gi¶i : 1) x − x − 1000 + 8000 x = 1000 2) x + x + = 3) − x + 13x − = 3x + 4) x + + x = 5) log 22 x + log x + = 6) x + x + + = 12 x Dạng : Phơng trình chứa bậc ba luỹ thừa bậc ba Bài toán tổng quát : Giải phơng trình : a1 x + b1 = c(a x + b2 ) + dx + e (II) Víi a1 , a , c ≠ vµ a = a1c + d ; Giải : Đặt b2 = b1c + e a1 x + b1 = a y + b2 ⇔ a1 x + b1 = (a y + b2 ) (*) Ta cã (II) ⇔ c(a y + b2 ) = a y − dx + b2 − e c( a x + b2 ) = a y − dx + b2 e Ta có hệ phơng trình : c( a y + b2 ) = a1cx + b1c Lấy (1) - (2) ta đợc : (1) (2) ( x − y ) ( cA + cAB + cB + 1) = ⇔ x = y hc cA2 + cAB + cB + = Víi A = ( a x + b2 ) ; B = a y + b2 Trêng hỵp : x = y thay vào (*) ta đợc phơng trình bậc : ( a x + b2 ) = a1 x + b1 Trêng hỵp : c( A + AB + B ) + = B NhËn xÐt : A + AB + B = ( A + ) + NÕu (3) 3B c > (3) vô nghiệm c < giải hệ (*) (3) Bài tập : Bài : Giải phơng trình : Trang Sáng kiến kinh nghiệm - Triệu Sơn GV: Ngô Thị Xuân 23 x + = x Giải : Đặt 2x + = y ⇔ y = 2x + x = y + y = x + Ta cã hÖ phơng trình : (4) (5) Lấy (4) - (5) ta đợc : ( x y ) ( x + xy + y + 2) = x=y Thay vào (4) ta đợc : x x − = x = −1 ⇔ x − x −1 = x = −1 ⇔ x = ± Xét lớp phơng trình dạng : a af ( x) + b = [ f ( x )] − b Bài : Giải phơng trình : 81x − = x − x + x−2 (5) Gi¶i : (5) ⇔ 81x − = ( x − ) 81x = Đặt : 46 27 46 (3 x − 2) − 27 27 81x − = y − ⇔ ( y − ) = 81x − (6) ⇔ 1 (3 y − 2) = (81x − 8) 27 27 ⇔ (3 y − 2) = x − 27 27 Ta có hệ phơng trình : Trang Sáng kiến kinh nghiệm - Triệu Sơn GV: Ngô Thị Xuân 27 (3x 2) = y − 27 (3 y − 2) = 3x − 27 27 (7 ) (8) Lấy (7) - (8) ta đợc : ( x − y ) [( 3x − 2) + (3x − 2)(3 y − 2) + (3 y − 2) ] + 3 = 27 ⇔x= y (3x − 2) = 81x Thay vào (6) ta đợc : x − 18 x − 23 x = x = ⇔ 9 x − 18 x − 23 = x = ⇔ x = ± VËy ph¬ng trình đà cho có nghiệm : 0; Bài : Giải phơng trình : (8 cos x + 1) = 162 cos x 27 Giải : Đặt : cos x = X ; §iỊu kiƯn : | X |≤ Ta có phơng trình : ( X + 1) = 81x 27 (9) Đặt : X + = 3Y Thay vào (9) ta đợc : Y = X − X + = 3Y Ta có hệ phơng trình : Y + = X LÊy (10) - (11) ta đợc : ( X Y )( X + XY + Y + 1) = X =Y Thay vào (10) ta đợc : X − X + = Thay X = cos x ta đợc : cos x − cos x = −1 ⇔ 2( cos x − cos x) = −1 Trang (10) (11) Sáng kiến kinh nghiệm - Triệu Sơn GV: Ngô Thị Xuân cos x = −1 ⇔ cos x = − ⇔ 3x = ± ⇔x=± XÐt líp d¹ng : [[ f ] + 1] 3 2Π + k 2Π , 2Π k 2Π + k∈Z k ∈Z = 81 f ( x ) − ( x) Bài : Giải phơng trình : x − = (2 x − 3) + Giải : Đặt : x = X , Ta có phơng trình : Đặt : 3 X >0 X − = ( X − 3) + X −9 =Y −3 ⇔ X − = (Y − 3) ( X − 3) = Y Ta có hệ phơng trình : (Y − 3) = X − (12) (13) Lấy (11) - (12) ta đợc : [ ] ( X − Y ) ( X − 3) + ( X − 3)(Y − 3) + (Y − 3) + = ⇔ X =Y Thay vào (12) ta đợc : X X + 27 X − 18 = X = ⇔ X − X + 18 = X =1 ⇔ X = X = Víi (tho¶m·n) X = ⇒ 2x = ⇔ x = X = ⇒ x = ⇔ x = log X = ⇒ x = ⇔ x = log 3 Bài tập tự giải : 1) x + = 33 x − 2) x + = 23 x − Trang 10 S¸ng kiÕn kinh nghiƯm - TriƯu Sơn GV: Ngô Thị Xuân 3) 3x = x − 36 x + 53x − 25 4) x − x + x − 163 x − = Những khó khăn mà học sinh thờng gặp vấn ®Ị chän sè a 2, b2 tho¶ m·n ®iỊu kiƯn : a = a 1c + d b2 = b1c + e Dạng : Phơng trình dạng : f(f(x))= x (III) 1.- Bài toán tổng quát : Giải phơng trình f(f(x))= x Với f (x) hàm số đồng biến D x R Giải : Đặt f ( x) = y Ta cã : f ( y) = x Do y = f (x) lµ hµm số đồng biến D x nên f ( y ) = x hàm số đồng biến D y ⊂ R f ( x) = y f ( y) = x (1) (2) Ta cã hệ phơng trình : Giả sử D = Dx = Dy từ (1) (2) y − x = f ( x) − f ( y ) ⇔ f ( x) + x = f ( y) + y (3) Do f (x) lµ hµm sè ®ång biÕn ⇒ f ( x) + x lµ hµm số đồng biến Nên từ (3) x = y Thay vµo (1), ta cã : f ( x) = x XÐt hµm sè : g ( x) = f ( x) x Sử dụng định lý Rôn : Nếu g (x) lồi lõm D phơng tr×nh g ( x) = nÕu cã nghiƯm th× có không hai nghiệm D Giải phơng tr×nh t×m nghiƯm cđa g ( x) = (ChØ cần nghiệm thoả mÃn g ( x) = ) Bµi tËp : Bµi : Giải phơng trình : log [ log (3x − 1) − 1] = x Trang 11 (4) Sáng kiến kinh nghiệm - Triệu Sơn GV: Ngô Thị Xuân Giải : Điều kiện : x > x > Đặt log (3 x − 1) = y ⇔ y = x − Khi ®ã (4) ⇔ log (3 y − 1) = x ⇔ x = 3y −1 2 x = y − Ta có hệ phơng trình : y = x − (5) (6) LÊy (5) - (6) ta đợc : x + x = y + y (7 ) Đặt : f (t ) = t + 3t Ta cã : f ' (t ) = t ln + > , ∀t ∈ R ⇒ f (t ) hàm số đồng biến Khi đó, từ (7) ta cã : x = y Thay vµo (5), ta cã : x = 3x − ⇔ x − 3x + = 1 3 §Ỉt g ( x) = x − x + trªn D = ,+∞ g ' ( x) = x ln − g ' ' ( x) = x ln 2 > , 1 ∀x ∈ ,+∞ g (x) lõm D Theo định lý Rôn : Phơng trình g ( x) = có nghiệm có không nghiệm NhËn thÊy : g(3) = g(1) = ⇒ ph¬ng tr×nh : x − x + = có nghiệm Vậy phơng trình đà cho có nghiệm Bài : Giải phơng trình : với x [ − 1;1] sin(sin x ) = x Gi¶i : §Ỉt sin x = y y ∈ [ − 1;1] ; sin x = y sin y = x Ta có hệ phơng trình : Trang 12 (8) (9) Sáng kiến kinh nghiệm - Triệu Sơn GV: Ngô Thị Xuân Lấy (8) - (9) ta đợc : sin x + x = sin y + y (10) Đặt g (t ) = sin t + t ∀t ∈ [ − 1;1] Ta cã : g ' (t ) = cos t + ≥ , ⇒ g ( t ) ) hàm số đồng biến [ 1;1] Nên phơng trình (10) x = y sin x = x Thay vào phép đặt ta có : Đặt : f ( x) = sin x − x Ta cã : f ' ( x) = cos x − ≤ , ∀x ∈ R f (x) hàm số nghịch biến [ − 1;1] Vµ f ( x) = ⇔ cos x = ⇔ x = x ∈ [ 1;1] Bảng biến thiên hàm số f ( x) = sin x − x x f'(x) f(x) -1 0 - - Vậy phơng trình f ( x) = cã nghiÖm x = Kết luận : Phơng trình đà cho có nghiệm x = Bài : Giải phơng trình : (x ) ( ) + 3x − + x + 3x − = x + Giải : Đặt : x + x − = y x + x = y Ta có hệ phơng trình : y + y − = x (11) (12) Lấy (11) - (12) ta đợc : ( x − y )( x + y + 4) = x = y ⇔ x + y + = Trêng hỵp : Víi x = y (11) có dạng : x + x − = x = −1 − ⇔ x = −1 + Trêng hỵp : Víi x + y + = ⇔ y = −4 − x Trang 13 S¸ng kiÕn kinh nghiệm - Triệu Sơn GV: Ngô Thị Xuân Khi (11) có dạng : x + 4x = x = ⇔ x = −4 Vậy phơng trình có nghiệm : ; − 1− ; 0; 1+ Bµi : Giải biện luận phơng trình : f ( f ( x)) = x Víi f ( x) = x + x + m Giải : Đặt : f ( x) = y Ta cã hÖ : x + x + m = y y + y + m = x (13) (14) LÊy (13) - (14) ta cã : ( x − y )( x + y + 3) = Trờng hợp : Với x = y (14) cã d¹ng : (15) x2 + x + m = ∆ = 1− 4m + m> th× (15) vô nghiệm + m= 1 (15) có nghiÖm kÐp x = − + m< − ± − 4m th× (15) cã nghiƯm ph©n biƯt : x1, = Trêng hỵp : Víi x + y + = ⇔ y = − x − th× (13) cã d¹ng : (16) x + 3x + m + = ∆ = −3 − m + m> (16) vô nghiệm + m= 3 th× (16) cã nghiƯm kÐp : x = − + x1, = m phơng trình đà cho vô nghiệm Trang 14 biệt : Sáng kiến kinh nghiệm - Triệu Sơn GV: Ngô Thị Xuân + m= 1 phơng trình ®· cho cã nghiÖm kÐp x = − + m= 3 phơng trình đà cho có nghiệm kÐp x = − 4 4 + m ∈ (−∞ ;− ) ∪ (− ; ) : Phơng trình có nghiệm phân biệt Bài tập tự giải : 1) cos(cos x) = x víi x ∈ [ − 1;1] 2) f ( f ( x)) = x víi f ( x) = x + x + vµ x ≥ 3) Cho phơng trình : ( ) ( ) a ax + bx + c + b ax + bx + c + c = x Tìm điều kiện a, b, c để phơng trình vô nghiệm Dạng : Phơng trình mũ logarit Bài toán tổng quát : Giải phơng trình : S a1x +b1 = c log S (a x + b2 ) + dx + e Víi a1 , a ≠ ; Gi¶i : (IV) a = a1c + d ; b2 = b1c + e < S ≠ 1; §iỊu kiƯn : a x + b2 > log S (a x + b2 ) = a1 y + b1 Đặt : ⇔ S a1 y +b1 = a x + b2 S a1 y +b1 = a x + b2 Ta có hệ phơng trình : a1x +b1 S = a1cy + ( a − a1c) x + b2 (1) (2) LÊy (1) - (2) ta ®ỵc : S a1x +b1 + a1cx = S a1 y +b1 + a1cy (3) XÐt hµm sè : f (t ) = S a t +b + a1ct trªn D 1 Nếu f (t ) đơn điệu D th× tõ (3) suy : x = y Thay vµo (1) ta cã : S a x +b = a x + b2 1 Đặt : g ( x) = S a x +b − a x − b2 1 Cã thĨ sư dơng bất đẳng thức Becnuli định lý Rôn để giải phơng trình g ( x) = Bài tập : Trang 15 Sáng kiến kinh nghiệm - Triệu Sơn GV: Ngô Thị Xuân Bài : Giải phơng tr×nh : x = + x + log (1 + x ) Giải : Điều kiện : + x ≥ ⇔ x > Đặt : log (1 + x) = y ⇔ + x = y 3 y = x + Ta cã hệ phơng trình : x = y + x + (5) (6) LÊy (5) - (6) ta ®ỵc : 3x + x = y + y (7) Đặt : g (t ) = 3t + t Ta cã : g ' (t ) = 3t ln + > 0, ∀t ⇒ g ( t ) ) đồng biến R Vậy (7) x = y Thay vào (5) ta đợc : x = x + XÐt hµm sè : g ( x ) = x − x − trªn − ,+∞ Ta cã : g ' ( x ) = x ln − g ' ' ( x) = x ln > , ∀x ∈ − ,+∞ ⇒ g (x) lõm ,+ Theo định lý Rôn : Phơng trình g ( x) = có nghiệm có không nghiÖm NhËn thÊy : g (0) = g (1) = Vậy phơng trình có nghiệm : x = x = Bài : Giải phơng tr×nh : x −1 = + log (6 x 5) Giải : Điều kiện : x − > ⇔ x > (8) (8) ⇔ x −1 = + log (6 x − 5) (9) Trang 16 Sáng kiến kinh nghiệm - Triệu Sơn GV: Ngô Thị Xuân Đặt : log (6 x 5) = y − ⇔ x − = y −1 Khi ®ã (9) ⇔ x −1 = + 6( y − 1) = y − 7 x −1 = y − Ta có hệ phơng trình : y 7 = x − (10) (11) LÊy (10) - (11) ta đợc : x + 6( x − 1) = y −1 + 6( y − 1) (12) XÐt hµm sè : g (t ) = t + 6t Ta cã : g ' (t ) = t ln + > , t g (t ) đồng biến nên (12) x = y Thay vào (10) ta có phơng trình : x = x − 5 6 XÐt hµm sè : f ( x) = x −1 − x + trªn ,+∞ Ta cã : f ' ( x) = x −1 ln − f ' ' ( x) = x −1 ln > , ∀x ∈ ( ,+) f (x) lõm D Theo định lý Rôn : Phơng trình f ( x) = có nghiệm có không nghiệm NhËn thÊy : f (1) = f (2) = Vậy phơng trình đà cho có nghiệm : x = x = Bài : Giải phơng trình : ln(sin x + 1) = e sin x (13) Giải : Điều kiện : sin x Đặt : sin x = t , ®iỊu kiƯn : | t |≤ Khi ®ã, (13) cã d¹ng : ln(t + 1) = e t − Đặt : ln(t + 1) = y t + = e y e t − = y Ta có hệ phơng trình : y e = t Lấy (14) - (15) ta đợc : Trang 17 (14) (15) S¸ng kiÕn kinh nghiƯm - Triệu Sơn GV: Ngô Thị Xuân et + t = e y + y (16) Đặt : g ( s ) = e S + s Ta cã : g ( s ) = e S + > , ∀s ∈ R ⇒ g (s ) lµ hàm số đồng biến nên (16) x = y Thay vào (14) ta đợc : e t = t + Xét phơng trình : f (t ) = e t − t − trªn [ − 1;1] Ta cã : f ' (t ) = e t − f ' ' (t ) = ⇔ e t − = ⇔ t = Bảng biến thiên : t f'(t) -1 0 - f(t) + Từ bảng biến thiên ta thấy phơng trình f ( x) = có nghiệm x = Vậy phơng trình đà cho có nghiệm : x = Bài tập tự giải : 1) x = + x + log ( x + 1) 2) 2 sin x + sin Π = cos x + log 4 cos x − cos x − ( ) 3) ln[ f ( x) + 1] = e f ( x ) − a) Víi : f ( x) = log x b) Víi : f ( x) = cos x V.- KÕt luËn : XuÊt ph¸t từ thực tế giảng dạy, nhận thấy giải phơng trình có chứa hàm số ngợc học sinh thờng gặp nhiều khó khăn Sau nghiên cứu tính chất hàm số ngợc thấy có nhiều thú vị vận dụng phơng pháp đặt ẩn phụ để đa phơng trình hệ phơng trình đối xứng, đà viết đề tài với mong muốn giúp học sinh tìm phơng pháp giải tối u Trang 18 Sáng kiến kinh nghiệm - Triệu Sơn GV: Ngô Thị Xuân Mặc dù cố gắng nhng không tránh khỏi thiếu xót Rất mong góp ý bạn đọc bạn đồng nghiệp Rất mong đồng nghiệp tiếp tục nghiên cứu để làm phong phú đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn ! Triệu Sơn, ngày 10 tháng năm 2006 Giáo viên thực Ngô Xuân Trang 19 ... − ( x) Bài : Giải phơng trình : x − = (2 x − 3) + Giải : Đặt : x = X , Ta có phơng trình : Đặt : 3 X >0 X − = ( X − 3) + X −9 =Y −3 ⇔ X − = (Y − 3) ( X − 3) = Y Ta có hệ phơng trình : (Y... phơng trình f ( x) = cã nghiÖm x = Kết luận : Phơng trình đà cho có nghiệm x = Bài : Giải phơng trình : (x ) ( ) + 3x − + x + 3x − = x + Giải : Đặt : x + x − = y x + x = y Ta có hệ phơng trình. .. thấy giải phơng trình có chứa hàm số ngợc học sinh thờng gặp nhiều khó khăn Sau nghiên cứu tính chất hàm số ngợc thấy có nhiều thú vị vận dụng phơng pháp đặt ẩn phụ để đa phơng trình hệ phơng trình