SKKN các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó và rộng của bộ môn Toán nhưng nhờ các bài tập về bất đẳng thức mà học sinh có thể hiểu kĩ hơn, sâu hơn về giải và biện luận phương trình, bất phương trình; Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức, về mối liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác và trong quá trình giải toán khả năng tư duy sáng tạo của người học được phát triển mạnh. Thực tế khi giải các bài tập về bất đẳng thức học sinh thường gặp nhiều khó khăn vì cách giải chúng không hoàn toàn có một mẫu quy tắc nào như ở một số mảng kiến thức khác.

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS TRẦN *****    ***** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Giáo viên: Tổ:Tốn,lí,hóa,sinh,cơng nghệ,tin NĂM HỌC MỤC LỤC I/ ĐẶT VẤN ĐỀ (Lý chọn đề tài) trang II/GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ (Nội dung sáng kiến kinh nghiệm) trang 1)Cơ sở lý luận vấn đề trang 2)Thực trạng vấn đề trang 3)Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề trang 4)Hiệu sáng kiến kinh nghiệm .trang 19 III/KẾT LUẬN trang 20 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC *****    ***** I ĐẶT VẤN ĐỀ : (Lý chọn đề tài) -Để rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải tốn cho học sinh ngồi việc trang bị cho học sinh kiến thức bản, người thầy giáo cần giúp em tổng hợp phân loại phương pháp giải dạng thường gặp để em dễ nhớ, dễ vận dụng - Bất đẳng thức mảng kiến thức khó rộng mơn Toán nhờ tập bất đẳng thức mà học sinh hiểu kĩ hơn, sâu giải biện luận phương trình, bất phương trình; Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức, mối liên hệ yếu tố tam giác q trình giải tốn khả tư sáng tạo người học phát triển mạnh Thực tế giải tập bất đẳng thức học sinh thường gặp nhiều khó khăn cách giải chúng khơng hồn tồn có mẫu quy tắc số mảng kiến thức khác -Qua nhiều năm giảng dạy tốn trường phổ thơng, người thầy, thường trăn trở suy nghĩ, thu thập tài liệu, cố gắng xếp hợp lý số phương pháp tập chứng minh bất đẳng thức với mong muốn giúp học sinh tự tin đứng trước số toán bất đẳng thức cụ thể toán chứng minh bất đẳng thức - Phạm vi giới hạn viết Khn khổ viết có hạn nên tơi muốn tổng hợp phân loại phương pháp chứng minh bất đẳng thức ví dụ áp dụng dành cho học sinh THCS đặc biệt học sinh giỏi lớp 8; II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: (Nội dung sáng kiến kinh nghiệm) 1)Cơ sở lý luận vấn đề: - Vận dụng tốt phương pháp phù hợp để giải bất đẳng thức, Học Sinh tiết kiệm thời gian, giải gọn - Bất đẳng thức kiến thức khó khơng thể thiếu vốn kiến thức Học Sinh phổ thông, học sinh giỏi -Khi vận dụng phương pháp phù hợp , Học Sinh biến đổi nhanh gọn bất ngờ, đầy hứng thú, kích thích phát triển tinh thần say mê , thích thú học tốn 2)Thực trạng vấn đề: - Học Sinh thường gặp tốn bất đẳng thức mà khơng biết phải sử dụng phương pháp để chứng minh nên lúng túng biến đổi,tính tốn - Để có sở vận dụng tốt phương pháp chứng minh bất đẳng thức em cần nắm vững kiến thức bất đẳng thức.Nếu khơng dễ bị dẫn đến khó khăn ,bế tắc * Kiến thức cần nắm vững: A Định nghĩa bất đẳng thức: Với hai số a, b ta nói a ≥ b ⇔ a -b ≥ a ≤ b ⇔ a -b ≤ B Tính chất: a > b ; b >c ⇒ a > c a >b ⇒ a + c > b + c a > b ; c > ⇒ ac > bc a > b ; c < ⇒ ac < bc a > b ; c > d ⇒ a + c > b + d a>b;c bd a > b > ; < c < d⇒ a b > c d a > b > ⇒ an > bn a > b ⇔ an > bn (n lẻ) a 〉 b ⇔ an > bn ( n chẵn ) Nếu m > n >0 a >1 ⇒ am > an a =1 ⇒ am = an < a < ⇒ am = an 10 a > b , ab > ⇒ 1 < a b C Các bất đẳng thức: a2 ≥ với a Dấu xẩy ⇔ a = a ≥ với a Dấu xẩy ⇔ a = a ≥ a với a Dấu xẩy ⇔ a ≥ a + b ≤ a + b với a,b Dấu xẩy ⇔ ab ≥ a − b ≥ a - b với a,b Dấu xẩy ⇔ ab > a ≥ b 3)Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề: -Để học sinh vận dụng tốt phương pháp chứng minh bất đẳng thức ngồi việc nắm vững lí thuyết ,các em phải nhớ dạng phương pháp thích hợp Học Sinh cần: o Học thuộc lòng phương pháp chứng minh bất đẳng thức o Biết phối hợp với số kiến thức khác o Kết hợp với biến đổi, tính tốn , rút gọn -Để học sinh có kết tốt học sinh cần nắm nội dung cách giải số toán chứng minh bất đẳng thức sau: *11 PHƯƠNG PHÁP :Mỗi phương pháp có:1/ Phương pháp giải 2/Ví dụ áp dụng 3/ Bài tập tương tự Phương pháp sử dụng định nghĩa: 1.1 Phương pháp giải: Muốn chứng minh A > B xét A - B Nếu A - B dương khẳng định A > B bất đẳng thức cần chứng minh 1.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho a,b,c > chứng minh (a + b + c) ( Giải: Xét hiệu H = (a + b + c) ( =( = 1 + + )≥9 a b c 1 + + )-9 a b c a b a c b c + - 2) + ( + - 2) + ( + - 2) b a c a c b ( a − b) ab + ( a − c) ac + ( b − c) bc Do a,b,c > ⇒ H ≥ Theo định nghĩa bất đẳng thức: ⇒ (a + b + c) ( 1 + + )≥ a b c Dấu = xẩy ⇔ H = ⇔ a = b = c a3 + b3  a + b  ≥ Ví dụ2: Cho a > 0, b > chứng minh rằng:    a3 + b3  a + b  −    Giải: Xét hiệu: A = 3 Bỏ ngoặc, phân tích thành nhân tử ta được: A = (a + b) (a - b)2 Vì a > , b > ⇒ a + b > mà (a - b)2 ≥ ⇒ A ≥ Theo định nghĩa ⇒ a3 + b3 a +b    ≥  Dấu xẩy ⇔ a = b 1.3 Bài tập tương tự: Bài 1: Chứng minh: a b ≥ với ab > + b a Bài 2: Chứng minh: x2 + y2 + z2 ≥ 2xy + 2yz - 2x Bài 3: Cho a,b,c > chứng minh: a2 + b2 + c2 b2 c2 + a2 c2 a ≥ 2 b+c a +b + + b c + c+a a+b Phương pháp sử dụng tính chất: 2.1 Phương pháp giải: Sử dụng hay nhiều tính chất nêu 2.2 để biến đổi Từ khẳng định bất đẳng thức cần chứng minh 2.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho a, b > Chứng minh ab > a + b Giải: Ta có: a > , b > ⇒ ab > 2b (1) (Tính chất 3) b > , a > ⇒ ab > 2a (2) (Tính chất 3) Từ (1) (2) ⇒ 2ab > (a + b) (Tính chất 4) ⇒ ab > a + b Ví dụ 2: Cho x ≥ 0, y ≥ 0, z (Tính chất 3) ≥ Chứng minh rằng: (x + y) (y + z) (z + x) ≥ 8xyz (x-y)2 ⇒ x2 - 2xy +y2 ≥ Giải: Ta có: ⇒ x2 + 2xy +y2 ≥ 4xy (Tính chất 2) ⇒ (x+y)2 ≥ 4xy (1) Tương tự ta có: (y+z)2 ≥ (x+z)2 4yz (2) ≥ 4xz (3) Nhân vế (1),(2),(3) ⇒ [(x+y)(y+z)(x+z)]2 ≥ (8xyz )2 (Tính chất 6) ⇒ (x+y)(y+z)(x+z) ≥ 8xyz (Tính chất 8) 2.3 Bài tập tương tự: Bài 1: Cho a + b > Chứng minh a4 +b4 > Bài 2: Chứng minh rằng: a2 b2 c2 c b ≥ + + + 2 b c a b a + a c Bài 3: Cho x + y = Chứng minh : x4 + y4 ≥ Phương pháp phân tích: ( Biến đổi tương đương) 3.1 Phương pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức cần chứng minh ta biến đổi tương đương với bất đẳng thức khác mà ta biết từ suy bất đẳng thức cần chứng minh 3.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b)2 ≤ (a2 + b2) với a , b Giải: (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) (1) ⇔ a2 +2ab +b2 - 2a2 - 2b2 ≤ ⇔ -(a2 - 2ab + b2) ≤ ⇔ -( a - b)2 ≤ (2) Bất đẳng thức (2) ⇒ bất đẳng thức (1) (đpcm) Ví dụ 2: Cho số a, b thoả mãn: a + b = Chứng minh: a3 + b3 +ab ≥ Giải: (1) ⇔ a3 + b3 +ab - ≥ (1) ⇔ (a + b) (a2- ab + b2) +ab - ≥ ⇔ a2- ab + b2 + ab ⇔ a2 + b2 - ≥ ≥ (vì a + b = 1) ⇔ 2a2 + 2b2 - ≥ ⇔ 2a2 + 2(1 - a)2 - ≥ ( b = - a) ⇔ (a - )2 ≥ (2) Bất đẳng thức (2) mà phép biến đổi tương đương ⇒ (1) Dấu xảy ⇒ a = =b 3.3 Bài tập tương tự ≥ Bài 1: Với a, b chứng minh a4 + b4 Bài 2: Cho a > 0, b > Chứng minh a b a3b + ab3 − a≥ b− b a x6 y Bài 3: Chứng minh x + y ≤ + với x ≠ 0, y ≠ y x 4 Phương pháp tổng hợp: 4.1 Phương pháp giải: Từ bất đẳng thức biết đúng, dùng phép biến đổi tương đương biến đổi bất đẳng thức bất đẳng thức cần chứng minh Phương pháp giải làm cho học sinh thấy khó chỗ nên bất đẳng thức biết phương pháp giải ngược với phương pháp phân tích dễ tìm bất đẳng thức xuất phát 4.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho a, b ≥ Giải: Theo giả thiết a, b Ta có: ( a - b)2 ≥ a+b ≥ ab (Bất đẳng thức Côsi) Chứng minh ≥ ⇒ ab ≥ ⇒ ab xác định ≥ ⇔ a2 + 2ab +b2 ≥ 4ab ⇔ ( a - b)2 ≥ 4ab ⇔ a2 - 2ab +b2 ≥ ⇔a+b ab (vì a + b a+b ≥ ab (đpcm) ⇔ ≥ 0) Dấu “ =” xảy ⇔ a = b Ví dụ 2: Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: ( a + c) + ( b + d ) a2 + b2 + c2 + d ≥ Ta có: (ad - bd)2 Giải: ≥ ⇔ a2d2 - 2adbc + b2c2 ≥ ≥ ⇔ a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2 ≥ ⇔ a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2 a2c2 + b2d2 a2c2 + 2acbd + b2d2 ⇔ a2(c2 + d2) + b2(c2 + d2) ≥ (ac + bd)2 ⇔ (a )( ⇔ a2 + b2 + ⇔( ⇔ (a ) + b c + d ≥ ac + bd ( ac + bd > 0) (a )( ) + b c + d + c2 + d2 )( ) ≥ + b c + d )2 a2 + b2 + c2 + d ≥ ≥ 2ac + 2bd + a2 + b2 + c2 +d2 (a + c)2 + (b + d)2 ( a + c ) + ( b + d ) (đpcm) Dấu “=” xảy ⇔ a c = b d Chú ý: với a, b, c, d >0 phép biến đổi cách giải tương đương 4.3 Bài tập tương tự: Chứng minh bất đẳng thức Bài 1: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca với a, b Bài 2: (x-y)2+ (y -z)2 + (z -x)2 ≤ 3(x2 + y2+z2) với x, y, z a3 + b3  a + b  ≥ Bài 3:  với a > , b >   Phương pháp phản chứng: 5.1 Phương pháp giải: Nếu toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A ( A < B) ta giả sử A < B (hoặc A ≥ ≥ B B) Từ điều mà ta vừa giả sử với giả thiết toán ta suy điều mâu thuẫn với giả thiết với kiến thức học Cuối ta khẳng định kết luận toán A ≥ B ( A < B) Giải gọi phương pháp phản chứng 5.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho a2 + b2 ≤ Chứng minh: a + b ≤ Giải: Giả sử: a + b > ⇔ a2 + 2ab + b2 > (1) Ta có: (a - b)2 ≥ ⇔ a2 - 2ab + b2 ≥ ⇔ 2ab ≤ a2 + b2 ⇔ a2 + b2 + 2ab ≤ 2(a2 + b2) Mặt khác theo giả thiết ta có: a2 + b2 ≤ ⇔ 2(a2 + b2) ≤ Suy ra: a2 + b2 + 2ab ≤ (2) mâu thuẫn với (1) Vậy phải có a + b ≤ Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu a + b + c > 0; abc >0 , ab + bc + ac > a > 0, b > 0, c > Giải: giả sử a ≤ Nếu a = abc = trái với giả thiết abc > Nếu a < : a + b + c > nên b + c > Do abc > nên bc < ⇒ a(b + c) + bc < Hay ab + ac + bc < trái với giả thiết ab + ac + bc > Vậy a > Tương tự ta chứng minh b > 0, c > 5.3 Bài tập tương tự: Bài 1: cho số a, b, c , m, n, p thoả mãn: ap - 2bn + cm = ac - b2 = chứng minh mp - n2 ≤ Bài 2: chứng minh rằng: Nếu a ≥ 3; b ≥ 3; a2 + b2 ≥ 25 a + b ≥ Bài 3: Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ Phương pháp quy nạp toán học: 6.1 Phương pháp giải: Nếu vế bất đẳng thức phải chứng minh phụ thuộc vào đối số tự nhiên n dùng phương pháp quy nạp tốn học Khi đòi hỏi phải chứng minh: + Bất đẳng thức với n = (hoặc với n = n giá trị tự nhiên bé thừa nhận n theo yêu cầu đề bài) + Thừa nhận bất đẳng thức với n = k (k > k > n 0) chứng minh bất đẳng thức với n = k + 10 6.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên n ≥ 2n > 2n + (1) Với n= ta có 23 = ; 2n + = ⇒ 2n > 2n + với n = Giải: Giả sử (1) với n = k (k ∈ N , k ≥ ) Tức 2k > 2k + Ta phải chứng minh (1) với n = k+1 hay 2k+1 > 2(k+1) +1 hay 2k+1 > 2k+3 (2) Thật vậy: hay 2k+1 =2.2k mà 2k > 2k +1 ⇒ 2k+1 > (2k +1) = (2k+3)+(2k-1) > 2k+3 (vì 2k -1>0) ⇒ (2) với ∀k ≥ Vậy 2n > 2n + với n nguyên dương n ≥ Ví dụ 2: chứng minh với số tự nhiên n > (n+1)(n+2)(n+3)….2n > 2n (1) Giải: Với n = (1) với n = k (k ∈ N, k ≥ 2) tức là(k+1)(k+2)(k+3)….2k > 2k Ta phải chứng minh (1) với n = k+1 tức phải chứng minh (k+2)(k+3)(k+4)…2(k+1) > 2k+1 Hay (k+2)(k+3)(k+4)…(2k+2) > 2k+1 Thật vậy: Theo giả thiết quy nạp ta có: (k+2)(k+3)(k+4)…2k > 2k ⇒ (k +1)(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1) > 2k ⇒ 2(k +1)(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1) > 2.2k ⇒ (k+2)(k+3)…(2k)(2k+1)(2k+2) > 2k+1 Vậy bất đẳng thức (1) với số tự nhiên n >1 nghĩa là: (n+1)(n+2)(n+3)….2n > 2n 6.3 Bài tập tương tự Bài 1: Cho a ≥ 0, b ≥ 0, n ∈ N Chứng minh n an + bn a +b   ≤   Bài 2: Chứng minh với số nguyên dương n ≥ n2 > n + Bài 3: Chứngminh vớimọi số nguyên dương n 1 + + + >1 n +1 n + 3n + 11 Phương pháp xét khoảng giá trị biến: 7.1 Phương pháp giải: Có tốn u cầu chứng minh bất đẳng thức A(x) > mà không cho thêm giả thiết ta suy nghĩ theo cách giải sau: Nếu biểu thức A(x) viết dạng tổng hạng tử nx(x-a) ta xét khoảng giá trị biến x chẳng hạn x ≥ a x < a để sử dụng định nghĩa bất đẳng thức x ≥ a ⇔ x − a ≥ hay x < a ⇔ x -a < Trong trường hợp bất đẳng thức cần chứng minh chưa có dạng A(x) > hay A(x) < trước hết ta chuyển vế để đưa dạng 7.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh x10 -x9 +x4 - x+ >0 Giải: Xét A = x10 -x9 +x4 - x+ = x9(x-1) + x(x3 -1) +1 (1) Hoặc A = x10 + x4(1-x5) +(1-x) (2) + Nếu x ≥ ⇒ x9 > 0; x-1 ≥ 0; x3+1 ≥ Nên từ (1) ⇒ A > + Nếu x < ⇒ 1-x5 > 0; 1-x > mà x10 ≥ x4 ≥ nên từ (2) ⇒ A > Ví dụ 2: Chứng minh 12x4 + 8x3 +11x2 +7x+10 >0 Giải: xét B = 12x4 + 8x3 +11x2 +7x+10 (1) Hoặc B= 10(x4 + x3 +x2 +x+1) + 2x4 +x2 -2x3 -3x (2) + Nếu x ≥ từ (1) ⇒ B > ( x4 + x3 +x2 +x+1 >0 tương tự ví dụ 2x +x2 > 0; -2x3 -3x > ( x (đpcm) 7.3 Bài tập tương tự Bài 1: chứngminh x8 +x4 +1 > x7 + x Bài 2: Chứngminh x6 - x5 + x4- x3+x2 - x + > Bài 3: Chứng minh x6 - x5 + x4- x3+x2 - x + >0 Phương pháp làm trội ( làm giảm) 8.1 Phương pháp giải: Để chứng minh A < B ta làm trội A thành C (A < C) chứng minh C ≤ B (biểu thức C đóng vai trị trung gian để so sánh A B) 12 Tương tự phương pháp làm giảm 8.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh với số tự nhiên n ≥ ta có: A= 1 1 + + + < n Giải: Làm trội phân số A cách giảm mẫu Ta có: 1 1 < = = k k − k k k − ( k − 1) k ( k + 1) ( Do đó: A < Đặt C = Vậy: ) 1 1 1 + + + = + + + ( n − 1) n( n + 1) −2 −3 n − n 1.2.3 2.3.4 1 + + + 1.2.3 2.3.4 ( n − 1) n( n + 1) = 1 1 1 1  − + − + + −  1.2 2.3 2.3 3.4 ( n − 1) n n( n + 1)  = 1  1 − = − <    n( n + 1)  2n( n + 1) 1 1 + + + < n Ví dụ 2: Chứng minh với số tự nhiên n ≥ ta có: A = 1+ + + + Giải: 1 2 0 ⇒ b+c a2 >0 > b+c b+c a2 áp dụng bất đẳng thức côsi cho số ta có b+c a2 b+c a2 b + c a + ≥2 = = a b+c b+c ⇒ a2 b+c ≥a− b+c b2 a+c ≥b− Tương tự ta có: a+c c2 a+b ≥c− a+b Cộng vế bất đẳng thức ta được: a2 b2 c2 a+b+c a+b+c + + ≥ (a + b + c) − = b+c a+c a+b 2 14 a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a+b Vậy a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c a+c a+b (đpcm) Ví dụ 2: Cho a, b, c số không âm a+b+c=1 Chứng minh rằng: a+b+ b+c+ c+a ≤ Giải: a, b, c ≥ ⇒ a+b ≥ 0; b+c ≥ 0; c+a ≥ ⇒ a+b, b+c, c + a có nghĩa áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski với số: a1=1, a2=2, a3=3, b1= a + b , b2 b + c , b3= c + a ta có: (1 a + b +1 b + c +1 c + a )2 ≤ (1+1+1)(a+b+b+c+c+a) (vì a+b+c=1) ⇔ ( a + b + b + c + c + a ) ≤ 3.2 ⇔( a+b + b+c + c+a ≤ (đpcm) *Lưu ý: + Việc chứng minh bất đẳng thức côsi bất đẳng thức Bunhiacôpxki không đề cập mà hướng dẫn em chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng nhiều bất đẳng thức biết khác + Khi sử dụng bất đẳng thức cơsi cần ý số áp dụng phải có điều kiện ≥ cịn bất đẳng thức Bunhiacơpxki khơng cần điều kiện số ≥ phải áp dụng cho số + Ngoài bất đẳng thức hay sủ dụng cho học sinh THCS nêu em sử dụng số bất đẳng thức biết để chứng minh bất đẳng thức khác 9.3 Bài tập tương tự: Bài 1: cho a, b, c >0 Chứng minh a + b+c b + a+c c >2 a+b Bài 2: Cho a+b = Chứng minh a4+b4 ≥ 10.Phương pháp tam thức bậc hai: 10.1 Phương pháp giải: Dùng định lí dấu tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức Định lý dấu tam thức bậc hai: Định lý dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) ∆ = b2 - 4ac - Nếu ∆ < f(x) ln dấu với a với giá trị x (nghĩa a.f(x) > 0) 15 - Nếu ∆ =0 f(x) ln dấu với a với giá trị x, trừ x= a.f(x) ≥ 0, af(x) = x= −b f(x) = (nghĩa 2a −b ); 2a - Nếu ∆ > f(x) dấu với a x nằm khoảng hai nghiệm (x 1, x2) khác dấu với a x nằm khoảng hai nghiệm 10.2 Ví dụ áp dụng a + b = Ví dụ 1: Cho bốn số thực a, b, c, d thoả mãn hệ điều kiện  c + d = Chứng minh rằng: c2 + d2-2ac -2bd ≥ 18 - (1) Giải: c + d = ⇒ d = 6- c Khi bất đẳng thức (1) có dạng: c2+ (6-c)2 -2ac -2b(6-c) -18+ ≥ (2) Quan niệm vế trái (2) tam thức bậc hai c, ta có: ( ∆' = ( a + − b ) − − 12b − 18 + 2 ) = - (a+b)2 + 12(a+b) + -12 (3) Do a2+b2 =1 ⇒ − ≤ a + b ≤ Xét tam thức bậc hai f(x) = -x2 +12x+2-12 Ta có bảng xét dấu sau: x f(x) 12- + ' Do − ≤ a + b ≤ nên từ (3) bảng xét dấu ⇒ ∆ ≤ Theo định lý dấu tam thức bậc hai (2) với c Đó điều phải chứng minh Dấu = xảy a + b =   a = b = ⇔ ⇔  a+6−b c = c = d =   Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki nêu phần Giải: Xét tam thức bậc hai F(x) = (b1x - a1)2 + (b2x - a2)2+….+(bnx - an)2 Ta thấy f(x) ≥ với x Ta viết f(x) dạng sau F(x) =( b 12 +b22 +  + bn2 ) x2 - 2(a1b1+a2b2+…+anbn)x + ( a12 + a 22 +  + a n2 ) Do f(x) ≥ với x nên từ (1) suy ra: 16 ( )( )(b ) ∆' = ( a1b1 + a b2 +  + a n bn ) − a12 + a 22 +  + a n2 b12 + b22 +  + bn2 ≤ ( ⇒ ( a1b1 + a b2 +  + a n bn ) ≤ a12 + a 22 +  + a n2 + b22 +  + bn2 ) Dấu = xảy ⇔ ∆' = ⇔ phương trình f(x) =0 có nghiệm kép ⇔ a a1 a = = = n b1 b2 bn * Nhận xét: sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để chứngminh bất đẳng thức ví dụ 1, ví dụ nêu học sinh cần biết định lí dấu tam thức bậc hai kiến thức chưa thức giới thiệu bậc THCS nên khó em Vì tơi xin giới thiệu ví dụ để HS tham khảo không yêu cầu em tự làm tập phần 11 Phương pháp đồ thị hình học: 11.1 Phương pháp giải: Vận dụng kiến thức hình học để chứng minh toán bất đẳng thức đại số 11.2 Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh với a, b ta có: Giải: Xét ∆ ABC có Â = 900, AB = a+b < a + b B a, AC = b Theo định lý Pi ta go ta có: BC = a+b a+b Trong ∆ ABC ta có: BC < AB + AC A ⇒ a + b < a + b (đpcm) C b Ví dụ 2: Cho a,b,c,d > Chứng minh rằng: ( a + c) + ( b + d ) a2 + b2 + c2 + d ≥ Giải: Trên trục hoành Ox đặt liên tiếp hai đoạn OA = a, AB = c, trục Oy đặt liên tiếp OC = b, CD = d Xét hình chữ nhật COAE DOBF Theo định lý pitago ta có: y OE = a2 + b2 EF = c + d OF = ( a + c) + ( b + d ) D d C b O Mà OE + EF ≥ OF ⇒ a2 + b2 + c2 + d ≥ ( a + c) + ( b + d ) 17 F G E a Ac B x Dấu xảy ⇔ ∆ OAE : ∆ EFG ⇔ a c = b d Ví dụ 3: Cho x, y 2số thoả mãn: 2 x + y − ≥  2 x − y − ≤ 2 y − x − ≤  ≥ Chứng minh: x2 + y2 y C Giải: A Gọi I(x;y) điểm mặt phẳng Oxy x, y thoả mãn đề Tập hợp điểm I(x,y) miền -4 ặt phẳng giới hạn tam giác ABC Vậy OH2 = 4 ⇒ OI2 ≥ 5 1 = + 2 OH OA OB AB; OI ≥ OH Mà OH x -2 Như muốn chứng minh x2 + y2 ≥ ta cần chứng minh : OI2 ≥ O HB Hay x2 + y2 ≥ 11.3 Bài tập tương tự Bài 1: Chứngminh với a > b > a − b < a−b Bài 2: Chứng minh với x, y, z, t > (x )( ) + z2 y2 + z2 + (x Bài 3: Chứng minh rằng: )( ) + t y + t ≥ ( x + y )( z + t ) x − x + 34 − x − x + 10 ≤ 4)Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: -Tôi giới thiệu số toán chứng minh bất đẳng thức cho học sinh, q trình học tốn tơi thấy em gặp chứng minh bất đẳng thức khơng cịn lúng túng mà biết tìm cho phương pháp phù hợp để giải -Từ học sinh quen dần với chứng minh bất đẳng thức khó làm tiền đề cho phát triển tốn học 18 III KẾT LUẬN: -Học sinh biết nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức giải loại tập liên quan đến việc chứng minh bất đẳng thức có nhiều hướng suy nghĩ nên dễ tìm cách giải, qua phát triển tư nâng cao lực sáng tạo -Bất đẳng thức chuyên đề khó , phức tạp,phong phú với nhiều phương pháp giải học sinh thường gặp phải giải toán.Để học sinh chọn lựa phương pháp phù hợp cần phải nghiên cứu đầu tư thời gian nhiều -Trên vài kinh nghiệm mà tơi tích luỹ trình giảng dạy hướng dẫn học sinh học tốn, mong đóng góp ý kiến quý thầy, cô bạn đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm ngày hồn thiện.Tơi xin chân thành cám ơn Quy Nhơn,ngày 25/04/2013 Người viết : 19 Nguyễn Kim Chánh Tài liệu tham khảo -Sách giáo khoa toán 9-tập1,2 -Sách tập toán -tập1,2 -Sách giáo viên toán 9-tập1,2 -500 toán chọn lọc (Nguyễn ngọc Đạm-Nguyễn quang Hanh-Ngô long Hậu) -Để học tốt đại số (Nguyễn vĩnh Cận-Vũ Hựu-Hoàng Chúng) -Bất đẳng thức toán cực trị(Trần đức Huyên) -Nâng cao phát triển tốn (Vũ hữu Bình) 20 ... + 13 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức kinh điển: ( bất đẳng côsi bất đẳng thức bunhiacốpxki) 9.1 Phương pháp giải: Để chứng minh bất đẳng thức ngồi cách giới thiệu ta sử dụng bất đẳng thức kinh... + Việc chứng minh bất đẳng thức côsi bất đẳng thức Bunhiacôpxki không đề cập mà hướng dẫn em chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng nhiều bất đẳng thức biết khác + Khi sử dụng bất đẳng thức cơsi... dụng tốt phương pháp chứng minh bất đẳng thức ngồi việc nắm vững lí thuyết ,các em phải nhớ dạng phương pháp thích hợp Học Sinh cần: o Học thuộc lòng phương pháp chứng minh bất đẳng thức o Biết