Hằng đẳng thức tổng ba lập phương

Để giúp học sinh lớp 8, 9 có kỹ năng giải thành thạo các bài tập về vận dụng hằng đẳng thức tổng ba lập phương, trước hết giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm được hằng đẳng thức; giúp học sinh phân loại các bài tập theo các dạng toán cơ bản, nâng cao. Ở mỗi dạng toán, giáo viên cần đưa ra các ví dụ cụ thể, hướng dẫn học sinh biết vận dụng hằng đẳng thức tổng ba lập phương để giải. Giáo viên đưa ra những bài tập tương tự, bài tập vận dụng để học sinh có thể tự giải

A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình Đại số lớp 8, đẳng thức đáng nhớ nội dung kiến thức quan trọng Mỗi đẳng thức chìa khóa giúp học sinh tháo gỡ lớp toán nhiều dạng tập khác cách xác, nhanh gọn Để trở thành học sinh giỏi Tốn, ngồi u cầu cần nắm vững kiến thức chương trình, học sinh cịn phải biết tìm tịi, khai thác, vận dụng kiến thức nâng cao Đối với học sinh lớp 8, 9, giáo viên việc hướng dẫn em vận dụng nhuần nhuyễn bảy đẳng thức đáng nhớ, cần phải cung cấp thêm số đẳng thức tổng quát, số đẳng thức nâng cao, giúp em học sinh giỏi vận dụng để giải nhiều tốn khó, nhiều dạng tập hơn, tạo điều kiện cho học sinh phát huy tối đa sức học Khai thác ứng dụng đẳng thức nâng cao nhằm bổ sung kiến thức mới, khơi dậy niềm say mê học tập, phát huy tính tích cực nhận thức phát triển kỹ tự học học sinh Trong trình dạy học Tốn, bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn, tơi thấy đẳng thức tổng ba lập phương số đẳng thức nâng cao có nhiều ứng dụng; giúp học sinh vận dụng để giải số dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình, rút gọn biểu thức, chứng minh bất đẳng thức, , giúp học sinh rèn luyện tư toán học; sáng tạo trình học tập, tiếp thu kiến thức Nhận thấy khả "ứng dụng rộng rãi" xét thấy tính "ưu việt" đẳng thức tổng ba lập phương nên tiến hành nghiên cứu mạnh dạn trao đổi số kinh nghiệm nhỏ bạn Điểm đề tài Trong chương trình phổ thông, đẳng thức tổng ba lập phương sách giáo khoa chưa đề cập đến Trong sách tập Toán 8, đưa hai tập sau: Bài 38: Cho a + b + c = Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc Bài 57: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 Trong nhiều sách nâng cao, sách tham khảo, đẳng thức tổng ba lập phương ứng dụng số tác giả quan tâm đưa vào với số lượng tập vài dạng Do chủ đề nâng cao khai thác vận dụng đẳng thức nâng cao có đẳng thức tổng ba lập phương chủ đề đáng quan tâm Phạm vi áp dụng Vì đề tài với mục đích nghiên cứu kiến thức nâng cao, thực công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nên phạm vi đề tài giới hạn công tác bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 8, trường THCS B PHẦN NỘI DUNG THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thực tế, trình dạy học, gặp nhiều toán dạng khác đề thi học sinh giỏi, đòi hỏi học sinh phải đưa dạng đẳng thức tổng ba lập phương Nếu giáo viên chưa khai thác sâu kiến thức bản, học sinh chưa kịp thời bổ sung kiến thức nâng cao; chưa đào sâu suy nghĩ để tìm cách vận dụng linh hoạt đẳng thức nâng cao, việc tích luỹ dần phương pháp kỹ hữu hiệu khó giải tốn Trong thời gian trước áp dụng đề tài, gặp dạng tốn mà để giải cần áp dụng đẳng thức tổng ba lập phương, số học sinh có lực tiếp thu tốt, có khả tư duy, có vốn kiến thức tích lũy lớn lúng túng, nhiều thời gian để biến đổi tìm tịi giải pháp Học sinh thường không theo hướng số đơng học sinh thường bỏ qua, số học sinh có làm thiên biến đổi đơn giản biểu thức nên không đến kết cho kết sai Qua khảo sát lực học sinh việc giải toán liên quan tới áp dụng đẳng thức nâng cao tổng ba lập phương trước áp dụng đề tài cho thấy kết sau: Kết quả điểm kiểm tra Năm học 2011 -2012 Áp dụng đề tài Chưa ap dụng Giỏi Kha Trung bình Yếu Kém 3% 9% 30% 52% 6% CÁC GIẢI PHÁP NHẰM CẢI THIỆN THỰC TRẠNG Để giúp học sinh lớp 8, có kỹ giải thành thạo tập vận dụng đẳng thức tổng ba lập phương, trước hết giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm đẳng thức; giúp học sinh phân loại tập theo dạng toán bản, nâng cao Ở dạng toán, giáo viên cần đưa ví dụ cụ thể, hướng dẫn học sinh biết vận dụng đẳng thức tổng ba lập phương để giải Giáo viên đưa tập tương tự, tập vận dụng để học sinh tự giải Hằng đẳng thức tổng ba lập phương sử dụng để giải nhiều tốn thuộc dạng sau: 1) Phân tích đa thức thành nhân tử 2) Rút gọn biểu thức Tính giá trị biểu thức 3) Chứng minh đẳng thức 4) Trục thức mẫu 5) Giải phương trình Giải hệ phương trình 6) Chứng minh bất đẳng thức 7) Chứng minh chia hết 8) Các dạng khác 2.1 Giới thiệu đẳng thức tổng ba lập phương * Với A, B, C biểu thức tuỳ ý ta có đẳng thức sau: 1) A3 + B3 + C3 = (A + B + C)(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) + 3ABC 2) A3 + B3 + C3 = (A + B + C)3 - 3(A + B)(B + C)(C + A) Để chứng minh đẳng thức (1), ta chọn hai cách sau đây: Cách 1: Ta có: (A + B + C)(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) = A(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) + B(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) + + C(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) = A3 + AB2 + AC2 - A2B - ABC - A2C + A2B + B3 + BC2 - AB2 – B2C - ABC + A2C + B2C + C3 - ABC - BC2 - AC2 = A3 + B3 + C3 – 3ABC Suy A3 + B3 + C3 = (A + B + C)(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) + 3ABC Cách 2: Ta có: A3 + B3 + C3- 3ABC = (A + B)3 - 3AB(A + B) + C3 - 3ABC = (A + B)3 + C3 – 3AB(A + B) - 3ABC = (A + B + C)[(A + B)2 - (A + B)C + C2] - 3AB(A + B + C) = (A + B + C)(A2 + 2AB + B2 - AC - BC + C2 - 3ABC) = (A + B + C)(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) Suy đpcm Để chứng minh đẳng thức (2), ta chọn hai cách sau: Cách 1: Ta có: (A + B + C)3 - 3(A + B)(B + C)(C + A) = (A + B)3 + 3(A + B)2C + 3(A + B)C2 + C3 - (3A + 3B)(BC + AB + C2 + AC) =A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 + 3A2C + 6ABC + 3B2C + C3 - 3ABC - 3A2B - 3AC2 - 3A2C – 3B2C – 3AB2 – 3BC2 – 3ABC = A3 + B3 + C3 Suy đpcm Cách 2: (A + B + C)3 - (A3 + B3 + C3) = (A + B)3 + 3(A + B)2C + 3(A + B)C2 + C3 - (A3 + B3 + C3) = A3 + B3 + 3AB(A + B) + 3(A + B)2C + 3(A + B)C2 + C3 - A3 - B3 - C3 AB  ( A  B )C  C � = 3(A + B) � � �= 3(A + B)(B + C)(C + A) Suy đpcm 2.2 Những ứng dụng đẳng thức tổng ba lập phương 2.2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử Từ đẳng thức 1) 2) ta suy ra: * A3 + B3 + C3 - 3ABC = (A + B + C)(A2 + B2 + C2 - AB - BC - CA) (1) 3 * Nếu A + B + C = A + B + C = 3ABC (2) 3 3 * (A + B + C) - A - B - C = 3(A + B)(B + C)(C + A) (3) Chúng ta sử dụng (1), (2) (3) để phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức 8x3 + 64y3 + z3 - 24xyz thành nhân tử Hướng dẫn: 8x3 + 64y3 + z3 - 24xyz = (2x)3 + (4y)3 + z3 - 3.(2x).(4y).z = (2x + 4y + z)[(2x)2 + (4y)2 + z2 - (2x)(4y) - (2x)z - (4y)z] = (2x + 4y + z)(4x2 + 16y2 + z2 - 8xy - 2xz - 4yz) Ví dụ 2: Phân tích đa thức (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 thành nhân tử Hướng dẫn: Đặt a = x - y, b = y - z, c = z - x a + b + c = Do a3 + b3 + c3 = 3abc Vậy (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x) Với a = x2 + y2; b = z2 - x2; c = - y2 - z2 cho a + b + c = ta có tốn: Ví dụ 3: Phân tích thành nhân tử: (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 - (y2 + z2)3 Hướng dẫn: A = (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 - (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 + (- y2 - z2)3 Đặt a = x2 + y2; b = z2 - x2; c = - y2 - z2 � a + b + c = � A = a3 + b3 + c3 = 3abc = 3(x2 + y2)(z2 - x2)(- y2 - z2) = 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x + z)(x - z) Với a = x + y - z; b = x - y + z; c = - x + y + z cho a + b + c = ta có tốn: Phân tích thành nhân tử: (x + y + z)3 - (x + y - z)3 - (x - y + z)3 - (- x + y + z)3 Bài tập vận dụng Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) x3 - y3 - z3 - 3xyz 2) 125a3 + 8b3 + 27c3 - 90abc 3) (x - y + z)3 - x3 + y3 - z3 4) (x + 2y - 3z)3 - x3 - 8y3 + 27z3 5) (a + b)3 - (b + c)3 + (c - a)3 6) (x - y)5 + (y - z)5 + (z - x)5 7) (a - b + c)3 - (a - b - c)3 - (c - a - b)3 - (a + b + c)3 8) (3x2 - 2x + 1)3 + (x - x2 - 1)3 - (2x2 - x)3 2.2.2 Rút gọn biểu thức Tính giá trị biểu thức Ví dụ 1: Cho xy + yz + zx = xyz � xy yz zx Tính giá trị biểu thức P = z  x  y 1 Hướng dẫn: Từ giả thiết: xy + yz + zx = xyz � suy ra: x  y  z  1 Xem a  x ; b  y ; c  z , ta có a + b + c = 0, áp dụng: 1 1 1 a + b + c = � a3 + b3 + c3 = 3abc ta có: x  y  z  � x3  y  z  xyz xy yz �1 zx 1� Ta có: P = z  x  y = xyz �   �= xyz xyz  Vậy P = y z � �x Nhận xét: Ở toán sử dụng “điều kiện xi” để tính giá trị biểu thức Ta sử dụng “điều kiện ngược” để tính giá trị biểu thức Ví dụ 2: Cho abc � 0, a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị biểu thức: � a� � b� � c� 1 � 1 � 1 � A= � � � b c a � � � � � � 3 � � Hướng dẫn: abc 0, a + b + c = 3abc a + b + c = a = b = c a  b b  c c  a c a b   1 - Nếu a + b + c = A = b c a b c a - Nếu a = b = c A = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2.2.2 = Vậy A nhận hai giá trị -1 Ví dụ 3: Biết a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2, tính giá trị biểu thức: � a� � b� � c� 1 � 1 � 1 � A= � � � b c a � � � � � � �x  ab � Hướng dẫn: Nếu đặt: �y  bc ta có: �z  ca � � z� x y � � � � 1 � 1 �  � Biểu thức A chuyển dạng: A = � � � y z x � � � � � � Điều kiện giả thiết biến đổi dạng: x yz 0 � a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2 � x3 + y3 + z3 = 3xyz � � x yz � Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Với x + y + z = 0, ta có: � z� x y � � � � 1 � 1 �  �= A= � � � y z x � � � � � � y  z z  x x  y  xyz   1 y z x xyz Trường hợp 2: Với x = y = z, ta có ngay: A = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức: A = x3 + (x - 1)3 - (2x - 1)3 - 3x(x - 1)(1 - 2x) Hướng dẫn: Đặt a = x, b = x - 1, c = - 2x suy ra: a + b + c = Khi đó, biểu thức viết dạng: S = x3 + (x - 1)3 + (1 - 2x)3 - 3x(x - 1)(1 - 2x) = a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = Vậy, ta S = Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức A = 8(a + b + c)3 - (2a + b - c)3 - (2b + c - a)3 - (2c + a - b)3 �x  2a  b  c � Hướng dẫn: Đặt: �y  2b  c  a � x  y  z  2(a  b  c) �z  2c  a  b � � 8(a + b + c)3 = (x + y + z)3 Khi đó: A = (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = 3(x + y)(y + z)(z + x) = 3(a + 3b)(b + 3c)(c + 3a) Bài tập vận dụng Bài 1: Biết a3 - b3 = 3ab + 1, tính giá trị biểu thức A = a - b a  b3  c  3abc Bài 2: Cho a - b - c = Tính B = (a  b)  (b  c )  (c  a ) Bài 3: Cho a, b, c khác thoả mãn a3 - b3 + c3 = - 3abc Tính: � a� � b� � c� 1 � 1 �  � A= � � � b c a � � � � � 3 � Bài 4: Cho a, b, c khác thoả mãn a + 8b + 27c = 18abc Tính: a � � 2b � � 3c � 1 �  � � � � � 2b � � 3c � � a� � 1 B= � Bài 5: Tính giá trị tổng a2011 + b2011 + c2011 biết a + b + c = a3 + b3 + c3 = Hướng dẫn: Theo giả thiết ta có c = - (a + b) nên: a  b3  3ab(a  b) � = a3 + b3 + c3 = a3 + b3 - � � �= 3abc 2011 2011 Vậy ba số a, b, c Từ suy ra: a + b + c2011 = 2.2.3 Chứng minh đẳng thức Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (x + y + z)(a + b + c) = ax + by + cz với x = a2 - bc, y = b2 - ac, z = c2 - ab Hướng dẫn: Ta có: (x + y + z)(a + b + c) = (a2 - bc + b2 - ac + c2 - ab)(a + b + c) = a3 + b3 + c3 - 3abc ax + by + cz = a(a2 - bc) + b(b2 - ac) + c(c2 - ab) = a3 - abc + b3 - abc + c3 - abc = a3 + b3 + c3 - 3abc Ví dụ 2: Biết x + y + z = 0, chứng minh rằng: (x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Hướng dẫn: Từ giả thiết x + y + z = suy ra: 3xyz = x3 + y3 + z3 Do đó: 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x2y2(x + y) + y2z2( y + z) + z2x2(z + x) = x5 + y5 + z5 - x2y2z - y2z2x - z2x2y (1) Mặt khác, từ giả thiết x + y + z = suy ra: = (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) � xy + yz + zx =  x  y2  z2   (2) Thay (2) vào (1), ta được: 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + xyz (x2 + y2 + z2) � 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2), đpcm �ax  by  c � Ví dụ 3: Giả sử hệ phương trình �bx  cy  a có nghiệm � cx  ay  b � Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc Hướng dẫn: Giả sử (x; y) nghiệm hệ, cộng theo vế ba phương trình hệ ta được: ax + by + bx + cy + cx + ay = a + b + c abc  � � (a + b + c)(x + y - 1) = � � x  y 1  � - Với a + b + c = 0, ta dễ dàng suy đpcm - Với x + y - = � y   x , thay vào hệ, sau số biến đổi dẫn đến = b = c, theo đẳng thức suy đpcm a Bài tập vận dụng Bài 1: Cho a - b - c = Chứng minh a3 - b3 - c3 = 3abc Bài 2: Cho a + b + c + d = Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c + d)(ab - cd) Bài 3: Cho 2a + b + c = Chứng minh rằng: 2a3 + b3 + c3 = 3a(a + b)(c - b) Bài 4: Cho a + b - c = Chứng minh 2(a5 + b5 - c5) = -5abc(a2 + b2 + c2) Bài 5: Chứng minh ba số x, y, z có tổng thì: 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5) Hướng dẫn: Ta chứng minh: 2(x4 + y4 + z4) = (x2 + y2 + z2)2 x3 + y3 + z3 = 3xyz � 2[x7 + y7 + z7 + x3y3(x + y) + x3z3(x + z) + y3z3( y + z)] = 3xyz(x2 + y2 + z2)2 Từ đó: 2[x7 + y7 + z7 - x3y3z - x3z3y - y3z3x] = 3xyz(x2 + y2 + z2)2 Hay 2(x7 + y7 + z7) - 2xyz(x2y2 + x2z2 + y2z2) = 3xyz(x2 + y2 + z2)2 Nhưng x2y2 + x2z2 + y2z2 = (x + y2 + z2)2 (chứng minh dễ dàng) 7 xyz(x2 + y2 + z2)2 Chứng minh: x5 + y5 + z5 = xyz(x2 + y2 + z2) Vậy: 2(x7 + y7 + z7) = (*) (**) Thay (**) vào đẳng thức (*) ta đpcm 2.2.4 Trục thức mẫu Ví dụ: Hãy thực trục thức mẫu cho biểu thức: A = a b3c Hướng dẫn: Áp dụng đẳng thức: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) coi mẫu số A có dạng a + b + c Khi nhân tử mẫu A với (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca), tức A=   a  b  c a  b  c  ab  bc  ca a  b  c  3 abc 3  ab  bc  ca ta được:    2 a  b2  c  ab  bc  ca � �a  b  c   3(a  b  c ) abc  3 abc � � � � = 2 � � 3 � (a  b  c)  abc � a  b  c   3(a  b  c) abc  abc � � �� � � 3 3 a  b  c  ab  bc  ca � �a  b  c   3(a  b  c ) abc  a 2b 2c � � = ( a  b  c )3  27abc       Bài tập vận dụng Hãy thực phép trục thức mẫu cho biểu thức sau: a) A = 1  b) 1 33  c) C = 4   16 2.2.5 Giải phương trình Giải hệ phương trình Xuất phát từ đẳng thức thứ ta có: A B C  � A3 + B3 + C3 = 3ABC � � ABC � Xuất phát từ đẳng thức thứ hai, ta có: A  B � � A3 + B3 + C3 = (A + B + C)3 � (A + B)(B + C)(C + A) = � �B  C � C  A � Từ đó, ta giải phương trình có dạng A + B3 + C3 = 3ABC A3 + B3 + C3 = (A + B + C)3 có dạng A3 + B3 + C3 = (với A + B + C = 0) nhiều phương trình đưa dạng để giải Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) x3 - 3x + = b) x3 + 16 = 12x Hướng dẫn: a) Viết lại phương trình dạng: x 11  � x  2 � �� x 1 � x2  � x  4 � �� x2 � x3 + 13 + 13 = 3.1.1.x � � x 11 � b) Viết lại phương trình dạng: x3 + 23 + 23 = 3.2.2.x � � x22 � Ví dụ 2: Giải phương trình: 54x3 - 9x +  x Hướng dẫn: (1) � x3   (1)  54 Bây ta tìm cách viết vế trái phương trình dạng: x3 + a3 + b3 - 3abx, �3 a b  � � 54 a, b thoả mãn hệ phương trình: � � a 3b  � 18 � 2t Suy a3, b3 nghiệm phương trình: t   0 54 183 1 Giải phương trình ta có t1 = t2 = , suy a = b = 54 Khi đó: (1) � (x + a + b)(x2 + a2 + b2 - ax - bx - ab) = 2 ; x2  Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là: x1  3 Ví dụ 3: Giải phương trình: a)  x    ( x  1)3  (1  x)3  b) x   x   x   Hướng dẫn: a) Nhận thấy phương trình có dạng A3 + B3 + C3 = 0, với A + B + C = Sử dụng đẳng thức biến đổi phương trình dạng: (x - 2)3 + (x + 1)3 + (1 - 2x)3 = � (x - + x + + - 2x) � 2 ��  x     x  1    x   ( x  2)( x  1)  ( x  2)(1  x)  ( x  1)(1  x) �+ � + 3( x  2)( x  1)(1  x)  � � (x - 2)(x + 1)(1 - 2x) = Phương trình có ba nghiệm x = 2, x = - x = b) Đặt a  x  1, b  x  2, c  x  Khi đó, phương trình có dạng: a + b + c = � a3 + b3 + c3 = 3abc � (x - 1) + (x - 2) + (x - 3) = 3 x  x  x  � x   ( x  1)( x  2)( x  3) � (x - 2)3 = (x - 1)(x - 2)(x - 3) � (x - 2)[(x - 2)2 - (x - 1)(x - 3)] = � x - = � x = Thử lại, thấy x = thoả mãn Vậy phương trình có nghiệm x = �x  y  z   1 �2 2 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: �x  y  z    �3 3 �x  y  z   3 Hướng dẫn: Từ (1) (3) suy ra: (x + y + z)3 - (x3 + y3 + z3) = x y 0 � � � (x + y)(y + z)(z + x) = � � yz 0 � zx0 � Khi đó: �z  �x  y  � - Với x + y = 0, hệ có dạng: �x  y  � � �z  �x  y  � - Với y + z = 0, hệ có nghiệm (1; 0; 0) - Với z + x = 0, hệ có nghiệm (0; 1; 0) �x  y  x ( y  z )  xyz  14 �3 Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: �y  z  y ( z  x)  xyz  21 �x  z  z ( x  y )  xyz  � Hướng dẫn: Cộng phương trình hệ vế theo vế, ta được: 2(x3 + y3 + z3) + x2(y + z) + y2(x + z) + z2(x + y) - 3xyz = (1) 3 2 Ta có: x + y + z - 3xyz = (x + y + z)(x + y + z - xy - yz - zx) Do đó: (1) � (x3 + y3 + z3 - 3xyz) + x3 + x2(y + z) + y3 + y2(x + z) + z3 + z2(x + y) = � (x + y + z)( x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) + x2(x + y + z) + y2(x + y + z) + + z2(x + y + z) = � (x + y + z)(2x2 + 2y2 + 2z2 - xy - yz - zx) = (2) 2 2 2 2 Vì 2x + 2y + 2z - xy - yz - zx = (x + y + z - xy - yz - zx) + x + y + z = 1� 2  x  y  z �0 �x  y    y  z    z  x  � � Dấu “=” xảy chi x = y = z = (không thoả mãn hệ phương trình cho) suy 2x2 + 2y2 + 2z2 - xy - yz - zx > Do đó: (2) � x + y + z = Với x + y + z = 0, hệ cho trở thành: �x  y  x ( x)  xyz  14 �x  xyz  �3 �3 �y  z  y ( y )  xyz  21 � �y  xyz  14 �x  z  z ( z )  xyz  �z  xyz  21 � � Suy ra: x3 - = y3 - = z3 + 27 = xyz + 10 Do đó: (x - 1)(x2 + x + 1) = (y - 2)(y2 + 2y + 4) = (z + 3)(z2 - 3z + 9) 2 � 1� Mà: x + x + = �x  �  ; y2 + 2y + =  y  1   ; � 2� 2 � � 27 z - 3z + = �z  �  � 2� �y  � x  y  z  Vơ lí! Suy ra: x > � � �z  3 �y  � x  y  z  Vơ lí! Lý luận tương tự, x < � � �z  3 Hệ có nghiệm nhất: (1; 2; -3) Bài tập vận dụng Bài 1: Giải phương trình: a) (x - 2)3 + (x - 4)3 + (x - 7)3 - 3(x - 2)(x - 4)(x - 7) = b) (x2 + 3x - 4)3 + (2x2 - 5x + 3)3 = (3x2 - 2x - 1)3 c) 6x3 + 3x - = Hướng dẫn: b) (x2 + 3x - 4)3 + (2x2 - 5x + 3)3 = (3x2 - 2x - 1)3 � (x2 + 3x - 4)3 + (2x2 - 5x + 3)3 + (1 + 2x - 3x2)3 = Vì (x2 + 3x - 4) + (2x2 - 5x + 3) + (1 + 2x - 3x 2) = nên phương trình tương đương với: 3(x2 + 3x - 4)(2x2 - 5x + 3)(1 + 2x - 3x2) = Bài 2: Giải phương trình: a) (x - 3)3 + (2x - 3)3 = 27(x - 2)3 b) (x - 3)3 + (x + 1)3 = 8(x - 1)3 c) (ax + b)3 + (bx + a)3 = (a + b)3(x + 1)3 với ẩn x ab(a + b) � d) (3x - 2)3 - (x - 3)3 = (2x + 1)3 Hướng dẫn: b) (x - 3)3 + (x + 1)3 = 8(x - 1)3 � (x - 3)3 + (x + 1)3 + (2 - 2x)3 = � 3(x - 3)(x + 1)(2 - 2x) = Bài 3: Giải phương trình: a) x   x   x   b)  x     x       x   3 c) x  x   x  x   3x  x   x  3x  Hướng dẫn: c) Đặt a = x  x  3; b  x  x  3; c  3 x   x ; d  3 x  x  Ta có a3 + b3 + c3 = d3 (1) Phương trình cho trở thành a + b + c = d � (a + b + c)3 = d3 � a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) = d3 Kết hợp với (2) ta có (a + b)(b + c)(c + a) = - Với a + b = 0, suy 5x2 – 5x = � x = x = - Với b + c = 0, suy 2x2 – 6x – = � x   11  11 x = 2 11 - Với c + a = 0, suy x2 – 7x – = � x   69  69 x  2 Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt: �  69  69  11  11 � x �� 0;1; ; ; : � 2 2 � � Bài 4: Giải biện luận phương trình: ax3 + bx + c = với điều kiện: c 4b3  �0  a �0  a 27 a b c c b Hướng dẫn: ax3 + bx + c = � x3  x   � x3   3x  a a a 3a 3 � x  d  e  3xde  c b3 3  ) (với d , e hai nghiệm phương trình: X  X  a 27 a xd e0 � �� xd e � c 4b3   � d  e tập nghiệm S =  2d ; d  a 27a c 4b3  ۹ d e tập nghiệm S =  d ; e - Nếu  a 27a - Nếu Bài 5: Tìm nghiệm nguyên hệ phương trình: �x  y  z  (I ) � ( x  1)3  (2 y  3)3  (3 z  2)3  18 � ( x  1)  (2 y  3)  (3z  2)  � Hướng dẫn: ( I ) � � ( x  1)3  (2 y  3)3  (3z  2)3  18 � ( x  1)  (2 y  3)  (3 z  2)  � ( x  1)(2 y  3)(3 z  2)  � Hệ phương trình tương đương với: ( II ) � Vì x, y, z nguyên nên x - 1; 2y - 3; 3z - nguyên Do giá trị tuyệt đối số (x - 1), (2y - 3), (3z - 2) ước 6, nghĩa thuộc tập hợp  �1; �2; �3; �6 Từ để 3z - ngun 3z - = 3z - = -2 ( x  1)  (2 y  3)  1 � ( x  1)(2 y  3)  � a) Với 3z - = 1, thay vào hệ (II) hệ: � Vậy (x - 1); (2y - 3) nghiệm phương trình t2 + t + = Phương trình vơ nghiệm ( x  1)  (2 y  3)  � ( x  1)(2 y  3)  3 � b) Với 3z - = -2, thay vào hệ (II) hệ: � Vậy x - 1; 2y - nghiệm phương trình t2 - 2t - = Phương trình có hai nghiệm t1 = -1; t2 = Kết hợp với phương trình 3z - = -2 suy hệ phương trình (I) có hai nghiệm nguyên (x; y; z) (0; 3; 0); (4; 1; 0) 12 2.2.6 Chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 1: Cho a, b, c �0 Chứng minh rằng: a + b + c �3 abc (Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm) 3 Hướng dẫn: Ta có x + y + z – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) 1� 2 �x  y    y  z    z  x  � ��0 Đặt x = a , y  b , z  c ; x + y + z �0 a, b, c �0 Từ x3 + y3 + z3 – 3xyz �0 hay a + b + c �3 abc Ví dụ 2: Chứng minh: (a3 + b3 + c3 - 3abc)2 �(a2 + b2 + c2)3 x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx = Hướng dẫn: Đặt a2 + b2 + c2 = p, ab + bc + ca = q, a3 + b3 + c3 - 3abc = m Ta thâý rằng: p - q �0 m2 = (a + b + c)2(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)2 = (p + 2q)(p - q)2 Như thế: p3 - m2 = p3 - (p + 2q)(p - q)2 = 3pq2 - 2q3 = q2(3p - 2q) = q2(2p - 2q + p) �0  p  q �0, p �0  Suy đpcm Bài tập vận dụng Bài 1: Cho x, y thoả mãn x + y2 = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức x6 + y6 Bài 2: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 �a bc  b ca  c ab Hướng dẫn: (a3 + abc) + (b3 + abc) + (c3 + abc) �2 a 3abc  b3 abc  c3 abc   a bc  b ca  c ab  (1) 3 Mà a + b + c �3abc (2) 2 �0 �a  b    b  c    c  a  � (Vì (2) � (a  b  c) � � ) Cộng vế theo vế (1) (2), suy đpcm Bài 2: Cho x, y, z �0 Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 - 3xyz �4(x - y)(y - z)(z - x) (1) Hướng dẫn: Ta có (1) � (x + y + z)[(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2] - 8(x - y)(y - z)(z - x) �0 Đặt vế trái f(x; y; z) f đối xứng Giả sử z = min{x ; y ; z} Xét hiệu f(x ; y ; z) - f(x - z; y - z; 0) = 3z[(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2] �0 Suy f(x ; y ; z) �f(x – z ; y – z ; 0) Do ta cần chứng minh (1) trường hợp z = x, y �0 Khi bất đẳng thức (1) trở thành: x3 + y3 + 4xy(x - y) �0 (1’) 2 2 � � � Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có: y + 4x 4xy y + 4x y 4xy Kết hợp với x �0, suy (1’) 13 Vậy (1) chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z 2.2.7 Chứng minh chia hết Ví dụ 1: Chứng minh 321 - 224 - 68 - chia hết cho 1930 Giải: Đặt A = 321 - 224 - 68 - = (37)3 - (28)3 - 38.28 - = (37)3 - (28)3 - 13 - 3.37(-2)8.(-1) Áp dụng đẳng thức a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) a = 37, b = - 28, c = - 1, suy A chia hết cho 37 – 28 – = 1930 Ví dụ 2: Cho a + b + c = (a - b)(b - c)(c - a) Chứng minh (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 chia hết cho �x  a  b � Giải: Để thuận tiện ta sử dụng ẩn phụ: �y  b  c � x  y  z  �z  c  a � Khi đó: (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 = x3 + y3 + z3 = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) + 3xyz = 3(a - b)(b - c)(c - a) = 3(a + b + c) Từ đó, ta thấy (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 chia hết cho Nhận xét: Cũng với phương pháp cịn chứng minh toán tổng quát sau: Chứng minh với p số nguyên tố lẻ số: (a + b + c)p + (a - b - c)p + (b - c - a)p + (c - a - b)p chia hết cho 8pabc Chứng minh với p số nguyên tố lẻ số: (a - b)p + (b - c)p + (c - a)p chia hết cho p(a - b)(b - c)(c - a) Bài tập vận dụng Bài 1: Tìm m cho đa thức f(x) = x3 + y3 + z3 + mxyz chia hết cho đa thức x + y + z Giải: Giả sử phép chia f(x) cho x + y + z có thương q, đó: f(x) = (x + y + z).q với x, y, z � x3 + y3 + z3 + mxyz = (x + y + z).q với x (1) Chọn giá trị riêng x, y, z cho: x + y + z = 0, chẳng hạn x = 1, y = 1, z = - Ta được: - Với x = 1, y = 1, z = - thì: (1) � + - - 2m = � m = - - Thử lại, với m = - 3, ta được: x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) Vậy với m = - thoả mãn điều kiện đầu Bài 2: Cho x, y, z nguyên thoả mãn điều kiện x + y + z = (x - y)(y - z)(z - x) Chứng minh rằng: M = (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 chia hết cho 81 Hướng dẫn: Vì (x - y) + (y - z) + (z - x) = nên ta có: 14 (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x) Xét ba số dư phép chia x, y, z cho a) Nếu ba số dư khác (là 0, 1, 2) (x + y + z) chia hết cho Khi (x - y)(y - z)(z - x) không chia hết cho 3, trái với giả thiết b) Nếu có hai số dư x + y + z không chia hết cho 3, trong ba hiệu: (x - y), (y - z), (z - x) chia hết cho 3, trái với giả thiết c) Vậy trường hợp ba số x, y, z có số dư chia cho Lúc 3(x - y)(y - z)(z - x) chia hết cho 3.3.3.3 nên M chia hết cho 81 Bài 3: Cho x, y, z số nguyên khác Chứng minh x - yz = a, y2 - zx = b, z2 - xy = c tổng ax + by + cz chia hết cho tổng a + b + c Hướng dẫn: Ta có: ax = x3 - xyz, by = y3 - xyz, cz = z3 - 3xyz Từ đó: ax + by + cz = x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 - yz + y2 - xz + z2 - xy) = (x + y + z)(a + b + c) 2.2.8 Các dạng khác Ví dụ 1: Chứng minh a, b, c số nguyên khác thoả mãn điều kiện a b c    tích số abc lập phương số nguyên b c a a b c Hướng dẫn: Đặt x3  ; y  ; z  Từ giả thiết ta có: b c a x3 + y3 + z3 - 3xyz = hay (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) = Ta có hai trường hợp: 2 1) x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx = �  x  y    y  z    z  x   � x  y  z Từ dễ dàng suy a = b = c Do abc = a3, ta có đcm 2) x + y + z = 0, tức a 3b c   0 b c a Nhân hai vế đẳng thức với b2 c ac , ta hệ �3 abc  b  a 2b 2c � � a � �1 a 2b c  abc  c  �b Khử a 2b 2c hệ này, ta tính được:  a  b  abc  b(c  a ) (1) Do abc � nên a - b = (1) � a  b  c (khơng xảy x + y + z = 0) Nếu a - b �0 (1) � abc  b (c  a ) b (c  a ) � � � abc  � a b �a  b � � (2) (2) chứng tỏ abc lập phương số hữu tỉ Nhưng abc ngun nên lập phương số nguyên Vậy trường hợp, abc lập phương số nguyên (đpcm) Ví dụ 2: Biết xn + yn + zn = an + bn + cn với n = 1, 2, 3, chứng minh với số tự nhiên n 15 Hướng dẫn: Từ giả thiết biểu thức với n = 1, 2, 3, ta có: x+y+z=a+b+c (1) 2 2 2 x +y +z =a +b +z (2) 3 3 3 x +y +z =a +b +z (3) 2 Khi đó: (1) � (x + y + z) = (a + b + c) � x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) � xy + yz + zx = ab + bc + ca (4) 2 (3) � (x + y + z)(x + y + z - xy - yz - zx) + 3xyz = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab + bc + ca) + 3abc � xyz = abc (5) Từ (1), (4), (5) suy x, y, z nghiệm phương trình: t3 - (a + b + c)t2 + (ab + bc + ca)t - abc = ta � � � (t - a)(t - b)(t - c) = � � t b � t c � Như vậy, ta thấy (x, y, z) hốn vị (a, b, c), đó: xn + yn + zn = an + bn + cn với số tự nhiên n Ví dụ 3: Sai đâu? Trong sách có tốn: “Chứng minh abc � 1 a  b  c6    a+b+c= 3  abc ” với hướng dẫn sau: a b c a b c Ta có: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = (vì a + b + c = 0) � a3 + b3 + c3 = 3abc (1) 1    � ab  bc  ca  a b c � ac = -b(c + a) = -b(-b) (vì a + c = - b) � ac = b2 Từ Tương tự a2 = bc, c2 = ab Mặt khác a6 + b6 + c6 = 3a2b2c2 Từ (1) (2) suy ra: (2) a b c  abc (đpcm) a3  b3  c3 6 Hướng dẫn: Điều “không ổn” giả thiết toán 1    suy ac = b2, bc = a2, bc = c2 a b c � a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca = � a = b = c = 1 Mâu thuẫn với    Chứng tỏ không tồn a, b, c thoả mãn giả thiết hay a b c Thật vậy, từ a + b + c = giả thiết tốn phi lí Bài tập vận dụng 16 Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ vng góc Oxy, tìm tập hợp điểm A(x; y) cho x3 - y3 = 3xy + (1) x  y 1  � Hướng dẫn: (1) � x3 - y3 - = 3xy � � x   y  1 � Vậy tập hợp A đường thẳng x - y - = điểm A0(-1; 1) Bài 2: Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c thoả mãn a + b3 + c3 = 3abc Hỏi tam giác ABC tam giác gì? Bài 3: Tìm cơng thức tính nhanh tổng sau theo số tự nhiên k: S = 1.2.3 + 3.4.7 + 7.8.15 + + (2k - 1)2k(2k+1 - 1) Hướng dẫn: Vì (2k - 1) + 2k + (1 - 2k+1) = nên ta có: (2k - 1)3 + (2k)3 - (2k + - 1)3 = - 3(2k - 1)2k(2k+1 - 1) Ta có: -3S = (-3).1.2.3 + (-3).3.4.7 + (-3).7.8.15 + + (-3)(2k - 1)2k(2k+1 - 1) � - 3S = (1 + 23 - 33) + (33 + 43 - 73) + (73 + 83 - 153) + + (2k - 1)3 + + 23k - (2k+1 - 1)3 � - 3S = + 23 + 43 + 83 + + 23k - (2k+1 - 1)3 (1) 3 3 3k+3 k+1 � 24S = - - - - 16 - - + 8(2 - 1) (2) Cộng theo vế (1) (2) được: 21S = - S= 3k+3 + 7(2 k+1 - 1) hay S =  8k 1  1  2k 1 (2k 1  1) k (2  1)(2k 1  1)(2 k   1) C KẾT LUẬN Ý nghĩa đề tài Khi nghiên cứu xong đề tài tơi có tư liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn lớp 8, Tơi giảng dạy chuyên đề với đối tượng học sinh giỏi thấy việc áp dụng vào giảng dạy có hiệu Trong q trình dạy học, giáo viên đưa dạng tập phù hợp với chương trình tiết học với chủ đề tự chọn buổi dạy học bồi dưỡng Tuỳ đối tượng học sinh mà chọn cho phù hợp Và việc in ấn tài liệu cho học sinh tham khảo, giáo viên tổ chức cho học sinh tích cực, chủ động tự học để nắm vững nội dung chuyên đề Tôi thấy rằng, em học sinh hứng thú thầy cung cấp tư liệu hướng dẫn tự học Đa số em giỏi tiếp thu nội dung chuyên đề cách dễ dàng; em biết khai thác sâu toán, biết xâu chuỗi toán, biết vận dụng kiến thức bản, nâng cao để giải nhiều tốn khó, để học tốt nội dung kiến thức khác chương trình học; giúp em thêm tự tin, dành kết cao trình học tập kỳ thi học sinh giỏi cấp 17 Thực tế, qua nhiều năm giảng dạy tốn, tơi ln trọng hướng em tìm ứng dụng đẳng thức nâng cao, phương pháp giải, cách giải khác cho toán, giúp học sinh xâu chuỗi tốn Từ khơi dậy lịng say mê, niềm cảm hứng với nét độc đáo, niềm tin, niềm tự hào tự trang bị kiến thức cách hệ thống khoa học Nhờ tỉ lệ em hiểu bài, làm tăng lên rõ rêt Sau bảng thống kê kết kiểm tra dạng toán liên quan đến việc áp dụng đẳng thức nâng cao tổng ba lập phương học sinh sau áp dụng đề tài vào giảng dạy : Kết quả điểm kiểm tra Áp dụng đề tài Giỏi Kha Trung bình Yếu Ké m 2012 -2013 Đã ap dụng 15% 20% 45% 17% 3% 2013 -2014 Đã ap dụng 20% 30% 40% 10% 0% Năm học Những học kinh nghiệm - Qua đề tài nhận thấy muốn dạy cho học sinh hiểu vận dụng vấn đề đó, trước hết người thầy phải hiểu vấn đề cách sâu sắc Vì vậy, người thầy phải khơng ngừng nâng cao trình độ cho thân, phải ln học hỏi, tìm tịi, đào sâu suy nghĩ toán, phân dạng toán, xâu chuỗi toán Giáo viên cần chủ động phát toán bản, đẳng thức có nhiều ứng dụng tập hợp ứng dụng đó, viết thành tư liệu dành cho học sinh tham khảo Đó phương pháp học mang lại hiệu cao công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán - Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh có kỹ thường xuyên lưu ý; liên hệ toán “mới” với toán biết, giúp học sinh phát rằng, tốn khơng cịn em nhanh chóng xếp loại tốn, từ định hướng phương pháp giải 18 - Nên cấu tạo tập toán đa dạng phong phú (với mục đích vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kiểm tra lực toán học, ) để phù hợp với phương pháp dạy học đổi theo hướng tích cực, độc lập, sáng tạo - Trong q trình dạy học tốn, việc tìm lời giải tốn khơng mục đích mà cịn sở để đề xuất toán Phát triển kết công việc thú vị người làm toán Từ kết đơn giản ban đầu, phát triển thông minh sáng tạo, ta đến kết bất ngờ sâu sắc Trên tơi trình bày số ứng dụng đẳng thức tổng ba lập phương với mong muốn đóng góp phần nhỏ vào trình đổi nội dung, phương pháp dạy học toán trường Trung học sở nhằm giúp học sinh đạt kết cao học tập Có thể đề tài cịn có hạn chế, thiếu sót, mong đóng gớp ý kiến quý thầy cô bạn để đề tài hồn thiện có tác dụng Tôi xin chân thành cảm ơn! Thang năm 2014 19 CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐỀ TÀI: KHAI THÁC CÔNG DỤNG CỦA HẰNG ĐẲNG THỨC TỔNG BA LẬP PHƯƠNG Quảng Bình, tháng năm 2014 20 CỘNG HỊA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐỀ TÀI: KHAI THÁC CÔNG DỤNG CỦA HẰNG ĐẲNG THỨC TỔNG BA LẬP PHƯƠNG Họ tên: Nguyễn Khánh Hiển Chức vụ : Tổ phó_Tổ KHTN Đơn vị : THCS Quảng Lộc Quảng Bình, tháng năm 2014 21 ... đẳng thức tổng ba lập phương để giải Giáo viên đưa tập tương tự, tập vận dụng để học sinh tự giải Hằng đẳng thức tổng ba lập phương sử dụng để giải nhiều tốn thuộc dạng sau: 1) Phân tích đa thức. .. dạng đẳng thức tổng ba lập phương Nếu giáo viên chưa khai thác sâu kiến thức bản, học sinh chưa kịp thời bổ sung kiến thức nâng cao; chưa đào sâu suy nghĩ để tìm cách vận dụng linh hoạt đẳng thức. .. thành nhân tử 2) Rút gọn biểu thức Tính giá trị biểu thức 3) Chứng minh đẳng thức 4) Trục thức mẫu 5) Giải phương trình Giải hệ phương trình 6) Chứng minh bất đẳng thức 7) Chứng minh chia hết 8)