CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN SO SÁNH HAI LUỸ THỪA potx

CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN SO SÁNH HAI LUỸ THỪA 1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ. + Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. + Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn. 2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân. (a<b thì a.c<b.c với c>0). Ví dụ: So sánh 32 10 và 16 15 , số nào lớn hơn. Hướng dẫn: Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nhưng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm cách đưa 32 10 và 16 15 về luỹ thừa cùng cơ số 2. 32 10 = (2 5 ) 10 = 2 50 16 15 = (2 4 ) 15 = 2 60 Vì 2 50 < 2 60 suy ra 32 10 < 16 15 . Bài tập 1: So sánh: Bài 1: So sánh các số sau? a) 27 11 và 81 8 . b) 625 5 và 125 7 c) 5 36 và 11 24 d) 3 2n và 2 3n (n  N * ) Hướng dẫn: a) Đưa về cùng cơ số 3. b) Đưa về cùng cơ số 5. c) Đưa về cùng số mũ 12. d) Đưa về cùng số mũ n Bài 2: a) 5 23 và 6.5 22 b) 7.2 13 và 2 16 c) 21 15 và 27 5 .49 8 Hướng dẫn: a) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 5 22 . b) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 2 13 . c) Đưa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3. Bài 3: a) 199 20 và 2003 15 . b) 3 39 và 11 21 . Hướng dẫn : a) 199 20 < 200 20 = (2 3 .5 2 ) 20 = 2 60 . 5 40 . 2003 15 > 2000 15 = (2.10 3 ) 15 = (2 4 . 5 3 ) 15 = 2 60 .5 45 b) 3 39 <3 40 = (3 2 ) 20 = 9 20 <11 21 . Bài 4: So sánh 2 hiệu,hiệu nào lớn hơn? 72 45 -72 44 và 72 44 -72 43 . Hướng dẫn: 72 45 -72 44 =72 45 (72-1)=72 45 .71. 72 44 -72 44 =72 44 (72-1)=72 44 .71. Bài 5: 2 7 và 7 2 Ta có: 2 7 = 128 ; 7 2 = 49 Vì 128 > 49 nên 2 7 > 7 2 Bài 6 a) 9 5 và 27 3 b) 3 200 và 2 300 a) Ta có: 9 5 = (3 2 ) 5 = 3 10 27 3 = (3 3 ) 3 = 3 9 Vì 3 10 > 3 9 nên 9 5 > 27 3 b) Ta có: 3 200 = (3 2 ) 100 = 9 100 2 300 = (2 3 ) 100 = 8 100 Vì 9 100 > 8 100 ; nên 3 200 > 2 300 c, 3 500 và 7 300 3 500 = 3 5.100 = (3 5 ) 100 = 243 100 Nếu m>n thì a m >a n (a>1). Nếu a>b thì a n >b n ( n>0). 7 300 = 7 3.100 . (7 3 ) 100 = (343) 100 Vì 243 100 < 343 100 => 3 500 < 7 300 d, 8 5 và 3 . 4 7 . 8 5 = (2 3 )+5 = 2 15 <3.2 14 = 3.4 7 => 8 5 < 3 . 4 7 e, 202 303 và 303 202 202 303 =(202 3 ) 201 ; 303 202 = (303 2 ) 101 Ta so sánh 202 3 và 303 2 202 3 = 2 3 . 101 . 101 3 và 303 2 => 303 2 < 202 3 303 2 = 3 3 . 101 2 = 9.101 2 vậy 303 202 < 2002 303 f, 3 21 và 2 31 3 21 = 3 . 3 20 = 3. 9 10 ; 2 31 = 2 . 2 30 = 2 . 8 10 3 . 9 10 > 2 . 8 10 => 3 21 > 2 31 g, 11 1979 < 111980 = (11 3 ) 660 = 1331 660 37 1320 = (37 2 ) 660 = 1369 660 Vì 1369 660 > 1331 660 => 37 1320 > 11 1979 Bài 7: So sách các cặp số sau: a/ A = 27 5 và B = 243 3 Ta có A = 27 5 = (3 3 ) 5 = 3 15 và B = (3 5 ) 3 = 3 15 Vậy A = B b/ A = 2 300 và B = 3 200 A = 2 300 = 3 3.100 = 8 100 và B = 3 200 = 3 2.100 = 9 100 Vì 8 < 9 nên 8 100 < 9 100 và A < B. Bài 8: So sánh hai luỹ thừa sau: 31 11 và 17 14 Ta thấy 31 11 < 32 11 = (2 5 ) 11 = 2 55 (1) 17 14 > 16 14 = (2 4 ) 14 = 2 56 (2) Từ (1) và (2) 3 11 < 2 55 < 2 56 < 17 14 nên 31 11 < 17 14 Bài 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn a) 30 10 và 100 2 b) 444 333 và 333 444 c) 40 13 và 161 2 d) 300 5 và 453 3 Bài 2: So sánh các số sau a) 217 5 và 72 119 b) 100 2 và 9 1024 c) 12 9 và 7 27 d) 80 125 và 118 25 e) 40 5 và 10 620 f) 11 27 và 8 81 Bài 3: So sánh các số sau a) 36 5 và 24 11 b) 5 625 và 7 125 c) 2 3 n và 3 2 n * ( ) n N  d) 23 5 và 22 6.5 Bài 4: So sánh các số sau a) 13 7.2 và 16 2 b) 15 21 và 5 8 27 .49 c) 20 199 và 15 2003 d) 39 3 và 21 11 Bài 5: So sánh các số sau a) 45 44 72 72  và 44 43 72 72  b) 500 2 và 200 5 c) 11 31 và 14 17 d) 24680 3 và 37020 2 e) 1050 2 và 450 5 g) 2 5 n và 5 2 ;( ) n n N  Bài 6: So sánh các số sau a) 500 3 và 300 7 b) 5 8 và 7 3.4 c) 20 99 và 10 9999 d) 303 202 và 202 303 e) 21 3 và 31 2 g) 1979 11 và 1320 37 h) 10 10 và 5 48.50 i) 10 9 1990 1990  và 10 1991 Bài 7: So sánh các số sau a) 50 107 và 75 73 b) 91 2 và 35 5 c) 4 54 và 12 21 Bài 8: Tìm xem 2 100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân Bài giải: Muốn biết 2 100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân ta so sánh 2 100 với 10 30 và 10 31 . * So sánh 2 100 với 10 30 Ta có: 2 100 = (2 10 ) 10 = 1024 10 10 30 = (10 3 ) 10 = 1000 10 Vì 1024 10 > 1000 10 nên 2 100 > 10 30 (*) * So sánh 2 100 với 10 31 Ta có: 2 100 = 2 31 . 2 69 = 2 31 . 2 63 . 2 6 = 2 31 . (2 9 ) 7 . (2 2 ) 3 = 2 31 .512 7 . 4 3 (1) 10 31 = 2 31 . 5 31 = 2 31 . 5 28 . 5 3 = 2 31 (5 4 ) 7 . 5 3 = 2 31 . 625 7 . 5 3 (2) Từ (1) và (2) ta có: 2 31 . 512 7 . 4 3 < 2 31 . 512 7 . 5 3 Hay 2 100 < 10 31 ( **) Từ (*),( **) ta có: 10 31 < 2 100 < 10 31 Số có 31 chữ số nhỏ nhất Số có 32 chữ số nhỏ nhất Nên 2 100 có 31 chữ số trong cách viết ở hệ thập phân. Bài 10: So sánh A và B biết. a) A = 519 519 31 30   ; B = 519 519 32 31   b) 32 32 20 18   ; B = 32 32 22 20   c) A = 82 92 5 551 5 551   ; B = 82 92 3 331 3 331   Bài giải: A = 519 519 31 30   Nên 19A = 519 )519.(19 31 30   = 519 9519 31 31   = 1 + 519 90 31  B = 519 519 32 31   nên 19B = 519 )519.(19 32 31   = 519 9519 32 32   = 1 + 519 90 32  Vì 519 90 31  > 519 90 32  Suy ra 1 + 519 90 31  > 1 + 519 90 32  Hay 19A > 19B Nên A > B b) A = 32 32 20 18   nên 2 2 . A = 32 )32.(2 22 182   = 32 122 20 20   = 1 - 32 9 20  B = 32 32 22 20   nên 2 2. B = 32 )32.(2 22 202   = 32 122 22 22   = 1- 32 9 22  Vì 32 9 20  > 32 9 22  Suy ra 1 - 32 9 20  < 1- 32 9 22  Hay 2 2 A < 2 2 B Nên A < B c) Ta có: A = 82 92 5 551 5 551   = )1(55 5 551 1 5 551 )5 551(51 5 551 )5 55(1 8282 82 82 92         Tương tự B = )2(43 3 331 1 82   Từ (1) và (2) Ta có A = 82 5 551 1  + 5 > 5 > 4 > 82 3 331 1  + 3 =B nên A > B Bài tập 10: Cho A = 1 + 2 + 2 2 + +2 30 Viết A + 1 dưới dạng một lũy thừa Bài 4: Tìm x  N biết a) 1 3 + 2 3 + 3 3 + + 10 3 = ( x +1) 2 b) 1 + 3 + 5 + + 99 = (x -2) 2 Bài giải: a) 1 3 + 2 3 + 3 3 + + 10 3 = (x +1) 2 ( 1+ 2 + 3+ + 10) 2 = ( x +1) 2 55 2 = ( x +1) 2 55 = x +1 x = 55- 1 x = 54 b) 1 + 3 + 5 + + 99 = ( x -2) 2 2 1 2 199         = ( x - 2) 2 50 2 = ( x -2 ) 2 50 = x -2 x = 50 + 2 x = 52 ( Ta có: 1 + 3 + 5+ + ( 2 n+1 ) = n 2 ) Bài 5: Tìm 1 cặp x ; y  N thoả mãn 7 3 = x 2 - y 2 Ta thấy: 7 3 = x 2 - y 2 ( 1 3 + 2 3 + 3 3 + +7 3 ) - (1 3 + 2 3 + 3 3 + + 6 3 ) = x 2 - y 2 (1+ 2 + 3 + + 7) 2 - (1 + 2 + 3 + + 6) 2 = x 2 - y 2 28 2 - 21 2 = x 2 - y 2 Vậy 1 cặp x; y thoả mãn là: x = 28; y = 21 Bài 2: Tìm x  N * biết. A = 111 1 - 777 7 là số chính phương 2 x chữ số 1 x chữ số 7 Bài giải: + Nếu x = 1 Ta có: A = 11 - 7 = 4 = 2 2 (TM) + Nếu x > 1 Ta có A = 111 1 - 777 7 = 34  2 2x chữ số 1 x chữ số 7 mà 34  4 Suy ra A không phải là số chính phương ( loại) Vậy x = 1 c) Dùng tính chất chia hết Bài 1: Tìm x; y N biết: 35 x + 9 = 2. 5 y *)Nếu x = 0 ta có: 35 0 + 9 = 2.5 y 10 = 2.5 y 5 y = 5 y =1 *) Nếu x >0 + Nếu y = 0 ta có: 35 x + 9 = 2.5 0 35 x + 9 = 2 ( vô lý) + Nếu y > 0 ta thấy: 35 x + 9  5 vì ( 35 x  5 ; 9  5 ) Mà 2. 5 y  5 ( vô lý vì 35 x + 9 = 2.5 y ) Vậy x = 0 và y = 1 Bài 1: Tính tổng. A = 1 + 2 + 2 2 + + 2 100 B = 3 - 3 2 + 3 3 - - 3 100 Bài giải: A = 1 + 2 + 2 2 + + 2 100 => 2A = 2 + 2 2 + 2 3 + + 2 101 => 2A - A = (2 + 2 2 + 2 3 + + 2 101 ) – (1 +2 + 2 2 + +2 100 ) Vậy A = 2 101 - 1 B = 3 - 3 2 - 3 3 - 3 100 => 3B = 3 2 - 3 3 + 3 4 - 3 101 B + 3B = (3 - 3 3 + 3 3 ) - 3 100 ) + ( 3 2 - 2 3 +3 4 - - 3 101 ) 4B = 3 - 3 101 Vậy B = ( 3- 3 101 ) : 4 Bài 2: a) Viết các tổng sau thành một tích: 2 2 2  ; 2 3 2 2 2   ; 2 3 4 2 2 2 2    b) Chứng minh rằng: 2 3 2004 2 2 2 2 A      chia hết cho 3; 7 và 15. Bài 3: a) Viết tổng sau thành một tích 4 5 6 7 3 3 3 3    b) Chứng minh rằng: 2 99 1 3 3 3 40 B      M Bài 4: Chứng minh rằng: a) 2 3 2004 1 5 5 5 5 6;31;156 S      M b) 2 3 100 2 2 2 2 2 31 S      M c) 5 15 3 16 2 33 s   M Bài 5 Tính các tổng sau bằng cách hợp lý. a) 0 1 2 2006 2 2 2 2 A      b) 2 100 1 3 3 3 B      c) 2 3 4 4 4 4 n C      d) 2 2000 1 5 5 5 D      Bài 6 Cho 2 3 200 1 2 2 2 2 A       . Hãy viết A+1 dưới dạng một luỹ thừa. Bài 7 Cho 2 3 2005 3 3 3 3 B      . CMR: 2B+3 là luỹ thừa của 3. Bài 8 Cho 2 3 2005 4 2 2 2 C      . CMR: C là một luỹ thừa của 2. Bài 9: Chứng minh rằng: a) 5 4 3 5 5 5 7   M b) 6 5 4 7 7 7 11   M c) 9 8 7 10 10 10 222   M e) 6 7 10 5 59  M g) 2 2 * 3 2 3 2 10 n n n n n N       M h) 7 9 13 81 27 9 45   M i) 10 9 8 8 8 8 55   M k) 9 8 7 10 10 10 555   M Bài 10 Tính nhanh a. S = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + + 2 62 + 2 63 b. S = 1 + 3 +3 2 + 3 3 + + 3 20 c. S = 1 + 4 + 4 2 + 4 3 + + 4 49 Bài 11 Tính tổng a) A = 1 + 5 2 + 5 4 + 5 6 + + 5 200 b) B = 7 - 7 4 + 7 4 + 7 301 Bài giải: a) A = 1 + 5 2 + 5 4 + 5 6 + + 5 200 25 A = 5 2 + 5 4 + + 5 202 25 A - A = 5 202 - 1 Vậy A = ( 5 202 -1) : 24 b) Tương tự B = 17 17 3 304   Bài 3: Tính A = 7 1 + 2 7 1 + 3 7 1 + + 100 7 1 B = 5 4  + 2 5 4 - 3 5 4 + + 200 5 4 Bài giải: A = 7 1 + 2 7 1 + 3 7 1 + + 100 7 1 7A = 1 + 7 1 + 2 7 1 + + 99 7 1 => 7A - A = 1 - 100 7 1 A =        100 7 1 1 : 6 B = 5 4  + 2 5 4 - 3 5 4 + + 200 5 4 5B = -4 + 5 4 + 3 5 4 + + 201 5 4 B+5B = -4 + 200 5 4 B =        200 5 4 4 : 6 Bài 3: Tính A = 125 252525 125 252525 2262830 4202428   Bài giải: Biến đổi mẫu số ta có: 25 30 + 25 28 + 25 26 + +25 2 + 1 = (25 28 + 25 24 + 25 20 + +1)+ ( 25 30 + 25 26 +25 22 + +25 2 ) = (25 28 + 25 24 + 25 20 + 1) +25 2 . (25 28 + 25 26 + 25 22 + + 1) = (25 28 + 25 24 + 25 20 + +1) . (1 + 25 2 ) Vậy A = 2 251 1  = 626 1 Bài tập 11: Viết 2 100 là một số có bao nhiêu chữ số khi tính giá trị của nó. Bài tập 13: Tìm số tự nhiên abc biết (a + b + c) 3 = abc (a  b  c) Bài tập 14: Có hay không số tự nhiên abcd (a + b + c + d) 4 = abcd . CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN SO SÁNH HAI LUỸ THỪA 1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ. + Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ. luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. + Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn. 2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa. c>0). Ví dụ: So sánh 32 10 và 16 15 , số nào lớn hơn. Hướng dẫn: Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nhưng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm cách đưa 32 10 và 16 15 về luỹ thừa cùng cơ số