CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN SO SÁNH HAI LUỸ THỪA

Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ. + Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. Nếu mn thì aman (a1). + Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn. Nếu ab thì anbn ( n0). 2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn...

49 nên 27 > 72 a) 19920 < 20020 = (23 52)20 = 260 540 Bài a) 95 273 b) 3200 2300 200315 > 200015 = (2.103)15 = (24 53)15 = a) Ta có: 95 = (32)5 = 310 260.545 273 = (33 )3 = 39 b) 339 273 Bài 4: So sánh hiệu,hiệu lớn hơn? b) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100 72 45-7244và 72 44-7243 2300 = (23) 100 = 8100 Hướng dẫn: Vì 9100 > 8100 ; nên 3200 > 2300 c, 3500 7300 7245-7244=7245(72-1)=7245.71 7244-7244=7244(72-1)=7244.71 3500 = 35.100 = (35)100 = 243100 7300 = 73.100 (73 )100 = (343)100 Vì 243100 < 343100 => 3500 < 7300 d, 85 47 85 = (23)+5 = 215 85 < 47 e, 202303 303202 202303 =(2023)201 ; 303202 = (3032)101 Ta so sánh 2023 3032 2023 = 23 101 1013 3032 => 3032 < 2023 3032 = 33 1012 = 9.1012 303202 < 2002303 f, 321 231 321 = 20 = 910 ; 231 = 230 = 810 910> 810 => 321 > 231 g, 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 371320 = (372)660 = 1369660 Vì 1369660 > 1331660 => 371320 > 111979 Bài 7: So sách cặp số sau: a/ A = 275 B = 2433 Ta có A = 275 = (33)5 = 315 B = (35)3 = 315 Vậy A = B b/ A = 300 B = 3200 A = 300 = 33.100 = 8100 B = 3200 = 32.100 = 9100 Vì < nên 8100 < 9100 A < B Bài 8: So sánh hai luỹ thừa sau: 3111 1714 Ta thấy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1) 1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2) Từ (1) (2) 311 < 255 < 256 < 1714 nên 3111 < 1714 Bài 1: So sánh số sau, số lớn a) 1030 2100 b) 333444 444333 c) 1340 2161 d) 5300 3453 Bài 2: So sánh số sau a) 5217 11972 b) 2100 10249 c) 912 27 d) 12580 25118 e) 540 62010 f) 2711 818 Bài 3: So sánh số sau a) 536 1124 b) 6255 1257 c) 32n 23n (n  N * ) d) 523 6.522 Bài 4: So sánh số sau a) 7.213 216 b) 2115 275.498 c) 199 20 200315 d) 339 1121 Bài 5: So sánh số sau a) 7245  7244 7244  7243 b) 2500 5200 c) 3111 1714 d) 324680 237020 e) 21050 5450 g) 52 n 25 n ; ( n  N ) Bài 6: So sánh số sau a) 3500 7300 999910 d) 202303 303202 371320 h) 1010 48.505 Bài 7: So sánh số sau a) 10750 7375 b) 85 3.47 c) 9920 e) 321 231 g) 111979 i) 199010  19909 199110 b) 291 535 c) 544 2112 2100 Bài 8: Tìm xem 2100 có chữ số cách viết hệ thập phân Bài giải: 100 Muốn biết có chữ số cách viết hệ thập phân ta so sánh với 1030 1031 * So sánh 2100 với 1030 Ta có: 2100 = (210)10 = 1024 10 1030 = (103)10 = 100010 Vì 102410 > 100010 nên 2100 > 1030 (*) * So sánh 2100 với 1031 Ta có: 2100 = 231 269 = 231 263 26 = 231 (29)7 (22)3 = 231 5127 43 (1) 1031 = 231 531 = 231 528 53 = 231 (54 )7 53 = 231 6257 53 (2) Từ (1) (2) ta có: 231 5127 43 < 231 5127 53 Hay 2100 < 1031 ( **) Từ (*),( **) ta có: 1031 < 2100 < 1031 Số có 31 chữ số nhỏ Số có 32 chữ số nhỏ 100 Nên có 31 chữ số cách viết hệ thập phân Bài 10: So sánh A B biết a) A = 19 30  19 31  ; B = 19 31  19 32  218  20  ; B = 20  22          c) A = ; B =         b) Bài giải: 19.(19 30  5) 19  19 31  95 90 Nên 19A = = = + 31 31 31 31 19  19  19  19  31 31 32 19.(19  5) 19  19  95 90 B = 32 nên 19B = = = + 19  19 32  19 32  19 32  90 90 Vì 31 > 32 19  19  30 A= 90 90 > + 32 Hay 19A > 19B Nên A > B 19  19  2 (218  3) 218  20  12 b) A = 20 nên A = = 20 = - 20 22 3 3 3 3 20 20 22 (2  3) 3  12 B = 22 nên 22.B = = 22 = 1- 22 22 3 3 3 3 9 9 Vì 20 > 22 Suy - 20 < 1- 22 Hay 22 A < 22 3 3 3 3 Suy + 31 B Nên A < B c) Ta có:     A= =      (5    )  5(1     )     (1) 8             Tương tự B =   ( 2) Từ (1) (2) Ta có     1 A= +5>5>4> + =B nên A > B         Bài tập 10: Cho A = + + 22 + +230 Viết A + dạng lũy thừa Bài 4: Tìm x  N biết a) 13 + 23 + 33 + + 103 = ( x +1)2 b) + + + + 99 = (x -2)2 Bài giải: 3 3 a) + + + + 10 = (x +1)2 ( 1+ + 3+ + 10)2 = ( x +1)2 552 = ( x +1) 55 = x +1 x = 55- x = 54 b) + + + + 99 = ( x -2)2  99    1 = ( x - 2)    502 = ( x -2 )2 50 = x -2 x = 50 + x = 52 ( Ta có: + + 5+ + ( 2n+1) = n2) Bài 5: Tìm cặp x ; y  N thoả mãn 73 = x2 - y2 Ta thấy: 73 = x2 - y2 ( 13 + 23 + 33 + +73) - (13+ 23+ 33+ + 63) = x2 - y2 (1+ + + + 7)2 - (1 + + + + 6)2 = x2 - y2 282 - 212 = x2 - y2 Vậy cặp x; y thoả mãn là: x = 28; y = 21 Bài 2: Tìm x  N* biết A = 111 - 777 số phương x chữ số x chữ số Bài giải: + Nếu x = Ta có: A = 11 - = = 22 (TM) + Nếu x > Ta có A = 111 - 777 = 34  2x chữ số x chữ số mà 34  Suy A khơng phải số phương ( loại) Vậy x = c) Dùng tính chất chia hết Bài 1: Tìm x; y N biết: 35x + = 5y *)Nếu x = ta có: 350 + = 2.5y 10 = 2.5y 5y = y =1 *) Nếu x >0 + Nếu y = ta có: 35x + = 2.50 35x + = ( vô lý) + Nếu y > ta thấy: 35x +  ( 35x  ;  ) Mà 5y  ( vơ lý 35x + = 2.5y) Vậy x = y = Bài 1: Tính tổng A = + + 22+ + 2100 B = - 32 + 33 - - 3100 Bài giải: 100 A = + + + + => 2A = + 22 + 23 + + 2101 => 2A - A = (2 + 22 + 23 + + 2101 ) – (1 +2 + 22+ +2100) Vậy A = 2101 - B = - 32 - 33 - - 3100 => 3B = 32 - 33 + 34 - - 3101 B + 3B = (3 - 33 + 33) - - 3100) + ( 32 - 23 +34 - - 3101) 4B = - 3101 Vậy B = ( 3- 3101) : Bài 2: a) Viết tổng sau thành tích:  22 ;  22  23 ;  22  23  24 b) Chứng minh rằng: A   22  23   22004 chia hết cho 3; 15 Bài 3: a) Viết tổng sau thành tích 34  35  36  37 b) Chứng minh rằng: B    32   399 M40 Bài 4: Chứng minh rằng: a) S1   52  53   52004 M6;31;156 b) S   22  23   2100 M31 c) s3  165  215 M33 Bài Tính tổng sau cách hợp lý a) A  20  21  22   22006 b) B    32   3100 c) C   42  43   4n d) D    52   52000 Bài Cho A    22  23   2200 Hãy viết A+1 dạng luỹ thừa Bài Cho B   32  33   32005 CMR: 2B+3 luỹ thừa Bài Cho C   22  23   22005 CMR: C luỹ thừa Bài 9: Chứng minh rằng: a) 55  54  53 M7 b) 76  75  M 11 c) 109  108  107 M222 e) 106  57 M59 g) 3n  2n   3n  2n M 10n  N * h) 817  279  913 M45 i) 810  89  88 M55 k) 109  108  107 M555 Bài 10 Tính nhanh a S = + + 22 + 23 + + 262 + 263 b S = + +32+ 33+ + 320 c S = + + 42 + 43+ + 449 Bài 11 Tính tổng a) A = + 52 + 54 + 56 + + 5200 b) B = - 74 + 74 - + 7301 Bài giải: 200 a) A = + + + + + 25 A = 52 + 54+ + 5202 25 A - A = 5202 - Vậy A = ( 5202 -1) : 24 b) Tương tự B= 304  73 1 Bài 3: Tính 1 1 + + + + 100 7 7 4 4 B =  + - + + 200 5 5 A= Bài giải: 1 1 + + + + 100 7 7 1 7A = + + + + 99 7 1 => 7A - A = - 100 A = 1  100  :   4 4 B =  + - + + 200 5 5 4 5B = -4 + + + + 201 5 B+5B = -4 + 200   B =    200  :   A= Bài 3: Tính A = 25 28  25 24  25 20   25  25 30  25 28  25 26   25  Bài giải: Biến đổi mẫu số ta có: 2530 + 2528 + 2526 + +252 + = (2528 + 2524 + 2520 + +1)+ ( 2530 + 2526 +2522+ +252) = (2528 + 2524+ 2520+ 1) +252 (2528+ 2526+ 2522+ + 1) = (2528+ 2524 + 2520+ +1) (1 + 252) Vậy A = 1  25 = 626 Bài tập 11: Viết 2100 số có chữ số tính giá trị Bài tập 13: Tìm số tự nhiên abc biết (a + b + c)3 = abc (a  b  c) Bài tập 14: Có hay không số tự nhiên abcd (a + b + c + d)4 = abcd ...  52   52000 Bài Cho A    22  23   2200 Hãy viết A+1 dạng luỹ thừa Bài Cho B   32  33   32005 CMR: 2B+3 luỹ thừa Bài Cho C   22  23   22005 CMR: C luỹ thừa Bài 9: Chứng minh... 9100 A < B Bài 8: So sánh hai luỹ thừa sau: 3111 1714 Ta thấy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1) 1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2) Từ (1) (2) 311 < 255 < 256 < 1714 nên 3111 < 1714 Bài 1: So sánh số sau,... 291 535 c) 544 2112 2100 Bài 8: Tìm xem 2100 có chữ số cách viết hệ thập phân Bài giải: 100 Muốn biết có chữ số cách viết hệ thập phân ta so sánh với 1030 1031 * So sánh 2100 với 1030 Ta có: