- 1 - SO SáNH HAI LũY THừA LũY THừA VớI Số Mũ Tự NHIÊN A/ KIếN THứC CƠ BảN: 1. Định nghĩa: n a = a.a .a ( n N*) n thừa số 2. Quy ớc: a 1 = a ; a 0 = 1 ( a 0) 3. Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số: . ( , *) : ( , *, , 0) m n m n m n m n a a a m n N a a a m n N m n a + = = 4.Lũy thừa của một tích: (a.b) n = a n . b n 5. Lũy thừa của một lũy thừa: ( a m ) n = a m.n 6. Lũy thừa tầng: ( ) n n m m a a= 7. Số chính phơng là số mà bằng bình phơng của một số tự nhiên. Ví dụ: các số 0; 1; 4; 9; 16; 25; . là các số chính ph ơng. B/ Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm x biết: 2.3 x = 162 Giải: 2.3 x = 162 => 3 x = 162 :2 3 x = 81= 3 4 => x = 4 Ví dụ 2: Viết tích sau dới dạng một lũy thừa: 2 5 . 8 4 Giải: 2 5 . 8 4 = 2 5 . (2 3 ) 4 = 2 5 . 2 12 = 2 17 C/ Bài tập: 1) Tìm x N biết: a/ 2 x 15 = 17 b/ (7x -11 ) 3 = 2 5 .5 2 + 200 2) Trong các số sau, những số nào bằng nhau, số nào nhỏ nhất, số nào lớn nhất? 2 4 ; 3 4 ; 4 2 ; 4 3 ; 99 0 ; 0 99 ; 1 n ( n là số tự nhiên khác 0) 3) Viết số 729 dới dạng một lũy thừa với 3 cơ số khác nhau và số mũ lớn hơn 1. 4) Chứng tỏ mỗi tổng hoặc hiệu sau là một số chính phơng: a) 3 2 + 4 2 b) 13 2 5 2 c) 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 Giải: 1) a/ 2 x 15 = 17 => 2 x = 32 => 2 x = 2 5 => x = 5 b/ (7x -11 ) 3 = 2 5 .5 2 + 200 (7x -11 ) 3 =1000 (7x -11 ) 3 = 10 3 7x 11 = 10 x = 3 2) HS tự giải 3) 729 = 27 2 = 9 3 = 3 6 4) Ta có: a) 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 2 . Vậy tổng 3 2 + 4 2 là một số chính phơng. b) 13 2 5 2 = 169 - 25 = 144 = 12 2 Vậy hiệu 13 2 - 5 2 là một số chính phơng. c) 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10 2 . - 2 - Vậy tổng 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 là một số chính phơng. Bài tập 1) Viết các tổng hoặc hiệu sau đây dới dạng một lũy thừa với số mũ lớn hơn 1. a/ 17 2 -15 2 b/ 4 3 2 3 + 5 2 2) Viết dới dạng một lũy thừa của một số: a/ 25 6 .125 3 b/ 625 5 : 25 7 c/ 12 3 . 3 3 3) Tìm x N biết: a) (2x + 1) 3 = 125 b) (x 5) 4 = (x - 5) 6 c) x 15 = x d/ x 10 = x e/ (2x -15) 5 = (2x -15) 3 . 4) Tính 3 3 1 2 2 3 1 )2 , )6 , ) 7a b c 5) Tính giá trị của biểu thức: A = 2 7 15 14 2 11.3 .3 9 (2.3 ) Giải: 1/ a) 17 2 -15 2 = 64 = 8 2 = 4 3 = 2 6 b) 4 3 2 3 + 5 2 = 81 = 9 2 = 3 4 2) a/ 25 6 .125 3 = (5 2 ) 6 .(5 3 ) 3 = 5 12 .5 9 = 5 21 b/ 625 5 : 25 7 = 5 6 c/ 12 3 . 3 3 = 6 6 3) a) (2x + 1) 3 = 125 (2x + 1) 3 = 5 3 2x + 1 = 5 2x = 4 x = 2 b) (x 5) 4 = (x - 5) 6 (x 5) 6 - (x - 5) 4 = 0 (x 5) 4 2 (x - 5) 1 = 0 . x = 5 hoặc x = 6 c) x 15 = x x 15 x = 0 x(x 14 1) = 0 x = 0 hoặc x = 1 d/ x 10 = x x 10 x = 0 x( x 9 1) = 0 x = 0 hoặc x 9 - 1 = 0 x = 0 hoặc x = 1 e/ (2x -15) 5 = (2x -15) 3 (2x -15) 5 - (2x -15) 3 = 0 (2x -15) 3 2 (2x -15) 1 = 0 (2x -15) 3 = 0 hoặc (2x -15) 3 1 = 0 2x 15 = 0 hoặc 2x 15 = 1 x = 15: 2 = 7,5 hoặc x = 8 - 3 - 3 1 3 2 8 2 8 3 3 1 1 1 4) ) 2 2 256. ) 6 6 216. ) 7 7 7 7 a b c = = = = = = = 5) Có: A = 22 7 15 29 2 15 28 2 14 2 2 28 28 11.3 .3 9 11.3 (3 ) 3 (11.3 3 ) 24 6 (2.3 ) 2 .3 4.3 4 = = = = SO SáNH HAI LũY THừA A) KIếN THứC CƠ BảN: 1) Để so sánh hai lũy thừa, ta thờng đa chúng về dạng hai lũy thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) hoặc cùng số mũ (lớn hơn 0) rồi mới so sánh. Nếu a m = a n thì m = n, hoặc nếu a n = b n thì a = b Nếu m > n thì a m > a n (a> 1) Nếu a > b thì a n > b n (n > 0) 2) Tính chất đơn điệu của phép nhân: Nếu a < b thì a.c < b.c (với c > 0) B) Ví dụ: Ví dụ1: So sánh: a/ 27 11 và 81 8 b/ 625 5 và 125 7 Giải: a/ Có 27 11 = (3 3 ) 11 = 3 33 ; 81 8 = (3 4 ) 8 = 3 32 . Do 3 33 > 3 32 nên 27 11 > 81 8 . b/ Có 625 5 = (5 4 ) 5 = 5 20 ; 125 7 = (5 3 ) 7 = 5 21 . Do 5 21 > 5 20 nên 125 7 > 625 5 . Ví dụ 2: So sánh: 7 300 và 3 500 Giải: 3 500 = (3 5 ) 100 = 243 100 ; 7 300 = (7 3 ) 100 = 343 100 . Vì 343 100 > 243 100 . Vậy 7 300 > 3 500 C) Bài tập: 1) So sánh: a/ 5 36 và 11 24 b/ 5 23 và 6.5 22 . c/ 31 11 và 17 14 . d/ 72 45 72 44 và 72 44 72 43 . 2) Tìm x N biết: a/ 16 x < 128 4 b/ 5 x . 5 x + 1 . 5 x + 2 100 0 : 2 18 . 18 chữ số 0 Giải: 1) a/ 5 36 > 11 24 b/ 5 23 = 5.5 22 < 6.5 22 . vậy 5 23 < 6.5 22 c/ 31 11 < 32 11 = (2 5 ) 11 = 2 55 ; 17 14 > 16 14 = (2 4 ) 14 = 2 56 . Vậy 17 14 > 31 11 - 4 - d/ 72 45 72 44 = 72 44 (72 1) = 72 44 . 71. 72 44 72 43 .= 72 43 ( 72 -1) = 72 43 . 71. Do 72 44 . 71 > 72 43 . 71 vậy: 72 45 72 44 > 72 44 72 43 . 2) a/ Có 16 x = (2 4 ) x = 2 4x , 128 4 = (2 7 ) 4 = 2 28 . Do 16 x < 128 4 nên 2 4x < 2 28 suy ra: 4x < 28 Suy ra x < 7. Vì x N và x < 7. Vậy x { } 0;1;2;3; 4;5; 6 b/ Có 5 x . 5 x + 1 . 5 x + 2 100 0 : 2 18 18 chữ số 0 Suy ra 5 3x + 3 10 18 : 2 18 5 3x + 3 5 18 3x + 3 18 x 5. Vì x N và x 5 vậy x { } 0;1;2;3; 4;5 Bài tập 1) So sánh: a) 7.2 13 và 2 16 b/ 199 20 và 2003 15 . c/ 3 2n và 2 3n (n N * ) 2) So sánh hai biểu thức: 10 10 10 10 9 4 8 3 .11 3 .5 2 .13 2 .65 , 3 .2 2 .104 B C + + = = 3) Cho A = 3 + 3 2 + 3 3 + .+3 100 . Tìm số tự nhiên n, biết 2A + 3 = 3 n . 4) Cho S = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + . + 2 9 . Hãy so sánh S với 5. 2 8 . Giải: 1) a/ Có: 2 16 = 2 3 .2 13 = 8. 2 13 Do 7.2 13 < 8. 2 13 . Vậy 7.2 13 < 2 16 b/ 199 20 < 200 20 = (8.25) 20 = (2 3 .5 2 ) 20 = 2 60 .5 40 2003 15 > 2000 15 = (16.125) 15 = (2 4 .5 3 ) 15 = 2 60 .5 45 . Vì 2 60 .5 45 > 2 60 .5 40 . Vậy 2003 15 > 199 20 . c/ Có 3 2n = 9 n ; 2 3n = 8 n => 9 n > 8 n (n N * ) Suy ra 3 2n > 2 3n (n N * ) 2) 10 10 10 9 4 9 10 10 10 2 8 8 3 .11 3 .5 3 (11 5) 3 3 .2 3 .16 2 .13 2 .65 2 (13 65) 2 .78 3 2 .104 2 .104 104 B C + + = = = + + = = = = Vậy B = C 3) Có A = 3 + 3 2 + 3 3 + .+3 100 . 3A = 3 2 + 3 3 + 3 4 + .+3 101 . Suy ra: 3A A = 3 101 3 Hay: 2A = 3 101 3 => 2A + 3 = 3 101 , mà theo đề bài ta có: 2A + 3 = 3 n . Suy ra: 3 101 = 3 n => n = 101. 4) Có: S = 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + . + 2 9 Suy ra: 2. S = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + . + 2 10 . - 5 - 2S – S = 2 10 – 1. Hay S = 2 10 – 1 < 2 10 Mµ 2 10 = 2 2 . 2 8 < 5. 2 8 . Do ®ã: S < 2 10 < 5.2 8 . VËy S < 5. 2 8 . . (11.3 3 ) 24 6 (2.3 ) 2 .3 4.3 4 = = = = SO SáNH HAI LũY THừA A) KIếN THứC CƠ BảN: 1) Để so sánh hai lũy thừa, ta thờng đa chúng về dạng hai lũy thừa có. hoặc x 9 - 1 = 0 x = 0 hoặc x = 1 e/ (2x -1 5) 5 = (2x -1 5) 3 (2x -1 5) 5 - (2x -1 5) 3 = 0 (2x -1 5) 3 2 (2x -1 5) 1 = 0 (2x -1 5) 3 = 0 hoặc (2x -1 5) 3