Giúp học sinh rèn luyện kĩ so sánh hai luỹ thừa V.3 Các dạng phương pháp giải toán so sánh hai luỹ thừa: Trước tiên học sinh cần nắm tính chất hai luỹ thừa có số hai luỹ thừa có số mũ Làm tập đơn giản với hướng dẫn giáo viên Sau làm tập nâng cao tập đòi hỏi tư học sinh Xuất phát từ kiến thức người ta phát triển thành yêu cầu giải toán so sánh hai luỹ thừa.Trong phạm vi kiến thức lớp cần hướng dẫn cho học sinh quan tâm tới dạng toán so sánh hai luỹ thừa, bao gồm: Dạng 1: Áp dụng định nghĩa luỹ thừa Dạng 2: Đưa hai luỹ thừa có số Dạng 3: Đưa hai luỹ thừa có số mũ Dạng 4: Dùng luỹ thừa trung gian để so sánh Dạng 5: Sử dụng tính chất đơn điệu phép nhân Để học sinh tiếp cận nắm vững phương pháp giải ta cần hướng dẫn học sinh theo thứ tự cụ thể sau: Dạng 1: Áp dụng định nghĩa luỹ thừa: Phương pháp giải: Bước 1: Tính giá trị luỹ thừa Bước 2: So sánh giá trị vừa tính Bước 3: Kết luận Ví dụ 1: So sánh hai số sau: a) 34 43; b) 35 53; c) 55 3.45; d) 210 3.73 Những sai lầm thường mắc học sinh là: a) Học sinh: Ta có 34 = 3.4 = 12 43 = 4.3 = 12 suy 34 = 43 Giáo viên hướng dẫn học sinh giải: a) Ta có 34 = 3.3.3.3= 81; 43 = 4.4.4 = 64 Vì 81 > 64 nên 34 > 43 b) Ta có: 35 = 243; 53 = 125 243 > 125 nên 35 > 53 c) Ta có: 55 = 3125; 3.45 = 3072 Vì 3125 > 3072 nên 55 > 3.45 d) Ta có: 210 = 1024 ; 3.73 = 1029 1/15 Giúp học sinh rèn luyện kĩ so sánh hai luỹ thừa Vì 1029 > 1024 nên 210 < 3.73 Chú ý: Phương pháp áp dụng cho hai luỹ thừa có số số mũ nhỏ tính giá trị hai luỹ thừa cách dễ dàng Bài tập củng cố: So sánh hai số sau: a) 42 24 b) 73 37 c) 63 5.34 d) 25 33 e) 53 27 f) 29 54 Dạng 2: Đưa hai luỹ thừa có số: Phương pháp giải: Bước 1: Đưa hai số dạng luỹ thừa có số, sau áp dụng tính chất lũy thừa luỹ thừa để đưa dạng luỹ thừa có số Bước 2: So sánh hai số mũ hai luỹ thừa có số, số mũ lớn luỹ thừa lớn Bước Kết luận Ví dụ 2: So sánh hai số sau: a) 450 830 b) 940 381 c) 2100 10249 d) 12580 25118 e) 6255 1257 Những sai lầm học sinh thường mắc: a) Ta có 450 = 4.50 = 200 830 = 8.30 = 240 Vì 200 < 240 nên 450 < 830 Học sinh thường lấy số nhân với số mũ sau so sánh tích vừa tìm được, sai lầm thường mắc phải học sinh chưa học chuyên đề Giáo viên hướng dẫn học sinh cách làm: a)Cách giải: Ta thấy ví dụ 2.a số có khác đưa luỹ thừa Giải: 50 Ta có: 50 2100 ; 830 23 290 30 Vì 100 > 90 nên 2100 > 290 450 > 830 2/15 Giúp học sinh rèn luyện kĩ so sánh hai luỹ thừa b) Cách giải: Ta thấy ví dụ 2.b số có khác đưa luỹ thừa Giải : 40 Ta có: 40 380 ;381 Vì 81 > 80 nên 380 < 381 940 < 381 c) Giào viên đặt câu hỏi: ? 1024 đưa dạng luỹ thừa với số không Học sinh: 1024 = 210 Giải: 10 Ta có: 1024 290 ; 2100 Vì 100 > 90 nên 1024 d) Giáo viên cho học sinh nhận xét số hai luỹ thừa Học sinh: 125 = 53; 25 = 52 Giải: 100 80 Ta có: 125 90 53 80 100 5240 ; 25118 52 118 5236 240 5236 12580 25118 Vì 240 > 236 nên 5 20 35 e) Ta có 625 ;125 5 Vì 20 < 35 nên 625 125 Chú ý: Phương pháp giúp học sinh nhận biết trường hợp đưa số ( nhận xét số ví dụ 125 = 3; 25 = 52) học sinh không bị nhầm lẫn so với trước học phương pháp Bài tập áp dụng: So sánh hai số sau: a) 81125 27130 b) 3105 953 c) 4975 34325 d) 121111 11223 e) 6480 2479 f) 85 3.47 g) 2711 818 Dạng 3: Đưa hai luỹ thừa có số mũ: Phương pháp giải: Bước 1: Đưa hai luỹ thừa cho dạng hai luỹ thừa có số mũ Bước 2: So sánh hai số 20 35 3/15 Giúp học sinh rèn luyện kĩ so sánh hai luỹ thừa Bước 3: Kết luận Ví dụ 3: So sánh hai số sau: a) 3230 975 b) 2500 5200 c) 21050 5450 d) 3500 7300 e) 540 62010 f) 3600 5400 g) 730 440 h) 202303 303202 i) 199010 + 1990 199110 j) 32n 23n ( n N ) Giáo viên hướng dẫn học sinh cách phân tích đề bài: Nhận xét 1: Nếu số nâng lên luỹ thừa ví dụ 3.a ta thấy 32 = 25 cịn = 32 từ áp dụng tính chất luỹ thừa luỹ thừa để đưa số mũ Nhận xét 2: Nếu số nâng lên luỹ thừa ta xét quan hệ số mũ xem chúng phân tích thành tích hai thừa số có thừa số giống sau áp dụng tính chất luỹ thừa luỹ thừa để đưa hai luỹ thừa có số mũ a) Cách giải: Ta thấy hai số 32 đưa dạng hai luỹ thừa có số sau áp dụng tính chất luỹ thừa luỹ thừa để đưa hai số cho dạng hai luỹ thừa có số mũ Giải: 30 150 75 150 Ta có: 32 ; 30 75 Vì > nên 3150 > 2150 3230 < 975 b) Cách giải: Ta thấy số mũ 500 200 chia hết cho 100 nên ta tìm cách đưa hai số 2500 5200 hai luỹ thừa có số mũ 100 Giải: 2500 25 100 32100 ; 5200 52 100 25100 Vì 32 > 25 nên 32100 > 25100 2500 > 5200 c) Cách giải: Ta thấy số mũ 1050 450 chia hết cho 150 nên ta tìm đưa hai số 21050 5450 dạng hai luỹ thừa có số mũ 150 Giải: 1050 Ta có: 150 128150 ; 5450 53 150 4/15 125150 Giúp học sinh rèn luyện kĩ so sánh hai luỹ thừa Vì 128 > 125 nên 128150 > 125150 21050 > 5450 500 d) Ta có: 100 243100 ;7300 73 100 343100 Vì 243 < 343 nên 243100 < 343100 3500 < 7300 40 e) Ta có 10 62510 ;62010 Vì 625 > 620 nên 540 > 62010 h) Cách giải: Ta thấy số mũ 303 202 chia hết cho 101 nên ta tìm cách đưa hai số 202303 303202 dạng hai luỹ thừa có số mũ 101 hai số 2023 3032 tính có giá trị lớn Do đơn giản ta nên so sánh hai số 2023 3032 từ rút kết luận Giải: 303 202 Ta có: 202 202 ; 303 303 101 101 3 2 Mà 202 101 8.101.101 808.101 3032 32.1012 9.1012 2023 3032 202303 303202 i) Cách giải: Nhận thấy 199010 + 19909 19919 không đưa dạng có số mũ được, trường hợp ta phải áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng để đưa 199010 + 19909 dạng tích Giải: 10 9 Ta có 1990 1990 1990 (1990 1) 1990 1991 10 9 Mà 1991 1991 1991 1991 1991 1990 1991 199010 19909 199110 j) Sai lầm học sinh thường mắc: 2n Ta có n 9n ;23n 23 8n n Vì > nên Như trường hợp học sinh không xét trường hợp n = n Khi Giải: 2n 3n n 2n 3n 30 = 20 = 2n 3n 0 Trường hợp 1: Với n = Trưịng hợp 2: Với n > 2n Ta có n 9n ;23n 23 8n n n n 2n 3n Vì > nên 5/15 Giúp học sinh rèn luyện kĩ so sánh hai luỹ thừa Chú ý: Qua ví dụ ví dụ ta thấy so sánh hai luỹ thừa ta thường biến đổi luỹ thừa dạng có số mũ có số cách vận dụng linh hoạt tính chất (x.y)m = xm.ym (xm)n = xm.n theo hai chiều Bài tập áp dụng: So sánh hai số sau: a) 333444 444333 b) 1030 2100 c) 9920 999910 d) 263 528 e) 2100 375 f) 375 550 g) 324680 237020 Hướng dẫn phần g: Đưa 324680 = (32)12340; 237020 = (23)12340 h) 52n 25n ( n N ) Dạng 4: Dùng luỹ thừa trung gian để so sánh: Phương pháp giải: Bước 1: Tìm số trung gian Bước 2: Áp dụng tính chất bắc cầu a>b , b >c a > c Bước 3: Kết luận Ví dụ 4: So sánh hai số: a) 637 1612 b) 1714 3111 c) 267 521 d) 111979 371320 e) 10750 7375 f) 291 535 g) 1340 2161 h) 5217 11972 i) 5300 3453 Giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài: - Nhận thấy số ví dụ không nâng lên luỹ thừa - Các số mũ ví dụ đa số khơng đưa dạng tích hai thừa số có thừa số giống - Đối với toán ta áp dụng phương pháp Giải: 7 42 a) Nhận xét: 63 < 64 63 64 6/15 Giúp học sinh rèn luyện kĩ so sánh hai luỹ thừa 12 Mà 16 12 248 242 248 637 1612 14 14 56 11 11 55 b) Ta có: 17 16 ;31 32 255 256 1714 3111 67 63 c) Ta có 21 821 mà 821 521 267 521 1979 1980 d) Ta có: 11 11 11 371320 372 660 660 1331660 1369660 660 660 1979 1320 Vì 1331 1369 11 37 50 50 100 150 e) Ta có: 107 108 4.27 ; 50 7375 7275 8.9 2225.3150 75 225 100 225 150 100 150 50 75 50 Vì 107 hay 73 107 Trong ví dụ học sinh thường làm theo cách sau: 11449 73 389017 50 Ta có: 107 107 7375 25 25 25 25 Vì 389017 11449 389017 11449 73 107 Như cách làm học sinh phải tính tốn với số lớn nên dễ bị nhầm lẫn so với cách dùng số trung gian tơi trình bày 25 25 75 50 91 90 18 f) Ta có: 32 ; 18 535 536 52 2518 18 Vì 32 25 g) Cách giải: Ta thấy hai số mũ 40 160 khơng có quan hệ với 40 160 160 = 4.40 Từ ta tìm số trung gian 2160 Giải: 18 18 161 160 Ta có: 40 91 35 1640 mà 1640 1340 2161 1340 h) Cách giải: Ta thấy hai số mũ 217 72 khơng có quan hệ với 216 72 216 = 3.72 Từ ta tìm số trung gian 5216 Giải: 217 216 Ta có: 72 12572 mà 12572 11972 5217 11972 7/15 Giúp học sinh rèn luyện kĩ so sánh hai luỹ thừa 300 i) Ta có: 150 25150 ; 3453 3450 33 150 27150 150 150 353 300 Vì 27 25 Bài tập áp dụng: So sánh hai số sau: a) 12723 51318 b) 5299 3501 c) 9920 999910 d) 323 515 e) 334 520 f) 715 1720 g) 19920 200315 Dạng 5: Sử dụng tính chất đơn điệu phép nhân: Phương pháp: Áp dụng tính chất a > b a c > b.c ( với c>0) Ví dụ 5: So sánh hai số sau: a) 1031 2100 b) 545 2102 c) 5255 2579 d) 21995 5863 e) 21999 7714 f) 230 + 330 + 430 3.2410 g) 544 2112 h) 323 515 Giáo viên: Đối với luỹ thừa không đưa số hay số mũ, khơng tìm số trung gian ta áp dụng phương pháp sử dụng tính đơn điệu phép nhân 8/15 ... giải: Bước 1: Đưa hai luỹ thừa cho dạng hai luỹ thừa có số mũ Bước 2: So sánh hai số 20 35 3/15 Giúp học sinh rèn luyện kĩ so sánh hai luỹ thừa Bước 3: Kết luận Ví dụ 3: So sánh hai số sau: a) 3230... 2: Đưa hai luỹ thừa có số: Phương pháp giải: Bước 1: Đưa hai số dạng luỹ thừa có số, sau áp dụng tính chất lũy thừa luỹ thừa để đưa dạng luỹ thừa có số Bước 2: So sánh hai số mũ hai luỹ thừa có... luyện kĩ so sánh hai luỹ thừa Vì 1029 > 1024 nên 210 < 3.73 Chú ý: Phương pháp áp dụng cho hai luỹ thừa có số số mũ nhỏ tính giá trị hai luỹ thừa cách dễ dàng Bài tập củng cố: So sánh hai số sau: