CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN SO SÁNH HAI LUỸ THỪA 1.. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.. + Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số lớn hơn 1 th
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN SO SÁNH HAI LUỸ THỪA
1 Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ + Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn
2 Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân
(a<b thì a.c<b.c với c>0)
Ví dụ: So sánh 3210 và 1615, số nào lớn hơn
Hướng dẫn:
Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nhưng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm cách đưa 3210 và 1615
về luỹ thừa cùng cơ số 2
3210 = (25)10 = 250
1615 = (24)15 = 260
Vì 250 < 260 suy ra 3210 < 1615
Bài tập 1: So sánh:
Bài 1: So sánh các số sau?
a) 2711 và 818 b) 6255 và 1257 c) 536 và 1124 d) 32n và 23n (n N* )
Hướng dẫn:
a) Đưa về cùng cơ số 3 b) Đưa về cùng cơ số 5
c) Đưa về cùng số mũ 12 d) Đưa về cùng số mũ n
Bài 2: a) 523 và 6.522 b) 7.213 và 216 c) 2115 và 275.498
Hướng dẫn:
a) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 522
b) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 213
c) Đưa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3
Bài 3: a) 19920 và 200315
b) 339 và 1121
Hướng dẫn :
a) 19920 < 20020 = (23 52)20 = 260 540
200315 > 200015 = (2.103)15 = (24 53)15 =
260.545
b) 339 <340 = (32)20 = 920<1121
Bài 4: So sánh 2 hiệu,hiệu nào lớn hơn?
72 45-7244và 72 44-7243
Hướng dẫn:
7245-7244=7245(72-1)=7245.71
7244-7244=7244(72-1)=7244.71
Bài 5: 27 và 72
Ta có: 27 = 128 ; 72 = 49
Vì 128 > 49 nên 27 > 72
Bài 6 a) 95 và 273 b) 3200 và 2300 a) Ta có: 95 = (32)5 = 310
273 = (33 )3 = 39
Vì 310 > 39 nên 95 > 273 b) Ta có: 3200 = (32)100 = 9100
2300 = (23) 100 = 8100
Vì 9100 > 8100 ; nên 3200 > 2300
c, 3500 và 7300
3500 = 35.100 = (35)100 = 243100 Nếu m>n thì am>an (a>1)
Nếu a>b thì an>bn ( n>0)
Trang 27300 = 73.100 (73 )100 = (343)100
Vì 243100 < 343100 => 3500 < 7300
d, 85 và 3 47 85 = (23)+5 = 215 <3.214 = 3.47
=> 85 < 3 47
e, 202303 và 303202
202303 =(2023)201 ; 303202 = (3032)101
Ta so sánh 2023 và 3032
2023 = 23 101 1013 và 3032 =>
3032 < 2023
3032 = 33 1012 = 9.1012
vậy 303202 < 2002303
f, 321 và 231
321 = 3 3 20 = 3 910 ; 231 = 2 230 = 2 810
3 910> 2 810 => 321 > 231
g, 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660
371320 = (372)660 = 1369660
Vì 1369660 > 1331660 => 371320 > 111979
Trang 3Bài 7: So sách các cặp số sau:
a/ A = 275 và B = 2433 Ta có A = 275 = (33)5 = 315
và B = (35)3 = 315 Vậy A = B
b/ A = 2 300 và B = 3200
A = 2 300 = 33.100 = 8100 và B = 3200 = 32.100 = 9100
Vì 8 < 9 nên 8100 < 9100 và A < B
Bài 8: So sánh hai luỹ thừa sau:
3111 và 1714
Ta thấy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1)
1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2)
Từ (1) và (2) 311 < 255 < 256 < 1714
nên 3111 < 1714
Bài 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn
a) 30
10 và 100
2 b) 444
333 và 333
444 c) 40
13 và 161
2 d) 300
5 và 453
3
Bài 2: So sánh các số sau
a) 217
5 và 72
119 b) 100
2 và 9
1024 c) 12
9 và 7
27 d) 80
125 và 118
25 e) 40
5 và 10
620 f) 11
27 và 8
81
Bài 3: So sánh các số sau
a) 36
5 và 24
11 b) 5
625 và 7
125 c) 2
3 n và 3
2 n *
(nN ) d) 23
5 và 22
6.5
Bài 4: So sánh các số sau
a) 13
7.2 và 16
2 b) 15
21 và 5 8
27 49 c) 20
199 và 15
2003 d) 39
3 và 21
11
Bài 5: So sánh các số sau
a) 45 44
72 72 và 44 43
72 72 b) 500
2 và 200
5 c) 11
31 và 14
17 d) 24680
3 và 37020
2 e) 1050
2 và 450
5 g) 2
5 n và
5
2 ; (n )
nN
Bài 6: So sánh các số sau
a) 500
3 và 300
7 b) 5
8 và 7
3.4 c) 20
99 và
10
9999
d) 303
202 và 202
303 e) 21
3 và 31
2 g) 1979
11 và
1320
37
h) 10
10 và 5
48.50 i) 10 9
1990 1990 và 10
1991
Bài 7: So sánh các số sau
a) 50
107 và 75
73 b) 91
2 và 35
5 c) 4
54 và 12
21
Trang 4Bài 8: Tìm xem 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân
Bài giải:
Muốn biết 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân ta so sánh
2100 với 1030
và 1031
* So sánh 2100 với 1030
Ta có: 2100 = (210)10 = 1024 10
1030 = (103)10 = 100010
Vì 102410 > 100010
nên 2100 > 1030 (*)
* So sánh 2100 với 1031
Ta có: 2100 = 231 269 = 231 263 26
= 231 (29)7 (22)3 = 231 .5127 43 (1)
1031 = 231 531 = 231 528 53 = 231 (54 )7 53
= 231 6257 53 (2)
Từ (1) và (2) ta có:
231 5127 43 < 231 5127 53
Hay 2100 < 1031 ( **)
Từ (*),( **) ta có:
1031 < 2100 < 1031
Số có 31 chữ số nhỏ nhất Số có 32 chữ số nhỏ nhất
Nên 2100 có 31 chữ số trong cách viết ở hệ thập phân
Bài 10: So sánh A và B biết
a) A =
5 19
5 19
31 30
5 19
5 19
32 31
b)
3 2
3 2
20
18
; B =
3 2
3 2
22 20
c) A = 2 8
9 2
5
5 5 1
5
5 5 1
; B = 2 8
9 2
3
3 3 1
3
3 3 1
Bài giải:
A =
5 19
5 19
31
30
Nên 19A =
5 19
) 5 19 (
19
31 30
=
5 19
95 19
31 31
= 1 +
5 19
90
31
B =
5 19
5 19
32
31
nên 19B =
5 19
) 5 19 (
19
32 31
=
5 19
95 19
32 32
= 1 +
5 19
90
32
Vì
5 19
90
31
>
5 19
90
32
Trang 5Suy ra 1 +
5 19
90
31
> 1 +
5 19
90
32
Hay 19A > 19B Nên A > B b) A =
3 2
3 2
20 18
nên 22 A =
3 2
) 3 2 (
2
22
18 2
=
3 2
12 2
20 20
= 1 -
3 2
9
20
B =
3 2
3 2
22 20
nên 22.B =
3 2
) 3 2 (
2
22
20 2
=
3 2
12 2
22 22
= 1-
3 2
9
22
Vì
3 2
9
20
>
3 2
9
22
Suy ra 1 -
3 2
9
20
< 1-
3 2
9
22
Hay 22 A < 22
B
Nên A < B
c) Ta có:
A = 2 8
9 2
5
5 5 1
5
5 5 1
=
) 1 ( 5 5 5
5 5 1
1 5
5 5 1
) 5
5 5 1 ( 5 1 5
5
5
1
) 5
5
5
(
1
8 2
8 2
8 2
8 2
9 2
Tương tự B = 3 4 ( 2 )
3
3 3 1
1
8
Từ (1) và (2) Ta có
A = 2 8
5
5 5 1
1
+ 5 > 5 > 4 > 2 8
3
3 3 1
1
+ 3 =B nên A > B
Bài tập 10: Cho A = 1 + 2 + 22 + +230
Viết A + 1 dưới dạng một lũy thừa
Bài 4: Tìm x N biết
a) 13 + 23 + 33 + + 103 = ( x +1)2
b) 1 + 3 + 5 + + 99 = (x -2)2
Bài giải:
a) 13 + 23 + 33 + + 103 = (x +1)2
( 1+ 2 + 3+ + 10)2 = ( x +1)2
552 = ( x +1) 2
55 = x +1
x = 55- 1
x = 54
b) 1 + 3 + 5 + + 99 = ( x -2)2
2
1 2
1
99
= ( x - 2)2
502 = ( x -2 )2
50 = x -2
x = 50 + 2
Trang 6x = 52
( Ta có: 1 + 3 + 5+ + ( 2n+1) = n2)
Bài 5: Tìm 1 cặp x ; y N thoả mãn
73 = x2 - y2
Ta thấy: 73 = x2 - y2
( 13 + 23 + 33 + +73) - (13+ 23+ 33+ + 63) = x2 - y2 (1+ 2 + 3 + + 7)2 - (1 + 2 + 3 + + 6)2 = x2 - y2
282 - 212 = x2 - y2
Vậy 1 cặp x; y thoả mãn là:
x = 28; y = 21
Bài 2: Tìm x N* biết
A = 111 1 - 777 7 là số chính phương
2 x chữ số 1 x chữ số 7
Bài giải:
+ Nếu x = 1
Ta có: A = 11 - 7 = 4 = 22 (TM)
+ Nếu x > 1
Ta có A = 111 1 - 777 7 = 34 2 2x chữ số 1 x chữ số 7 mà 34 4
Suy ra A không phải là số chính phương ( loại)
Vậy x = 1
c) Dùng tính chất chia hết
Bài 1: Tìm x; y N biết:
35x + 9 = 2 5y
*)Nếu x = 0 ta có:
350 + 9 = 2.5y
10 = 2.5y
5y = 5
y =1
*) Nếu x >0
+ Nếu y = 0 ta có: 35x + 9 = 2.50
35x + 9 = 2 ( vô lý)
+ Nếu y > 0 ta thấy:
35x + 9 5 vì ( 35x 5 ; 9 5 )
Mà 2 5y 5 ( vô lý vì 35x + 9 = 2.5y) Vậy x = 0 và y = 1
Bài 1: Tính tổng
A = 1 + 2 + 22+ + 2100
Trang 7B = 3 - 32 + 33 - - 3100
Bài giải:
A = 1 + 2 + 22 + + 2 100
=> 2A = 2 + 22 + 23 + + 2101
=> 2A - A = (2 + 22 + 23 + + 2101 ) – (1 +2 + 22+ +2100)
Vậy A = 2101 - 1
B = 3 - 32 - 33 - - 3100
=> 3B = 32 - 33 + 34 - - 3101
B + 3B = (3 - 33 + 33) - - 3100) + ( 32 - 23 +34 - - 3101)
4B = 3 - 3101
Vậy B = ( 3- 3101) : 4
Bài 2: a) Viết các tổng sau thành một tích: 2
2 2 ; 2 3
2 2 2 ; 2 3 4
2 2 2 2 b) Chứng minh rằng: 2 3 2004
2 2 2 2
A chia hết cho 3; 7 và 15
Bài 3: a) Viết tổng sau thành một tích 4 5 6 7
3 3 3 3 b) Chứng minh rằng: 2 99
1 3 3 3 40
B M
Bài 4: Chứng minh rằng:
1 5 5 5 5 6;31;156
2 2 2 2 2 31
c) 5 15
3 16 2 33
Bài 5 Tính các tổng sau bằng cách hợp lý
2 2 2 2
A b) 2 100
1 3 3 3
B
4 4 4 4n
C d) 2 2000
1 5 5 5
D
1 2 2 2 2
A Hãy viết A+1 dưới dạng một luỹ thừa
3 3 3 3
B CMR: 2B+3 là luỹ thừa của 3
4 2 2 2
C CMR: C là một luỹ thừa của 2
Bài 9: Chứng minh rằng:
a) 5 4 3
5 5 5 7 M b) 6 5 4
7 7 7 11 M c) 9 8 7
10 10 10 222 M e) 6 7
10 5 59 M g) 2 2 *
3n 2n 3n 2 10nM n N
h) 7 9 13
81 27 9 M 45 i) 10 9 8
8 8 8 55 M k) 9 8 7
10 10 10 555 M
Bài 10 Tính nhanh
a S = 1 + 2 + 22 + 23 + + 262 + 263
b S = 1 + 3 +32+ 33+ + 320
c S = 1 + 4 + 42 + 43+ + 449
Bài 11 Tính tổng
a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + + 5200
b) B = 7 - 74 + 74 - + 7301
Bài giải:
a) A = 1 + 52 + 54 + 56 + + 5200
25 A = 52 + 54+ + 5202
Trang 825 A - A = 5202 - 1
Vậy A = ( 5202 -1) : 24
b) Tương tự B =
1 7
1 7
3 304
Bài 3: Tính
A =
7
1
+ 2
7
1
+ 3
7
1
+ + 100
7 1
B =
5
4
5
4
- 3
5
4
+ + 200
5 4
Bài giải:
A =
7
1
+ 2
7
1
+ 3
7
1
+ + 100
7 1
7A = 1 +
7
1
+ 2
7
1
+ + 99
7 1
=> 7A - A = 1 - 100
7
1
A =
100 7
1
B =
5
4
5
4
- 3
5
4
+ + 200
5 4
5B = -4 +
5
4
+ 3
5
4
+ + 201
5 4
B+5B = -4 + 200
5 4
B =
200
5
4
Bài 3: Tính
A =
1 25
25 25 25
1 25
25 25 25
2 26
28 30
4 20
24 28
Bài giải:
Biến đổi mẫu số ta có:
2530 + 2528 + 2526 + +252 + 1
= (2528 + 2524 + 2520 + +1)+ ( 2530 + 2526 +2522+ +252)
= (2528 + 2524+ 2520+ 1) +252 (2528+ 2526+ 2522+ + 1)
= (2528+ 2524 + 2520+ +1) (1 + 252)
Vậy A = 2
25 1
1
626 1
Bài tập 11: Viết 2100 là một số có bao nhiêu chữ số khi tính giá trị của nó
Bài tập 13: Tìm số tự nhiên abcbiết (a + b + c)3 = abc (a b c)
Bài tập 14: Có hay không số tự nhiên abcd
Trang 9(a + b + c + d)4 = abcd