Vận dụng quan điểm sư phạm tương tác trong dạy học định lý

d α; trường hợp )α lại phải xem xét hai khả năng: P( ), )α =A

2.2.2. Vận dụng quan điểm sư phạm tương tác trong dạy học định lý

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [7,tr.362-363-364], việc dạy học định lý Toán học (trong đó có các định lý hình học) được thực hiện bởi một trong hai con đường sau:

- Con đường suy diễn.

- Con đường có khâu suy đoán.

i) Dạy học định lý theo con đường suy diễn

Theo con đường này, để dạy học một định lý chúng ta đi theo các bước: 1) Gợi động cơ học tập định lý xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ Toán học.

2) Xuất phát từ những tri thức Toán học đã biết, dùng suy diễn lôgíc dẫn tới định lý.

3) Phát biểu định lý. 4) Vận dụng định lý. 5) Củng cố định lý.

ii) Dạy học định lý theo con đường có khâu suy đoán

B'C' C' D' A' D C B A M N Hình 2.16

Theo con đường này để dạy học một định lý chúng ta thường đi theo các bước sau:

1) Gợi động cơ học tập định lý xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ Toán học.

2) Dự đoán và phát biểu định lý. 3) Chứng minh định lý.

4) Vận dụng định lý vừa tìm được để giải quyết, khép kín vấn đề đặt ra khi gợi động cơ.

5) Củng cố định lý.

Như vậy, sự khác biệt căn bản giữa hai con đường là ở chỗ: Theo con đường có khâu suy đoán thì việc dự đoán phát hiện diễn ra trước việc chứng minh định lý còn ở con đường suy diễn thì hai việc này nhập lại thành một bước. Tùy nội dung cụ thể của từng định lý mà chúng ta có thể trình bày theo cách này hay cách khác.

Sau đây là những ví dụ vận dụng quan điểm SPTT trong dạy học định lý hình học không gian.

Ví dụ 2.6. Khi dạy định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có thể đi

theo con đường có khâu suy đoán.

GV đặt vấn đề: Hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến a. Một mặt phẳng (R) phân biệt với (P) và (Q), cắt (P) và (Q) lần lượt tại hai giao tuyến phân biệt b và c khác a. Nêu vị trí tương đối của a, b, c ?

- Để HS dự đoán kết quả, GV chia HS làm 4 nhóm và cho HS thảo luận tình huống sau:

Lấy 3 mảnh bìa dựng sao cho chúng đôi một cắt nhau, khi đó, có các khả năng nào về vị trí tương đối của ba giao tuyến tạo thành?

HS: Có hai cách dựng, ba giao tuyến hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.

Tiếp theo GV sử dụng hình động (Hình 2.17). Ở phần mềm GSP nháy các nút Quay, Reset để HS quan sát trường hợp 3 giao tuyến a, b, c đồng quy sau đó nháy nút Chuyen(R), Vt1 để HS quan sát trường hợp 3 giao tuyến song song.

Hình 2.17

GV: Hãy nêu dự đoán kết quả vấn đề đặt ra ban đầu, bằng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng hãy chứng minh nó?

HS dự đoán: Hoặc a, b, c đồng quy hoặc a, b, c đôi một song song.

Hình 2.19

Để dễ dàng cho việc chứng minh hơn, GV yêu cầu HS phát biểu mệnh đề đó bằng ký hiệu toán học.

HS: (P)≠_(Q)≠_{(R), (P)}∩_{(Q)=a, (P)}∩_{(R)=b, (R)}∩_(Q)=c



⇒  ∩ ∩ =_^{a b c}a b c A^{/ / / /}

Nếu HS gặp khó khăn trong việc chứng minh định lý, GV có thể hạ thấp

yêu cầu bằng cách gợi ý: Giả sử điều ngược lại với kết luận liệu dẫn đến mâu

thuẫn nào không?

HS: Giả sử không xẩy ra

a / /b, b / /c, c / /a

Để củng cố định lí GV có thể đặt câu hỏi :Nêu một vài ứng dụng của

định lý này?

HS: - Chứng minh hai đường thẳng song song, chúng ta chứng minh chúng là 2 trong 3 giao tuyến phân biệt không đồng quy của ba mặt phẳng phân biệt.

- Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta chứng minh chúng là ba giao tuyến phân biệt của ba mặt phẳng phân biệt, trong đó có hai đường thẳng cắt nhau.

Để gợi ý HS phát hiện hệ quả của định lí GV đặt câu hỏi: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo một giao tuyến a, lần lượt chứa hai đường thẳng song song b và c. Hỏi vị trí tương đối của a, b, c?

HS: TH1:

a b

a c

≡



 ≡



TH2: a, b, c phân biệt thì qua b và c xác định (R) phân biệt với (P) và

(Q), hơn nữa b//c nên







a/ /ba/ /c

a/ /c

GV giới thiệu đây chính là hệ quả về giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song.

GV: Hãy phát biểu bằng lời hệ quả về giao tuyến của hai mặt phẳng lần

lượt chứa hai đường thẳng song song?

HS: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song và cắt nhau theo một giao tuyến thì hoặc giao tuyến đó song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

GV: Nêu một vài ứng dụng của hệ quả này?

HS: Tìm được phương của giao tuyến: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song và cắt nhau theo một giao tuyến thì hoặc giao tuyến đó song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. Từ đó ta có một phương pháp nữa để tìm giao tuyến đó là: Dựa vào hệ quả trên tìm phương của giao tuyến, sau đó tìm một điểm chung của hai mặt phẳng.

- Chứng minh hai đường thẳng song song: Ta có thể chứng minh một trong hai đường thẳng đó là giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song trong đó có đường thẳng còn lại.

Sau đó, GV cho HS thực hiện ví dụ 1, ví dụ 2 (SGK) để HS rèn kĩ năng tìm phương của giao tuyến.

Ví dụ 2.7. Khi dạy định lý 1 về điều kiện đủ để đường thẳng song song

mặt phẳng ta có thể đi theo con đường suy diễn.

GV nêu vấn đề: cho d / /d ,d, , ⊂(P). Hãy nêu vị trí tương đối của d và (P)?

Để giải quyết vấn đề này đòi hỏi HS phải nhận dạng được vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.

HS: Xét các trường hợp d⊂(P) và d ⊄(P), trường hợp d⊄(P) lại phải xem xét hai khả năng: d / /(P),d (P) A∩ = để rồi loại trừ khả năng thứ 2.

d d' d'

d

Để giúp HS loại trừ khả năng d (P) A∩ = .GV hạ thấp yêu cầu: giả sử ( )

d∩ P =A, liệu dẫn đến mâu thuẫn nào với giả thiết của bài toán ban đầu không?

Nếu HS khó khăn trong lập luận tìm ra mâu thuẫn, thì GV có thể gợi ý: Hãy xét mối quan hệ giữa A, (P), mp (d,d’) rồi suy ra một điều mâu thuẫn nào đó.

HS: d∪( )p = => ∈A A d A, ∈( , ')d d

Mặt khác A (P)∈

Suy ra A (d, d ) (P) d∈ ' I = '

Từ đó A d d '= ∩ . Mâu thuẫn với giả thiết d//d’ Vậy d không cắt (P). Hay là d//(P).

GV cho HS thực hiện hoạt động ngôn ngữ bằng cách yêu cầu HS phát biểu điều kiện đủ để đường thẳng song song mặt phẳng.

HS: Nếu đường thẳng d không nằm trong mp ( )α và d song song với đường thẳng d' nằm trong ( )α thì d song song với ( )α .

Để vận dụng định lí GV có thể đặt câu hỏi :Nêu một vài ứng dụng của định lý này?

HS: Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng đó không thuộc mặt phẳng và tìm trong mặt phẳng đó một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Sau đó GV chia nhóm cho HS thảo luận ví dụ sau để HS vận dụng phương pháp chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng vừa nói ở trên.

“ Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Các đường thẳng MN, NP, PM có song song với mặt phẳng (BCD) không ?,,

Để dẫn dắt HS phát hiện định lý 2, GV có thể đặt vấn đề: Từ cách chứng minh định lí 1 ta thấy nếu có d // (P) thì liệu có tồn tại đường thẳng nào nằm trên (P) mà song song với d hay không ?

Để trả lời được câu hỏi này HS phải nhận dạng được khái niệm hai đường thẳng song song (đồng phẳng và không có điểm chung)

Nếu HS không chỉ ra được đường thẳng d’ nằm trên (P) mà song song với d, GV có thể hạ thấp yêu cầu: Hãy chỉ ra một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và cắt (P)?

Từ đó HS dễ dàng chỉ ra được đường thẳng d’ chính là giao tuyến của mặt phẳng (Q) và (P).

GV: Liệu có bao nhiêu đường thẳng d’ như vậy ?

HS: Có vô số đường thẳng d’ như vậy, đó chính là các giao tuyến của các mặt phẳng chứa d và (P).

GV: Hãy phát biểu định lý trên bằng lời?

HS: Cho (P) song song đường thẳng d. Nếu mặt phẳng (Q) chứa d và cắt (P) theo giao tuyến d’ thì d’ song song với d.

GV: Em hãy chứng minh ?

HS dễ dàng chứng minh bằng phương pháp phản chứng: giả sử d và d’ không song song thì hoặc d ≡d' hoặc d cắt d’ vì cả d và d’ đều thuộc (Q), cả hai trường hợp này đều dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết.

GV: Nêu một vài ứng dụng của định lý này?

HS: Tìm phương của giao tuyến: nếu hai mặt phẳng phân biệt ( )α và ( )β có một điểm chung, ( )α song song với đường thẳng d ⊂ ( )β thì giao tuyến đi qua điểm chung ấy và song song với d.

Sau đó để HS tập luyện thể hiện phương pháp tìm phương giao tuyến của hai mặt phẳng GV cho HS chia nhóm thảo luận ví dụ: “cho tứ diện

ABCD. Lấy M là điểm thuộc miền trong của tam giác ABC.Gọi ( )α là mặt phẳng qua M và song song với các đường thẳng AB và CD. Xác định thiết diện tạo bởi ( )α và tứ diện ABCD. Thiết diện đó là hình gì?’’

Để phát hiện hệ quả của định lý 2, GV đặt vấn đề: Như ta đã biết : cho mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) phân biệt trong đó: (P) và (Q) đều song song với d, ^{(P) (Q) d'}∩ = . Lấy một điểm M nằm trên d’. Khi đó, các giao tuyến của mặt phẳng (M,d) với hai mặt phẳng (P), (Q) có vị trí như thế nào so với d’? HS vận dụng định lý 2: (M,d) (P) / /d (M,d) (Q) '/ /d ∩ = ∆ ∩ = ∆ Mặt khác : M d'∈ nên : ∆ ≡ ∆ ≡' d' Vậy d//d’.

GV: Hãy phát biểu hệ quả trên bằng lời?

HS: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo một giao tuyến và cùng song song đường thẳng d thì giao tuyến ấy song song với d.

GV: Nêu một vài ứng dụng của hệ quả này?

HS: Tìm phương của giao tuyến: Nếu hai mặt phẳng phân biệt ( )α và ( )β có một điểm chung và cùng song song đường thẳng d thì giao tuyến đi qua điểm chung ấy và song song với d.

Sau đó, GV cho HS làm bài tập sau để HS tập dượt phương pháp tìm phương giao tuyến của hai mặt phẳng:

Bài tập: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành, trên đoạn SA lấy điểm F sao cho F khác S và A, mặt phẳng ( )α qua F và song song với BC và DC. Hãy tìm thiết diện của hình chóp và mặt phẳng ( )α ?

A ^D

B _C

S

F

Hình 2.21

Để thực hiện việc tìm thiết diện trên HS phải vận dụng định lý 2 và hệ quả của nó để tìm phương của giao tuyến:

A ^D B _C S F G ^H I Hình 2.22

Ví dụ 2.8. Khi dạy định lí về điều kiện đủ để hai mặt phẳng song song

(“ Nếu mặt phẳng ( )α chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng ( )β thì mặt phẳng ( )α và ( )β song song với nhau”) ta có thể đi theo con đường có khâu suy đoán.

A₁ ^D1 D C B B_{1 C} 1 A Hình 2.23 A'₁ C₁ B B'_{1 C'} 1 A₁ A"_{1 D1} D C₂ C"₁ A₂ Hình 2.24 Hình 2.25

Hình lập phương ABCD.A B C D làm bằng bìa hoặc gỗ mỏng được1 1 1 1

cắt thành hai nửa và chúng có thể ghép lại nhờ nam châm mỏng.

GV cho HS quan sát hình 2.23 và nhận xét mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng (A B C D ) . Cho HS nhận xét tiếp các cặp đường thẳng1 1 1 1

(AB, AD) ; (BA, BC) ; (CB, CD) đều có tính chất cắt nhau và song song với mặt phẳng (A B C D ) . GV đặt câu hỏi cho HS: “Cần bao nhiêu cặp đường1 1 1 1

thẳng cắt nhau của mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng (A B C D )1 1 1 1

để mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng (A B C D ) ?”.1 1 1 1

Hãy quan sát hình được cắt ra: ở hình 2.24 chỉ có hai đường thẳng

1 1

BA ; BC cắt nhau và song song với mặt phẳng (B 'C 'A ') và hình 2.25 chỉ1 1 1

còn cặp đường thẳng (DA ,DC ) cắt nhau và song song với mặt phẳng2 2 1 1 1

(A "C "D ) . Tuy nhiên vẫn giữ nguyên các cặp mặt phẳng (A BC );1 1 1 1 1

(A 'B C ') song song với nhau và (A DC );(A "D C ") song song với nhau. 2 2 1 1 1

HS dự đoán: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b mà a và b cùng song song mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song.

GV: Hãy chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng.

Để dễ dàng cho việc chứng minh hơn, GV yêu cầu HS phát biểu định lý đó bằng ký hiệu Toán học. HS:

a (P), b (P), a b A, a / /(Q), b / /(Q)⊂ ⊂ ∩ = ⇒(P) / /(Q)

GV: Nếu (P) và (Q) không song song thì chúng có thể có những vị trí tương đối nào?

HS: Giả sử (P) và (Q) trùng nhau thì mâu thuẫn với giả thiết a và b không có điểm chung với (Q). Còn nếu (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến c nào đó, kết hợp với giả thiết và định lý 2 về đường thẳng song song mặt phẳng ta có c//a, c//b. Mâu thuẫn, vì qua M kẻ được hai đường thẳng a, b cùng song song với c. Vậy: (P) //(Q).

Để củng cố định lý GV yêu cầu phát biểu định lý theo cách khác: Thay giả thiết a và b cùng song song mặt phẳng (Q) bằng mệnh đề tương đương, hãy phát biểu định lý trên bằng cách tương đương khác?

HS: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b mà a và b cùng song song với hai đường thẳng cắt nhau c, d nằm trong mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song.

Để thể hiện định lý này, GV yêu cầu HS làm bài tập sau:

Bài tập: Cho tứ diện ABCD. Gọi I là điểm nằm trên cạnh BD sao cho BI = 2ID và G là trọng tâm của tam giác ABD. Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho MB = 2MC. Chứng minh rằng: (MGI) // (ACD).

j N A C B D M G I Hình 2.27

HS: Gọi N là trung điểm của AD. Xét tam giác BCN ta có: 3 2 = = BN BG BC BM

Nên: MG // CN. Mặt khác: MI // CD. Do đó: (MGI) // (ACD). GV: Nêu ứng dụng của định lý này?

HS: - Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta tìm trong mặt phẳng này hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng kia.

- Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng. Ta chứng minh hai mặt phẳng (ABC), (ABD) cùng song song mặt phẳng ( )α nào đó.

Ví dụ 2.9. Khi dạy định lý về điều kiện cần và đủ để ba vectơ đồng phẳng ta có thể đi theo con đường suy diễn.

GV sử dụng hình động (Hình 2.28) để đặt vấn đề: Trong không gian cho hai vectơ

a br r,

không cùng phương và một vectơ

cr

tùy ý. Dựng vectơ

ma nb^r+ ^r

, ma nb^r+ ^r? HS: Các vectơ a br r,

, ma nb^r+ ^r đồng phẳng

GV điều chỉnh các thanh trượt m, n để các vectơ

cr

và ma nb^r+ ^r trùng nhau.

GV: Có hay không cặp số m, n sao cho c ma nb^r= ^r+ ^r ? Với mỗi _cr

có bao nhiêu cặp m, n thỏa mãn c ma nb^r= ^r+ ^r?

HS quan sát hình và nhận ra: tồn tại duy nhất cặp số m, n sao cho

c ma nb^r= ^r+ ^r thì ba vectơ a b cr r r, ,

c m.a + n.b b a C O B A Hình 2.28

GV yêu cầu HS chứng minh.

HS: Lấy O tùy ý và dựng OA a OB b OC c^{uuur r uuuur r uuuur r}= , = , = thì 3 vectơ _OA^uuur, _OB^uuur

OC^uuur cùng nằm trong một mặt phẳng.