Ngữ nghĩa của thế giới khả năng đối với các phép tính tình thái

Một thời gian rất lâu các hệ thống lôgic tình thái không có được ngữ nghĩa thích hợp, mà trong đó có thể tìm ra ý nghĩa chính xác và rõ ràng trực giác cho các tình thái  và , có thể nêu được các điều kiện chân thực và giả dối của các công thức tình thái. Đến những năm 50-60 thế kỷ XX nhờ sự nỗ

lực của nhiều nhà nghiên cứu, trong số đó nổi trội lên là nhà lôgic học người Mỹ L.Kripke, thì mới xây dựng được những ngữ nghĩa như vậy.

Tư tưởng ―thế giới khả năng‖ khởi nguồn từ Lepnít đã giữ một vai trò tìm kiếm mạnh mẽ trong việc tạo lập ngữ nghĩa học của lôgic tình thái chân lý.

Theo Lepnít, hiện thực quanh ta - thế giới thực – không phải là hiện

thực duy nhất: ta có thể hình dung hiện thực khác mà ở đó không có những tình huống nào đó vốn dĩ đang có trong hiện thực ―của chúng ta‖. Hiện thực khả năng kiểu đó là giải pháp (phần bù) của thế giới hiện thực, đó là cái, mà về nguyên tắc có thể có, nói như Lepnít, ―Nếu thượng đế tạo ra thế giới theo kế hoạch khác‖. Lepnít xuất phát từ tập hợp các hiện thực khả năng, mà ông coi thế giới hiện thực là một trong các thế giới khả năng (sự thực, là thế giới tốt nhất trong số chúng, bởi lẽ chính nó được sáng tạo ra bởi thượng đế nhân từ, quyền uy và đầy sức mạnh nhất). Đòi hỏi duy nhất mà Lepnít nêu ra cho các giải pháp có thể đối với thế giới hiện thực là tính phi mâu thuẫn, tính tương hợp của chúng với các quy luật khách quan nền tảng (bao gồm cả các quy luật lôgic) nằm trong cơ sở của ―tòa nhà thế giới‖.

Trong lôgic học hiện đại nhà triết học và phương pháp luận khoa học người Áo Karnap là người thực hiện sự sao chép thế giới khả năng Lepnít. Ông xuất phát từ việc hiểu về ―thế giới‖ được trình bày trong công trình ―Nghiên cứu lôgic – triết học‖ của Witgenstein: Thế giới là tổng thể các dữ kiện, chứ không là tổng thể các sự vật (đối tượng). Dữ kiện ―nguyên tử‖ đơn giản nhất được thể hiện trong ngôn ngữ của các lý thuyết lôgic bằng công thức sơ đẳng, còn sự thiếu vắng nó trong thế giới – bằng sự phủ định của công thức đó. Với tư cách là sự tương tự cú pháp của thế giới khả năng Karnap dùng cấu trúc có tên gọi là mô tả kinh điển về trạng thái.

Mô tả kinh điển trạng thái là tập hợp bao gồm các công thức sơ đẳng

của ngôn ngữ hoặc phủ định của chúng như là các phần tử và thỏa mãn các điều kiện phi mâu thuẫn (không bất kỳ công thức nào và phủ định của nó lại

có mặt đồng thời trong trường hợp đó) và các điều kiện đầy đủ (đối với công thức sơ đẳng bất kỳ, tự thân nó hoặc phủ định của nó được chứa trong tập hợp, là đúng).

Đối với ngôn ngữ lôgic mệnh đề khái niệm mô tả kinh điển trạng thái được cụ thể hóa theo cách sau: nó là tập con  của tập hợp p, 7p, q, 7q, r, 7r, s, 7s, p1, 7p1, q1, 7q1, r1, 7r1, s1, 7s1, p2 7p2… thỏa mãn 2 tính chất:

a) Không tồn tại biến hàm  mà  và 7. b) Đối với  biến ,  hoặc 7.

Một trong các mô tả trạng thái phân tách ra các tình trạng có mặt và vắng mặt ở thế giới thực, còn các mô tả còn lại tái tạo trong ngôn ngữ tất cả các giải pháp có thể ngược với thế giới thực.

Đôi khi để giải quyết các nhiệm vụ thực tiễn các mô tả trạng thái được gắn với tổ hợp hữu hạn các công thức sơ đẳng, trong ngôn ngữ hàm – với một danh sách hữu hạn các biến hàm 1, 2…n. Trong trường hợp này mô tả kinh điển trạng thái được hiểu là tập hợp bất kỳ 1

* , 2

*,…,n

*, trong đó từng i *

(1  i  n) hoặc là I hoặc 7i. Số lượng các mô tả khác nhau về trạng thái đối với n biến bằng 2n. Ví dụ, đối với 2 biến p và q có 4 mô tả kinh điển trạng thái là: p,q, p,7q, 7p,q, 7p,7q.

Còn có những sao chép khác nữa về thế giới có thể. Các mô tả Karnap về trạng thái chỉ là những mô tả phần nào về chúng, bởi lẽ trong chúng chỉ ghi nhận sự hiện hữu hay thiếu vắng các tình trạng cá biệt riêng lẻ mà không phản ánh được các mối liên hệ lẫn giau giữa các trạng thái vốn diễn đạt trong ngôn ngữ các lý thuyết lôgic nhờ các công thức có cấu trúc phức tạp hơn. Trong trường hợp này thì cái gọi là các tập hợp tối đa phi mâu thuẫn của các công thức cho phép mô tả đầy đủ hơn thế giới khả năng. Trong ngôn ngữ lôgic mệnh đề cổ điển tập hợp các công thức  thỏa mãn các điều kiện dưới đây, sẽ được gọi là tập hợp tối đa phi mâu thuẫn:

(1) Không tồn tại công thức A, mà A và 7A. (2) Đối với  công thức A, đúng là A hoặc 7A. (3) Tất cả các công thức hằng đúng đều có trong .

(4) là đóng đối với quy tắc MP, tức là nếu AB, và A, thì B. Các tập hợp tối đa phi mâu thuẫn có một loạt các tính chất quan trọng: (a)7A A.

(b)(AB) A và B. (c)(AB) A hoặc B. (d)(AB) A và B.

Cả Lepnít lẫn Karnap đều dùng trừu tượng thế giới khả năng để lý giải nội hàm các khái niệm tình thái chân lý. Chẳng hạn, theo Lepnít, các luận điểm tất yếu không chỉ đúng trong thế giới hiện thực, mà còn đúng ở các thế giới khả năng vốn là các giải pháp đối với nó. Khi giải quyết nhiệm vụ chính xác hóa khái niệm chân thực lôgic (và cũng chính là tình thái ―có khả năng lôgic‖) Karnap đã khẳng định rằng, mệnh đề vốn đúng ở tất cả các mô tả cổ điển về trạng thái là mệnh đề chân thực lôgic. Như vậy để xác lập ý nghĩa của mệnh đề thì chưa đủ việc đối chiếu nó với thế giới hiện thực, mà nhất thiết còn phải hướng đến các giải pháp khả năng đối với thế giới đó. X.Kripke đã phát triển ý tưởng này của Lepnít trong việc xây dựng các ngữ nghĩa dành cho các phép toán tình thái chuẩn. Tính tất yếu được ông hiểu như là tính chân thực trong từng thế giới – vốn là giải pháp với thế giới đó, còn khả năng – như là chân thực, ít nhất là ở một trong các thế giới đó. Bây giờ chúng ta bắt tay vào định dạng một cách chính xác ngữ nghĩa của các thế giới khả năng dành cho lôgic tình thái chuẩn tối thiểu – hệ toán T.

Thuộc về số các kết cấu ngữ nghĩa xuất phát điểm trước hết là tập M nào đó cho trước được hiểu như tập hợp các thế giới khả năng. Chúng lại

thức ngôn ngữ với lĩnh vực ngoài ngôn ngữ mà nhờ các điểm này các công thức có được các giá trị chân lý này hay khác. Đòi hỏi duy nhất mà tập hợp thế giới khả năng phải thỏa mãn là nó không rỗng.

Một trong các phần tử của M (ký hiệu là m0) được gán cho quy chế đặc biệt là thế giới thực – đó chỉ là một thế giới nào đó trong số các thế giới khả năng. Như vậy, khái niệm thế giới khả năng là nền tảng hơn so với khái niệm thế giới thực.

Đóng góp quan trong nhất của Kripke vào giải quyết vấn đề xây dựng ngữ nghĩa dành cho các phép toán tình thái là việc đưa vào ngữ nghĩa đó quan hệ hai ngôi R đặc biệt gắn kết các thế giới khả năng với nhau. Kripke gọi quan hệ đó là ―quan hệ đạt tới‖ của một thế giới này từ một thế giới khác; để diễn đạt nó người ta còn sử dụng cả thuật ngữ ―quan hệ giải pháp‖. Biểu thức siêu ngôn ngữ R(m1, m2) có nghĩa là, thế giới m2 đạt được từ thế giới m1hoặc

m2là giải pháp của m1. Trong ngữ nghĩa dành cho hệ T, mặc định tính phản

xạ của quan hệ đạt tới: tự thân từng thế giới khả năng đạt được từ chính mình

- mR(m, m).

Giá trị có thể của biến hàm, giống như trong lôgic cổ điển vẫn là 1 (chân thực) và 0 (giả dối). Tuy nhiên, việc đánh giá các biến trong ngữ nghĩa của lôgic tình thái được tương đối hóa với các thế giới khả năng: các biến

hàm được tính giá trị đúng hay sai không phải theo tự thân, mà trong thế giới khả năng nào đó, vả lại trong các thế giới khác nhau cùng một biến có thể mang các giá trị khác nhau. Các tiếp cận đánh giá như thế về các công thức (không chỉ công thức sơ đẳng, mà cả phức tạp) cho phép khẳng định rằng,

trong ngữ nghĩa này đã hiện thực hóa tư tưởng triết học về tính cụ thể của chân lý. Định dạng kĩ thuật của tư tưởng này được thực hiện như sau: hàm giải thích I (hàm gán giá trị cho các ký hiệu chữ cái phi lôgic) được xác định như hàm 2 chỗ, nó sắp đặt các giá trị từ tập hợp 0, 1 bằng các cặp cấu thành

từ biến hàm và thế giới khả năng. Biểu thức I(p, m) = 1, chẳng hạn, có nghĩa biến p trong thế giới khả năng m có giá trị ―đúng‖.

Tập hợp thế giới khả năng M, thế giới m0 được tách ra quan hệ đạt tới R và hàm giải thích I cùng tạo thành cấu trúc mẫu. Đó là bộ <M, m0, R, I>, trong đó:

(1) M 

(2) m0  M

(3) R – quan hệ hai ngôi được cho trên M (tức là RM  M) và có tính chất phản xạ - mR(m, m)

(4) I (, m) 1,0, trong đó  - biến hàm tùy ý, còn mM.

Việc gán các giá trị chính xác bằng các ký hiệu ngôn ngữ lôgic - bằng các liên từ cổ điển và tình thái - được thực hiện nhờ chỉ ra các điều kiện chân thực và giả dối của công thức được tạo thành nhờ chúng (các liên từ), trong thế giới khả năng tùy ý mM của cấu trúc mẫu tùy ý <M, m0, R, I>. Nhằm mục đích này với từng cấu trúc mẫu có sự phối hợp của hàm định giá 2 chỗ, mà từng công thức trong từng thế giới hoặc đúng, hoặc là sai. Biểu thức ―Am‖ được đọc như sau: ―giá trị của công thức A trong thế giới m‖.

Hàm định giá được xác định như sau:

1. m=1I(, m)=1, m=0I(, m)=0; 2. 7Am=1Am=0, 7Am=0Am=1; 3. ABm=1Am=1 và B =1,ABm=0Am=0 hay B=0; 4. ABm=1Am=1 hay B=1, ABm=0Am=0 và B=0; 5. ABm=1Am=0 hayB=1,ABm=0Am=1và B=0;

6. Am=1mR(m, m’)Am’=1, Am=0m’R(m, m’)

và Am’=0;

Điểm thứ nhất của định nghĩa nói rằng, giá trị của biến hàm bị quy định bởi hàm giải thích I. Bốn điểm tiếp theo là các định nghĩa ngữ nghĩa học tiêu chuẩn của các liên từ cổ điển đã được cải dạng dành cho các thế giới khả năng. Điểm thứ 6 cho biết điều kiện đúng và sai của các công thức tình thái dạng A. Công thức A chân thực trong thế giới khả năng m khi và chỉ khi trong từng thế giới đạt được từ m công thức A là chân thực. Và A giả dối trong m khi và chỉ khi A giả dối ít nhất ở trong một thế giới khả năng là giải pháp của thế giới m.

Bây giờ dựa vào định nghĩa toán tử khả năng - ADf 77A - có thể phát biểu các điều kiện chân thực và giả dối của công thức dạng A như sau:

7. Am=1m’R(m, m’) và Am’=1, Am=0m’R(m, m’)

Am’ = 0];

Công thức A chân thực trong thế giới khả năng m khi và chỉ khi tồn tại thế giới đạt được từ nó, mà trong đó công thức A là chân thực. A là giả dối trong m nếu và chỉ nếu A giả dối trong từng thế giới khả năng là giải pháp của thế giới m.

Công việc cuối cùng trong xây dựng ngữ nghĩa học dành cho lôgic tình thái T là việc đưa vào các khái niệm chân thực của công thức trong cấu trúc mẫu, khái niệm giá trị phổ quát trong T và các quan hệ lôgic khác nhau giữa các công thức trong T (trước hết là của quan hệ suy ra lôgic).

Công thức A chân thực trong cấu trúc mẫu <M, m0, R, I> khi và chỉ khi A trong thế giới m0 (thế giới chân thực của cấu trúc này) có giá trị ―chân thực‖.

Công thức A trong T có giá trị phổ quát khi và chỉ khi A chân thực

Từ tập hợp các công thức G trong lôgic tình thái T lôgic suy ra công

thức A khi và chỉ khi trong tất cả các cấu trúc mẫu, trong đó mọi công thức từ G chân thực, công thức A cũng là chân thực.

Mô hình của công thức A trong lôgic tình thái T là cấu trúc mẫu bất kỳ

của T, mà trong đó công thức A có giá trị ―chân thực‖.

X. Kripke đã chứng minh các siêu định lý về tính phi mâu thuẫn ngữ nghĩa và tính đầy đủ của phép toán T đối với hệ ngữ nghĩa đã nêu. Như vậy, lớp các định nghĩa của phép toán này trùng với tập hợp các công thức giá trị phổ quát T. Ông còn xác lập rằng, các ngữ nghĩa thích hợp dành cho một loạt các hệ thống tình thái chuẩn, nói riêng là cho các phép tính B, S4, S5, đều có thể nhận được bằng cách đặt ra các hạn chế thêm đối với quan hệ đạt được R trong cấu trúc mẫu <M, m0, R, I>.

Chẳng hạn, khái niệm công thức B – giá trị phổ quát (mà ngoại diên của nó trùng với các định lý của phép toán B) có thể được cho theo cách sau: là B – giá trị phổ quát các công thức chân thực trong cấu trúc mẫu <M, m0, R, I> bất kỳ, sao cho quan hệ R cùng với tính chất phản xạ còn có tính chất đối

xứng (giao hoán): m1m2 R(m1, m2)R(m2, m1).

Khi bổ sung thêm cùng với tính chất phản xạ với tư cách là điều kiện bổ sung cả tính chất bắc cầu của quan hệ R, tức là:

m1m2m3R(m1, m2) và (m2, m3)R(m1, m3).

thì sẽ nhận được lớp S4 – các công thức giá trị phổ quát, trùng với tập hợp các định lý của phép toán S4. Ngữ nghĩa đối với hệ S4 có một tính chất quan trọng: tất cả các mệnh đề vốn là tất yếu trong thế giới khả năng nào đó, thì vẫn là tất yếu trong thế giới bất kỳ đạt được từ nó. Luận điểm này vẫn là đúng đối với các mệnh đề không thể (phi khả năng): chúng vẫn là các mệnh đề không thể trong tất cả các giải pháp của thế giới xuất phát. Còn liên quan

đến các công thức không có dạng A hoặc 7A thì trong khi là chân thực ở thế giới m, chúng có thể trở thành giả dối trong m’ đạt được từ m.

Cuối cùng, S5 – giá trị phổ quát là các công thức chân thực trong tất cả các cấu trúc mẫu <M, m0, R, I> với R phản xạ, giáo hoán và bắc cầu. Tập

hợp các công thức như thế trùng với lớp các định lý của phép toán S5. Trong ngữ nghĩa hệ S5 và chỉ các công thức tất yếu và không thể vẫn bảo toàn được quy chế tình thái của mình khi chuyển từ thế giới đó vào thế giới đạt được từ nó. Điều này cũng vẫn là đúng đối với công thức có thể và không tất yếu: nếu công thức A (7A) chân thực ở thế giới m, thì nó vẫn bảo toàn giá trị của mình ở từng m’, là giải pháp của m. Có nhận xét rằng, để nhận được ngữ nghĩa phù hợp với phép toán S5 có thể đặt ra những hạn chế khác nhau, mạnh hơn, vào quan hệ đạt tới, khi yêu cầu quan hệ đó mang tính vạn năng:

m1m2 R(m1, m2)] tức là mỗi một thế giới đều có thể đạt được từ từng thế giới. Từ đó suy ra có thể phát biểu ngữ nghĩa dành cho S5 nhìn chung không cần đến quan hệ đạt tới: tính chân thực của công thức A sẽ có nghĩa là, A chân thực ở từng thế giới trong số M, còn tính giả dối của nó có nghĩa là, trong M có thế giới mà ở đó A sai. Các dữ kiện chân thực như thế của các công thức dạng A gần giống như định nghĩa chân thực lôgic của Karnap. Điều này khiến cho nhiều nhà nghiên cứu cho rằng, S5 là hệ thống sao chép được các tình thái chân lý lôgic.