Các định nghĩa cơ bản về nội dung

Chương 1: LƯỢC SỬ VÀ NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA LÔGIC HỌC TÌNH THÁI

1.3. Nội dung của lôgic tình thái chân lý chuẩn

1.3.1. Các định nghĩa cơ bản về nội dung

Các hệ thống lôgic tình thái chân lý hiện đại vẫn được xây dựng như sự mở rộng các lý thuyết lôgic cổ điển. Dựa trên những tri thức lôgic toán tối thiểu mà người học đã nắm được, luận văn sẽ trình bày các phép tính đã nêu trên nền tảng của phép tính mệnh đề cổ điển.

A

C D B

Thêm vào bảng chữ cái lôgic mệnh đề cổ điển các ký hiệu mới – các toán tử tình thái. Chỉ cần thêm vào bảng chữ cái một liên từ tình thái: toán tử tất yếu - .

Nếu A là công thức, thì A cũng là công thức.

Các tình thái ―có thể‖ () và ―ngẫu nhiên‖ () được đưa vào bằng cách sau: A Df 77A, A Df 7A^77A.

Như thế đã có được định nghĩa chuẩn về ―tất yếu‖. Thế còn ―ngẫu nhiên‖ thì phần bên phải của định nghĩa tương đương đối với công thức dạng

A^7A, tức là tình huống do A mô tả được xếp vào loại ngẫu nhiên khi có thể cả sự hiện hữu lẫn sự phủ định của nó.

Kéo theo chặt Lewis cũng có thể được định nghĩa thông qua các liên từ khởi điểm: A  B Df (AB).

Định nghĩa này có nghĩa là công thức kéo theo chặt khẳng định tính chất tất yếu của công thức kéo theo cổ điển. Chúng ta còn thấy rằng, vế bên phải của định nghĩa đẳng trị với công thức 7(A^7B), tức là ký hiệu  được hiểu theo đúng tinh thần Lewis.

Hệ lôgic tình thái chuẩn tối thiểu là phép tính T do R. Pheis và G. phon Vringt xây dựng. Các định đề diễn dịch của hệ thống T – là các sơ đồ tiên đề của phép tính mệnh đề cổ điển bổ sung thêm hai tiên đề tình thái:

A1. AA;

A2. (AB)(AB).

Hai quy tắc suy diễn: R1: modus ponens (MP).

R2: ├ A

├ A Quy tắc Gôđơn

Quy tắc Gôđơn giống với quy tắc tích hợp hóa của phép tính vị từ cổ điển ở chỗ, kết luận của nó không suy ra một cách lôgic từ tiên đề. Chính vì

thế quy tắc đú, như thấy rừ qua cụng thức của nú, chỉ cho phộp ỏp dụng với các công thức đã được chứng minh. Từ giác độ nội dung, quy tắc Gôđơn có ý nghĩa là, mọi quy luật lôgic đều là luận điểm tất yếu.

Khái niệm chứng minh trong phép tính T - chuẩn: chứng minh là dãy hữu hạn không trống các công thức C1, C2,…, CK, trong đó mỗi một Ci hoặc là một trong số các tiên đề, hoặc là công thức nhận được từ dãy các công thức đứng trước theo quy tắc R1 hoặc R2.

Chứng minh công thức A trong phép tính T là phép chứng minh mà công thức cuối cùng của nó trùng với công thức A. Công thức A được gọi là định lý của hệ T, nếu và chỉ nếu tồn tại chứng minh của A trong T.

Khái niệm suy diễn từ tập hợp các giả thiết G trong phép toán T khác với khái niệm chứng minh bởi tính tất yếu bổ sung đối với Ci phải là phần tử của G. Ngoài ra, còn có sự giới hạn sử dụng quy tắc Gôđơn: Ci có thể được nhận theo quy tắc chỉ từ các định lý của hệ T. Từ tập hợp các giả thiết G trong phép toán T công thức B được rút ra (G├B) khi và chỉ khi trong hệ có suy diễn từ G, mà B là công thức cuối cùng của nó.

Trong phép toán T siêu định lý diễn dịch vẫn đúng:

Nếu G, A├B, thì G├AB.

Hệ T thỏa mãn tập hợp tối thiểu các yêu cầu do Lucasevich nêu ra đối với lôgic tình thái chân lý. Dưới đây là sơ đồ một số định lý quan trọng:

(A^B) (A^B) (AB)  (AB)

(AB)  (AB)

(AB)  (AB)

(AB)  (AB)

(A^B)  (A^B) (AB)  (AB)

Có nhiều vô hạn các phép tính tình thái chuẩn vốn đều là những mở rộng của T. Xin dẫn ra ở đây ba hệ mở rộng thú vị nhất trong số chúng.

Phép tính B Braoơ là mở rộng hệ T bằng cách bổ sung thêm tiên đề:

A3. AA mọi cái hiện thực tất yếu là có thể.

Định lý của hệ B còn là các công thức dạng AA, từ đó có thể dùng A3 để chứng minh quy luật chuyển đổi các tình thái  và : AA

Kéo theo ngược - AA – không phải là định lý ở bất kỳ lôgic tình thái chân lý chuẩn nào.

Có thể nhận được dạng Gôđơn của phép tính S4 Lewis bằng cách thêm vào các định đề diễn dịch của hệ tiên đề T:

A4. AA ( cái tất yếu tất yếu phải là tất yếu).

Trong phép tính nêu trên các công thức kiểu AA đều được chứng minh. Do các kéo theo ngược của các công thức đó và của A4 cũng là các định lý của nó (do đã có ở hệ T yếu hơn các quy luật AA và AA), nên phép tính S4 có tính chất quan trọng: công thức C bất kỳ bao gồm dãy kế tiếp hữu hạn không trống các ký hiệu , đều tương đương với công thức C trong nó, còn công thức C bất kỳ có chứa dãy kế tiếp tương tự các ký hiệu , tương đương với công thức C trong nó. Nói cách khác, đều là định lý của S4 các công thức kiểu như sau:

…C  C, …C  C

Vẫn còn thêm một hệ thống Lewis – phép tính S5 - nhận được từ hệ B bằng cách thêm vào nó tiên đề A4, hoặc từ S4 bằng cách bổ sung tiên đề A3. Ngoài ra, còn có thể nhận được S5 trực tiếp từ T bằng cách thêm tiên đề sau:

A5. AA ( thứ có thể tất yếu là có thể).

Các quy luật của S5 cũng là các công thức dạng AA. Nói chung, ở hệ này trong các công thức được bắt đầu từ tiếp đầu tố tình thái cấu thành từ

các ký hiệu  và , thì tình thái cuối cùng tiếp đầu tố là căn bản. Chặt chẽ hơn, trong S5 được chứng minh các công thứ dạng:

MB  B và MB  B, trong đó M là dãy kế tiếp hữu hạn bất kỳ các toán tử  và  được sắp đặt trong nó theo trình tự tùy ý.

Tính chất quan trọng khác của phép tính S5 vốn cũng gắn liền với sự loại suy các tình thái phức tạp về đơn giản hơn, được phát biểu như sau: công thức B bất kỳ, trong đó B là công thức,  là dãy kế tiếp hữu hạn các ký hiệu: 7,  và  được sắp xếp theo trật tự tùy ý, đều tương đương trong phép tính đó với công thức thuộc một trong sáu dạng sau: B, 7B, B, 7B, B,

7B. Cần thấy rằng trong hệ S4 biểu thức B có thể được quy một cách tương đương về công thức thuộc 14 dạng sau: ngoài 6 dạng trên còn thêm: B,

7B, B, 7B, 7B, B, B, B7B.

Các tình thái thực hiện việc đánh giá các tình huống ở khía cạnh khác so với tình thái chân lý, về các thuộc tính thì cũng có điểm giống, điểm khác so với chúng. Vì thế tập hợp có thể các định đề diễn dịch trong từng trường hợp đều có đặc thù, mặc dù việc xây dựng các hệ đó vẫn được thực hiện theo nguyên tắc như trong các phép tính tình thái chuẩn: chúng được định hình như thượng tầng nằm trên lôgic cổ điển. Có thể sơ bộ minh hoạ sự vận dụng mở rộng lôgic tình thái chân lý chuẩn như sau.

Trong các hệ lôgic bổn phận với tình thái xuất phát điểm là ―bắt buộc‖

(ký hiệu là ―0‖) thì về nội dung tương tự với quy luật lôgic chân lý AA ta thu được công thức 0AA. Luận điểm mà công thức này diễn tả là ―tất cả những gì được quy định bởi chuẩn mực đều xảy ra trong hiện thực‖ – không tương thích với tình hình hiện thực các sự việc bởi lẽ không phải mọi người luôn tuân theo các chuẩn mực đạo đức và pháp luật. Thông thường trong các hệ bổn phận, thay vì 0AA với tư cách định đề ta có sơ đồ khác: 0A707A.

Khi tính đến việc tổ hợp các ký hiệu ―07‖ về định nghĩa đồng nhất với tình

thái ―cấm chỉ‖ thì nghĩa của sơ đồ trên là, điều luật không thể đồng thời buộc phải làm việc gì đó lại vừa cấm thực hiện nó. Đôi khi trong các hệ lôgic bổn phận, khi vứt bỏ định đề 0AA, người ta đưa vào tiên đề 0(0AA) có nghĩa là, điều luật chuẩn đòi hỏi việc thực hiện bắt buộc các khuyến cáo của mình.

Một số nhà nghiên cứu cho quy tắc Gôđơn đối với tình thái 0 chưa hẳn đúng về nội dung, bởi lẽ việc tiếp nhận nó có thể có nghĩa là, điều luật chuẩn có chứa khuyến cáo về sự tất yếu phải thực hiện các quy luật lôgic. Trong trường hợp này thay vì quy tắc đó là quy tắc suy diễn yếu hơn:

AB

0A0B, trong đó kết luận nói rằng, nếu A là bắt buộc, thì tất cả các hệ quả lôgic của A cũng đều là bắt buộc.

Trong việc xây dựng các hệ thống lôgic tình thái tri thức luận cá nhân, chẳng hạn, ―người a biết rằng …‖ (tác tử Ka), ―người a đoán rằng…‖ (tác tử Ba), thường gây ra những nghi ngại thực sự không chỉ đối với quy tắc Gôđơn, mà còn cả quy tắc tương tự như quy tắc bổn phận yếu hơn nêu trên. Sự hiện diện trong hệ thống tri thức luận quy tắc nào đó trong số:

A

Ka A hay

AB

KaAKaB, khiến cho hệ thống trở thành nghịch lý về nội dung. Theo quy tắc thứ nhất, người đó có tri thức về tất cả các quy luật lôgic, còn theo quy tắc 2, người đó biết tất cả các hệ quả lôgic từ các mệnh đề mà nó coi là chân thực. Các quy tắc đó và các luận điểm tương tự với chúng vốn không tương thích với cảm nhận có tên gọi là ―nghịch lý toàn quyền lôgic‖. Việc bắt chước quy luật chân lý AA là chấp nhận được đối với tình thái tri thức luận KaAA. Trong khi đó, điều tương tự dành cho tình thái suy đoán BaAA là không thể chấp nhận, bởi lẽ ý kiến phỏng đoán của người ta, khác

với tri thức, sự hiểu biết của họ, rất có thể không phù hợp với hiện thực. Việc đưa vào lôgic tri thức luận một số các định đề diễn dịch có thể cách nào đó hạn chế bớt lớp các tác nhân mang (có) tri thức và ý kiến. Chẳng hạn, việc đưa vào làm quy luật các công thức dạng BaA7Ba7A chứng tỏ về tính hợp lý của chủ thể, về chuyện người đó tuân thủ nguyên tắc phi mâu thuẫn lôgic, khi không coi là đúng đồng thời một khẳng định nào đó và phủ định của nó, còn việc có trong hệ thống tri thức luận quy luật KaAKaKaA nói về sự ý thức được của chủ thể vốn tri thức của mình (phần này sẽ được nghiên cứu kỹ hơn ở tiết 2.3).

Phần lôgic tình thái được nghiên cứu khá sâu là lôgic chứng minh, trong đó ghi nhận các thuộc tính lôgic của tình thái tri thức luận phi nhân cách. Thú vị nhất là hệ GL, mà ngôn ngữ của nó chứa tác tử tình thái (ký hiệu

◘) được hiểu tương tự như cụm từ ―đã chứng minh được trong số học hình thức rằng, …‖. Thuộc tính của các mệnh đề số học hình thức: ―được chứng minh‖ tự thân đã được hình thức hóa trong lý thuyết đó. Một sự hình dung phù hợp các đặc trưng lôgic của thuộc tính đó được thực hiện, trong phép toán mệnh đề cổ điển, 2 sơ đồ tình thái ◘(AB)(◘A◘B) và ◘(◘AA)◘A, thêm vào đó cả quy tắc Modus ponens và quy tắc Gôđơn dành cho các tình thái ◘.

Còn liên quan đến các tình thái đánh giá ―tốt‖ và ―xấu‖ thì phần nhiều nó giống với lôgic các tình thái mang tính thời gian (lôgic mang tính thời gian – phân biệt với lôgic thời gian) sẽ được khảo sát ở tiểu tiết 2.1.2.

1.3.2 Ngữ nghĩa của thế giới khả năng đối với các phép tính tình thái