Các số Fermat

- Phƣơng pháp

d) Tìm số dư trong phép chia cho p

3.3.5. Các số Fermat

Fermat là nhà toán học người Pháp thế kỷ XVII. Người ta gọi các số có dạng: Fn = 22n

+ 1, với n = 1, 2, 3… là số Fermat. (cần phân biệt 2n

= 22n còn (22)n = 4n)

Fermat đưa ra giả thuyết rằng: Tất cả các số dạng Fn đều là số nguyên tố. Nhà toán học Euleur chỉ ra rằng F5 là một hợp số vì F5 có một ước số thực sự là 641.

Ta có thể khẳng định sau đây: Tất cả các số Fermat đôi một nguyên tố cùng nhau, tức là (Fn, Fm) = 1 với m  n.

Thật vậy: Giả sử (Fn, Fm) = d với d là số tự nhiên khác 0, và m > n.  m = n + k  Fm = Fn+k = 2n k 2  +1 = 22n 2k 2  +1 Đặt 2n 2 = x và 2k = 2l Fm = x2l + 1  Fm - 2 = x2l - 1 vì x2l - 1 chia hết cho x + 1  Fm - 2 chia hết cho x + 1 = Fn vì d = (Fn, Fm)  d \ Fn, mà Fn \ Fn - 2  d \ Fm - 2, d \ Fm  d \ 2  d = 1 hoặc d = 2. Mặt khác do Fn và Fm là số lẻ, nên d =1. Nói cách khác, (Fn, Fm) = 1 với mọi n  m. Nhận xét

1) Cho đến nay, người ta vẫn còn chưa biết được trong tập hợp các số Fermat thì các số nguyên tố có nhiều vô hạn hay không và các hợp số có nhiều vô hạn hay không.

2) Dựa vào khẳng định trên đây có thể có thêm một cách chứng minh rằng: Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn. Thật vậy, chỉ cần lấy một trong các ước số nguyên tố của mỗi một trong các số Fermat.