Sử dụng tính chất: Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng

- Phƣơng pháp

e)Sử dụng tính chất: Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng

phương thì một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0

Giả sử a(a + 1) = k2(1) với a  Z, k  N

Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử a  0, a + 1  0 thì k2 0. Do kN nên k > 0 Từ (1) suy ra: a2 + a = k2  4a2 + 4a = 4k2  4a2 + 4a + 1 = 4k2 + 1  (2a + 1)2 = 4k2 + 1 (2) Do k > 0 nên 4k2 < 4k2 + 1 < 4k2 + 4k + 1 (3) Từ (2) và (3): (2k)2 < (2a + 1)2 < (2k + 1)2, vô lí. Vậy nếu a(a + 1) = k2

thì tồn tại một trong hai số a, a + 1 bằng 0.

* Chú ý. Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì chưa thể kết luận được mỗi số đều là số chính phương. Chẳng hạn: hai số -1 và 0.

Ví dụ 6. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x2 + xy + y2 = x2y2 (1)

Giải Cách 1. Thêm xy vào hai vế:

x2+ 2xy + y2 = x2y2 + xy

 (x + y)2 = xy (xy + 1) (2)

Ta thấy xy và xy + 1 là hai số nguyên liên tiếp, có tích là một số chính phương nên tồn tại một số bằng 0

Xét xy = 0. Từ (1) có x2

+ y2 = 0 nên x = y = 0

Xét xy + 1 = 0. Ta có xy = -1 nên (x, y) bằng (1; -1) hoặc (-1; 1)

Thử lại, ba cặp số (0; 0), (1; -1), (-1; 1) đều là nghiệm của phương trình đã cho.

Cách 2. Đưa về phương trình ước số 4x2 +4xy + 4y2 = 4x2y2

 4x2 + 8xy + 4y2 = 4x2y2 + 4xh  (2x + 2y)2 = (2xy + 1)2 - 1  (2x + 1)2 - (2x + 2y)2 = 1

Sau đó đưa về phương trình ước số.

Cách 3. Dùng tính chất của số chính phương và đưa về phương trình ước số:

4x2 + 4xy + 4y2 = 4x2y2  (2x + y)2 + 3y2 = 4x2y2  (2x + y)2 = y2(4x2 - 3)

Nếu y = 0 thì x = 0, ta có (0; 0) là một nghiệm. Nếu y  0 thì 4x2 - 3 phải là số chính phương. Ta có 4x2

- 3 = k2(k  N), đưa về (2x + k) (2x - k) = 3. Ta tìm được x1 = 1; x2 = -1. Từ đó tìm được y.

Cách 4. Dùng bất đẳng thức. Không mất tính tổng quát, giả sử x y, thế thì x2  y2, xy  xy y2.

Do đó: x2

y2 = x2 + xy + y2  y2 + y2 + y2 = 3y2 Nếu y = 0 thì x = 0

Nếu y  0 thì chia hai vế cho y2 được x2  3. Do đó x2 = 1. Ta có thêm hai nghiệm: (1; -1), (-1, 1)

Cách 5. Đưa về phương trình bậc hai đối với x: (y2 - 1) x2 - yx - y2 = 0 (2) Xét y - 1, (2) có dạng: -x - 1 = 0 được x = -1 Xét y = -1, (2) có dạng: x - 1 = 0 được x = 1. Xét y   1, (2) là phương trình bậc hai đối với x.

 = y2 + 4y2 (y2 - 1) = y2(4y2 - 3) Ta phải có  là số chính phương

Nếu y = 0 thì từ (2) suy ra x = 0

Nếu y  0 thì 4y2 - 3 phải là số chính phương Ta có 4y2

- 3 = k2 (k  N) nên (2y + k) (2y + k) (2y-k) = 3 Ta tìm được y =  1, loại vì ta đang xét y  1.

1.3. Dấu hiệu chia hết trong hệ thập phân (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Trong các sách giáo khoa và sách tham khảo toán phổ thông, người ta thường sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 25, 101, … dựa vào dấu hiệu chia hết trong hệ thập phân do nhà toán học Pháp Pascal (1623- 1662) nêu ra. Để đơn giản trong cách trình bày, với các số nguyên a, b, c và số nguyên dương m thoả mãn a = mb + c ta viết là a  c(modm)