- Phƣơng pháp
3.3.3.Phương pháp quy nạp toán học
d) Tìm số dư trong phép chia cho p
3.3.3.Phương pháp quy nạp toán học
3.3.3.1. Lý thuyết
Muốn chứng minh một khẳng định An đúng với mọi n = 1, 2, 3… ta chứng minh.
+ Khẳng định A1 đúng.
+ Giả sử khẳng định Ak đúng với k 1, ta cũng suy ra được khẳng định Ak + 1 đúng.
+ Kết luận khẳng định An đúng với mọi n = 1, 2, …
3.3.3.2. Ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên dương liên tiếp thì chia hết cho 9.
Giải
Gọi ba số nguyên dương liên tiếp đó là n; n + 1 và n + 2 Ta phải chứng minh. [n3 + (n+1)3 + (n+2)3] 9 (1) a) Với n = 1, ta có: 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36 là số chia hết cho 9. Vậy mệnh đề (1) đúng với n = 1. b) Giả sử (1) đúng với n = k 1 (k N) tức là [k3 + (k+1)3 + k + 2)3] 9 Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh [(k+1)3 + (k+2)3 + (k+3)3] 9.
Ta có:
(k+1)3 + (k+2)3 + (k+3)3 = (k+1)3 + (k+2)3 + k3 + 9k2 + 27k + 27 = [k3 + (k+1)3 + (k+2)3] + 9(k3 + 3k + 3)
Theo giả thiết quy nạp [k3
+(k+1)3 + (k+2)3] 9, còn 9(k2 + 3k + 3)9 với mọi k. Do đó [(k+1)3
+ (k+2)3 + (k+3)3] 9.
c) Kết luận: Mệnh đề (1) đúng với mọi số nguyên dương n. Vậy tổng các lập phương của ba số nguyên dương liên tiếp thì chia hết cho 9.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n = 1, 2, … Bn = 32n+2 + 26n+1 chia hết cho11 Giải - Với n = 1: B1 =34 + 27 = 81 + 128 = 209 11 - Giả sử khẳng định đúng với n = k 1, tức là: Bk = 32k+2 + 26k+1 chia hết cho 11 Tức là: Bk = 11Q = 11Q - 26k+1 - Xét Bk+1 = 32(k+1)+2 + 26(k+1)+1 = 9.32(k+1) + 26(k+1)+1 = 9(11Q - 26k+1) + 26(k+1)+1 = 99Q - 9.26k+1. 26. = 99Q - 9.26k+1 +64. 26+1 = 99Q + 55.26k+1
Bk+1 chia hết cho 11.
Nói cách khác, khẳng định cũng đúng khi n = k + 1. Kết luận: Bn = 32k+2
+ 26k+1 chia hết cho 11 với mọi n = 1, 2, 3…