- Phƣơng pháp
c) Dấu hiệu chia hết cho số lẻ p không là bội củ a
Trong Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ số 291 (9/2001) các bạn Nguyễn Bốn, Nguyễn Lê Hiếu đã trình bày “Một tiêu chuẩn chia hết cho các số lẻ p không là bội của 5”. Phát biểu ý tưởng này có thể xây dựng một tiêu chuẩn chia hết tương tự cho số lẻ p không là bội 5 để dẫn đến một dấu hiệu chia hết cho p một cách tổng quát trong hệ thập phân.
Trong bài này, từ đây về sau ta luôn kí hiệu p là số lẻ lớn hơn 1 mà không phải là bội của 5, nghĩa là (p, 10) = 1.
Mệnh đề 1. Với mỗi số p = 10s + r với r = 1, 3, 7, 9 luôn tìm được số nguyên k (phụ thuộc vào s, r) để 10k 1 (mod p), nghĩa là 10k - 1 chia hết cho p.
- Chứng minh.
+ Với p = 10s + 1 ta chọn k -s (mod p) hay k = pt - s (t Z) thì 10k - 1 = 10 (pt - s) - 1 = 10pt - (10s + 1) = p(10t - 1).
+ Với p = 10s + 3 ta chọn k 3s + 1 (mod p) hay k = pt + 3s + 1 (t Z) thì 10k - 1 = 10(pt + 3s +1) - 1 = 10pt + 3(10s + 3) = p(10t + 3).
+ Với p = 10s + 7 ta chọn k -(3s+2) (mod p) hay k = pt - 3s - 2 (t Z) thì 10k - 1 = 10(pt - 3s - 2) - 1 = 10pt - 3(10s + 7) = p(10t - 3).
+ Với p = 10s + 9 ta chọn k s+1) (mod p) hay k = pt + s + 1 (t Z) thì 10k - 1 = 10(pt + s +1) - 1 = 10pt + (10s + 9) = p(10t + 1) đpcm. Từ cách chọn trên dễ thấy rằng: + Với p = 10s 1 thì k 10 1 p . + Với p = 10s 3 thì k 3 p .
Trong bảng dưới đây đã chọn số k có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất tương ứng với số lẻ p không là bội 5 mà p 101, trong đó p là số nguyên tố thì được in đậm.
p 3 7 9 11 13 17 19 21 k 1 -2 1 -1 4 -5 2 -2 p 23 27 29 31 33 37 39 41 k 1 -8 3 -3 10 -11 4 -4 p 43 47 49 51 53 57 59 61 k 13 -14 5 -5 16 -17 6 -6 p 63 67 69 71 73 77 79 81 k 19 -20 7 -7 22 -23 8 -8 p 83 87 89 91 93 97 99 101 k 25 -26 9 -9 28 -29 10 -10
Mệnh đề 2. Số tự nhiên T = a1a2a3...at có cùng số dư với số nguyên 10t-1
. D = 10t-1 9a1 + ka2 + k2a3+ … + kt-1
.at) khi chia cho số p = 10s + r với r = 1, 3, 7, 9, còn k là số thoả mãn 10k 1 (mod p).
Nói ngắn gọn là T 10t-1D (mod p).
Chứng minh
Ta chứng minh bằng quy nạp theo t:
+ Với t = 1 thì T = 1. D = a1 mệnh đề (MĐ) đúng.
+ Giả sử MĐ đúng với t. Xét số N1 có t + 1 chữ số. N1 = a1a2...atat1 = 10T + at+1 với T = a1a2...at .
Theo MĐ1 có 10k-1 = pv với v Z.
Từ đó N1 = 10T + at+1 = 10(T + kat+1) - (10k - 1)at+1 = 10(T + kat+1) - pvat+1 hay N1 10T + 10kat+1 (mod p).
Theo giả thiết quy nạp thì T 10t-1 D(mod p) nên N1 =10t.D + 10kat+1 (mod p) (1)
Xét 10t
D1 = 10t(a1 + ka2 + … + kt-1 at + ktat+1) = 10tD + 10tktat+1
= 10tD + 10k (10t-1kt-1 - 1)at+1 + 10kat+1. Với t > 1 thì 10t-1
kt-1 chia hết cho 10k - 1 = pv nên 10t. D1 10 + t.D + 10kat+1 (mod p) (2). Với t = 1 thì 10tD1 = 10t.D + 10kat+1 cũng có (2).
So sánh (1) và (2) rút ra N1 = 10t.D1(mod p), nghĩa là MĐ đúng với t+1. Vậy mệnh đề 2 đúng với mọi t N*.
Từ mệnh đề 2 rút ra ngay hệ quả sau:
Mệnh đề 3. Số tự nhiên T = a1a2...at chia hết cho p khi và chỉ khi D = a1+ ka2 + k2a3+ … + kt-1
at chia hết cho p, trong đó p = 10s + r với r = 1, 3, 7, 9, còn k là số thoả mãn 10k 1 (mod p)
Như vậy, dấu hiệu chia hết cho số p = 10s + r (r = 1, 3, 7, 9) tương ứng với một dãy số, gọi là dãy chia cho p, kí hiệu là dp = (l, k, k2
, k3, …).
Dưới đây áp dụng mệnh đề 3 cho các số p = 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19 và sử dụng bảng giá trị k ứng với p ở trên ta tìm được dãy số chia cho p, kí hiệu dp trong đó các số của dãy được tính sao cho giá trị tuyệt đối của số đó nhỏ hơn
21 1 p
. Các dãy số này tuần hoàn, gọi chu kì tuần hoàn là hp. d3 = d9 = (1, 1, 1, 1, …), h3 =1 d7 = (1, -2, 4, -1, 2, -4, 1, -2, …), h7 = 6. d11 = (1, -1, 1, -1, 1, …), h11 = 2. d13 = (1, 4, 3, -1, -4, -3, 1, …), h13 = 6. d17 = (1, -5, 8, -6, -4, 3, 2, 7, -1, 5, …), h17 = 16. d19 = (1, 2, 4, 8, -3, -6, 7, -5, 9, -1, …), h19 = 18.
Mệnh đề 4. Dãy số dp chia cho số lẻ p không là bội 5 là dãy số tuần hoàn có chu kì là ước số của số Euler (p).
Chứng minh
Số k được chọn thoả mãn 10k 1 (mod p) nên (k, p) = 1. Theo định lí Euler thì k(p) 1 (mod p), trong đó p = as
s a l ...p p l là sự phân tích p ra thừa số nguyên tố, (p) = s 1 i a i s 1 i a i p (p 1) p i i 1 .
Gọi h là ước số nhỏ nhất của (p) thoả mãn kh 1 (mod p). Với mỗi số t = hq + r (0 r h - 1) ta có kt = khq+r khq.kr kr (mod p), với mọi r = 0, 1, …, h - 1, suy ra dãy số 1, k, k2, …, kh-1, 1, … là dãy số tuần hàn có chu kì h.
Từ bảng tính k trên, các bạn có thể tính được dãy số chia cho mỗi số p 101 mà (p, 10) = 1.