- Phƣơng pháp
d) Tìm số dư trong phép chia cho p
3.3.4. Phương pháp chứng minh bằng phản chứng
3.3.4.1. Lý thuyết
Muốn chứng minh khẳng định P đúng bằng phương pháp phản chứng, ta làm như sau:
- Bước 1: Giả sử ngược lại P sai.
- Bước 2: Từ giả sử P sai, chúng ta suy ra điều vô lí.
- Bước 3: Điều vô lí đó chứng tỏ P không sai tức là khẳng định P đúng.
3.3.4.2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có số: An = n2 + n + 1 không bao giờ chia hết cho 9.
Giải
Phân tích An = (n-1) (n+2) + 3
Cách 1. Giả sử ngược lại tồn tại số nguyên a sao cho: (a - 1)(a + 2) + 3 chia hết cho 9
Vì (a - 1)(a + 2) + 3 chia hết cho 9 nên (a - 1)(a + 2) + 3 chia hết cho 3. Nhưng khi đó (a - 1)(a + 2) chia hết cho 3, suy ra:
Hoặc là: a - 1 chia hết cho 3 Hoặc là: a + 2 chia hết cho 3
- Nếu a - 1 chia hết cho 3, mà a + 2 = (a-1) + 3 Suy ra: a + 2 cũng chia hết cho 3.
- Còn nếu a + 2 chia hết cho 3, mà a - 1 = (a + 2) - 3 Suy ra: a - 1 cũng chia hết cho 3.
Suy ra: (a - 1)(a + 2) chia hết cho 9
(a - 1)(a + 2) + 3 = a2 + a + 1 chia hết cho 9 Suy ra 3 chia hết cho 9. Vô lý!
- Điều vô lý đó chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n, ta có: An = n2 + n + 1 không chia hết cho 9.
Cách 2. Giả sử ngược lại, có số nguyên a sao cho: A = a2 + a + 1 chia hết cho 9
a2 + a + 1 = 9k 4a2 + 4a + 4 = 36k
(2a + 1)2 = 36k - 3 (2a + 1)2 = 3(12k - 1) 12k - 1 chia hết cho 3 (vô lý).
Điều vô lý chứng tỏ An = n2
+ n + 1 không chia hết cho 9, với mọi số nguyên n.
Ví dụ 2. Tìm tất cả các số tự nhiên n để An = 2n - 1 chia hết cho 7.
Giải Ta có: n = 3q + r, với r = 0, 1, 2 - Nếu r = 0 n = 3q 2n - 1 = 23q - 1 = 8q - 1 = 7.(8q-1 + … + 8 + 1) 7 - Nếu r = 1 n = 3q + 1 2n - 1 = 23q+1 - 1 = 2n - 1 = 2.8q - 1 = 8q - 1 + 8q. Vì 8q
- 1 chia hết cho 7 và 8q không chia hết cho 7, do đó 2n - 1 không chia hết cho 7.
- Nếu r = 2 n = 3q + 2 2n - 1 = 23q+2 - 16 2n - 1 = 23q+2 - 1 = 4.8q- 1 = 8q - 1 + 3(7 + 1)q
= 8q - 1 + 3(7B + 1) = 8q - 1 + 21B + 3 Vì 8q
- 1 và 21B chia hết cho 7, do đó 2n - 1 không chia hết cho 7. Kết luận: Nếu n = 3q với q = 0, 1, 2, … thì 2n