- Phƣơng pháp
1.2.4.Sự chia hết và nghiệm nguyên của phương trình
3) Bội chung Bội chung nhỏ nhất (BC-BCNN)
1.2.4.Sự chia hết và nghiệm nguyên của phương trình
1.2.4.1. Sử dụng định lí nghiệm nguyên của phương trình bậc hai để giải phương trình
* Định lí 1. Phương trình ax2
+ bx + c = 0 với các hệ số nguyên và c 0 nếu có nghiệm nguyên x0 thì c chia hết cho x0.
* Định lí 2. Phương trình x2
+ bx + c = 0 với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên khi và chỉ khi = b2 - 4c là bình phương của một số nguyên ( là số chính phương).
Chứng minh
- Giả sử phương trình trên có nghiệm nguyên x0 2 0
x + bx0 = -c = b2 - 4c = (2x0 + b)2
- Đảo lại, nếu = b2 - 4c = t2 thì b và t phải chùng chẵn hoặc cùng lẻ x = 2 t b là số nguyên
+ Áp dụng định lí 1 vào giải phương trình nghiệm nguyê n dạng x2 - y2 = m (1) (với m là số nguyên dương).
- Trước hết ta tìm nghiệm nguyên dương x, y
Đặt y = x - v (v > 0) thay vào phương trình trên v2 - 2xv + m = 0 - Theo định lý 1 phương trình này nếu có nghiệm nguyên là v v phải là ước của m x0, y0 nguyên dương.
Nghiệm phương trình (1) là (x0, y0), (x0, -y0), (-x0, y0), (-x0, -y0). + Áp dụng hai định lí trên và cách giải phương trình (1) vào phương trình có hệ số nguyên dạng x2
+ by2 + cxy + dx + ey + f = 0 ta có:
* Định lý 3. Phương trình với hệ số nguyên x2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 có nghiệm nguyên = (cy + d)2 - 4 (by2 + ey + f) là bình phương của một số nguyên.
Ví dụ. Giải phương trình nghiệm nguyên:
x2 + 3y2 + 4xy + 2x + 4y - 9 = 0 (2)
Giải
x2 + 2(2y + 1)x + (3y2 + 4y - 9) = 0
Áp dụng định lý 3 ta có phương trình (2) có nghiệm nguyên khi: (2y + 1)2 - (3y2 + 4y - 9) = V2 (3) có nghiệm nguyên V2 = y2+ 10 (4)
Đặt V = y + 2t thay vào (4) 2(t2 + t) = 5
2 vế khác tính chẵn lẻ Phương trình (4) vô nghiệm phương trình (2) không có nghiệm nguyên.
1.2.4.2. Phương pháp dùng tính chia hết