- Công cụ vectơ được khai thác như thế nào trong các bài toán HHGT liên quan đến phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong không gian? Tính trực giác của
lần ượt à các vectơ chỉ phương củ ad và d’ + Góc gi ữa chúng bằng
.
+ d song song với đường thẳng ∆, còn d’ vuông góc với ∆ (∆ là đường thẳng nào đó). + d ⊥ mp( )α mà mp( )α chứa d’, hoặc d’ ⊥ mp( )β mà mp( )β chứa d.
(Khi d và d’ cắt nhau, có thể sử dụng các phương pháp trong hình học phẳng như trung tuyến của tam giác cân, định lí đảo của định lí Py-ta-go,…)
Mặc dầu GV11 đưa ra các kỹ thuật trên nhưng chúng tôi không tìm thấy ví dụ cũng như bài tập sử dụng kỹ thuật thứ hai và thứ ba để giải.
2dt
cmvg.1
τ : Chứng minh .u r =0 ; u , v
lần lượt là các vectơ chỉ phương của d và d’.
θ2dtcmvg.1: Tính chất của tích vô hướng hai vectơ.
Ví dụ:
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và ASB=BSC =CSA . Chứng minh rằng
SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB. (GK11, Bài tập 9, trang 96)
Tóm tắt lời giải : Do BC=SC −SB nên .
SA BC
= −SA SB . + SA SC .
= −SA.SBcosASB + SA.SCcosASC = 0.
2dt
cmvg.2
τ : Chứng minh d ⊥ mp( )α mà mp( )α chứa d’
2dt cmvg.2
θ : Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Ví dụ: (BT11, Bài tập 29, tr.119)
Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với mp(ABC), ABC là tam giác vuông tại A. a) Chứng minh rằng ASC là tam giác vuông. (…) (BT11, Bài tập 29, trang 119)
Lời giải bài toán này rất đơn giản:
SB ⊥ (ABC) và BA ⊥ AC nên SA ⊥ AC tức là SAC là tam giác vuông tại A.
2dt
cmvg.3
θ : Khi d và d’ cắt nhau, có thể sử dụng các phương pháp trong hình học phẳng như trung tuyến của tam giác cân, trung tuyến bằng nửa cạnh đáy, định lí đảo của định lí Py-ta-go,…
Ví dụ:
Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của D trên mp(ABC) và I là trung điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc. (…)
(BT11, Bài tập 28, trang 119) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài toán trên được giải dựa vào định lí đảo của định lí Py-ta-go và tính chất đường trung tuyến bằng nửa cạnh đáy.
4.3.2. Kiểu nhiệm vụ dt-mpcmvg cmvg
T : “Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp(α)”
Kỹ thuật giải kiểu nhiệm vụ này được trình bày tường minh trong GV11 :
Để khẳng định đường thẳng d vuông góc với mp(α), có thể chứng minh: + d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (α).
+ d // d’ mà d’ ⊥ mp(α).
+ d ⊥ mp(β) mà mp(β) // mp(α).
+ d là trục của tam giác ABC nằm trên mp(α) (nghĩa là chứng minh d chứa hai điểm cách đều
A, B, C).
+ d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với mp(α).
Ngoài ra, có thể sử dụng tính chất hai mặt phẳng vuông góc: nế u mp(β ) ⊥ mp(α) mà d
nằm trong mp(β) và d vuông góc với giao tuyến của mp(β) và mp(α) thì
d ⊥ mp(α).
Có thể thấy rằng các kỹ thuật trên hoặc đưa về sử dụng kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ 2dt
cmvg
T hoặc hoàn toàn sử dụng phương pháp truyền thống – phương pháp tổng hợp. Chính vì thế chúng tôi không phân tích chi tiết kiểu nhiệm vụ này mà chỉ thống kê kỹ thuật giải là dùng vectơ (chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (α)) hay phương pháp tổng hợp (các kỹ thuật khác).
4.3.3. Kiểu nhiệm vụ 2mpcmvg cmvg
T : “Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc nhau”
Kỹ thuật giải kiểu nhiệm vụ này được trình bày tường minh trong GV11 :
Để có hai mặt phẳng vuông góc có thể chứng minh: + Góc giữa chúng bằng 900
.
+ Mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
+ Mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng song song với mặt phẳng kia. Cũng như kiểu nhiệm vụ dt-mp
cmvg
T , kỹ thuật ở đây hoặc hoặc đưa về sử dụng kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ 2dt
cmvg
T hoặc hoàn toàn sử dụng phương pháp tổng hợp. Như vậy, kỹ thuật dùng vectơ chỉ được sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Kỹ thuật này được SGK đưa vào từ bài Hai đường thẳng vuông góc. Các bài tập trong bài này hoàn toàn sử dụng kỹ thuật dùng vectơ. Ngoài ra, ở các bài sau đó và cả bài tập ôn chương SGK tiếp tục sử dụng kỹ thuật này. Phải chăng việc lựa chọn các thời điểm đó để đưa vào các bài toán sử dụng τ3.1.1 chứng tỏ thể
chế muốn chứng tỏ tính ưu việt của công cụ vectơ đối với một số bài toán so với dùng phương pháp truyền thống. Để khẳng định điều này chúng tôi sẽ phân tích một số bài toán mà các tác giả SGK đã sử dụng kỹ thuật 2dt
cmvg.1
τ . Ngoài ra, những thuận lợi và khó khăn trong việc sử dụng các kỹ thuật chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhau cũng được chúng tôi tìm hiểu ở đây. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài toán 1 :
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và ASB=BSC =CSA . Chứng minh rằng
SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB. (GK11, Bài tập 9, trang 96)
Bài toán này đã được chúng tôi trích dẫn ở trước. Nó được đưa vào ngay sau khi học bài Hai đường thẳng vuông góc. Với tri thức trước đó thì ngoài kỹ thuật 2dt
cmvg.1
τ không còn kỹ thuật nào để giải. Tuy nhiên, nếu giả sử bài tập này được đưa vào trong phần ôn tập chương thì có thể sử dụng kỹ thuật 2dt
cmvg.2
τ để giải như sau:
Gọi M là trung điểm của BC. Vì hai tam giác SBC cân tại S và ABC cân tại A (AB = AC vì
SAB SAC
∆ = ∆ (c.g.c)) nên suy ra BC vuông góc với SM và AM. Từ đó, BC vuông góc với
SA.(GV11, trang 93)
Nhận xét:
- Đối với cách giải thứ nhất (sử dụng vectơ):
+ Thuận lợi: Không cần vẽ thêm đường thẳng phụ và có thể không cần dựa vào hình vẽ. Các tính toán vectơ là khá đơn giản.
+ Khó khăn: Các kiến thức về vectơ – quy tắc ba điểm, góc giữa hai vectơ, tích vô hướng của hai vectơ và tính chất của nó. Tuy nhiên, khó khăn này là không đáng kể vì những kiến thức đó đã được ôn tập và làm quen trong bài đầu tiên của chương.
- Đối với cách giải thứ hai (không sử dụng vectơ – phương pháp tổng hợp): + Thuận lợi: Kiến thức cần có là khá đơn giản, lại vừa mới được học.
+ Khó khăn: Học sinh phải tìm ra mặt phẳng chứa SA và vuông góc với BC. Tuy nhiên, do đã làm quen nhiều với quan hệ vuông góc trong tam giác, đặc biệt là tam giác cân, nên theo chúng tôi học sinh sẽ dễ dàng vượt qua khó khăn này.