- Công cụ vectơ được khai thác như thế nào trong các bài toán HHGT liên quan đến phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong không gian? Tính trực giác của
3.4.14.Kiểu nhiệm vụ T: “Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ”
d) Hai mặt phẳng đó vuông góc.
3.4.14.Kiểu nhiệm vụ T: “Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ”
Tất cả các kiểu nhiệm vụ nêu trên đều là kiểu nhiệm vụ con của kiểu nhiệm vụ T. Ngoài ra, còn rất nhiều kiểu nhiệm vụ con khác như chứng minh hai đường thẳng song song, vuông góc ; chứng minh ba đường thẳng đồng phẳng, không đồng phẳng,...)
Quy trình giải:
Chọn hệ tọa độ thích hợp
Dịch bài toán sang ngôn ngữ tọa độ
Giải bài toán bằng phương pháp tọa độ
Dịch kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học. (GK12, Bài tập 10 tr.111 với lời giải trong GV12 tr.116)
* Nhận xét 6:
- Hầu hết các kỹ thuật sử dụng công thức đều gắn với vectơ - Không có dấu vết của đặc trưng định hướng của vectơ hình học
- Tính trực quan của hình học không được chú ý khai thác mà ưu tiên phương pháp tọa độ khi giải bài toán hình học giải tích. Toàn bộ lời giải bài tập trong GV11 và BT11 đều không có khai thác tính trực quan của hình học bằng hình vẽ, ngoại trừ bài tập 74 a) tr.134 trong BT11 như đã trình bày trong ví dụ ở trên. Các hình vẽ chỉ mang yếu tố mi nh họa hoặc những hình vẽ của bài toán hình học được giải bằng phương pháp tọa độ. Học sinh không có ý niệm chuyển từ bài toán hình học theo ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học để nghiên cứu. Điều đó chứng tỏ rằng thể chế đã tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh sử dụng vectơ-toạ độ trong giải bài tập.
Như vậy, vectơ hình học là công cụ để thiết lập các kiến thức về phương trình đường thẳng, mặt phẳng. Cách tiếp cận phương trình đường thẳng và mặt phẳng ở
bậc phổ thông là cách tiếp cận hình học. Tuy nhiên, việc vận dụng chúng trong giải bài tập thì hầu hết đều được thực hiện bằng tọa độ và đại số. So với giáo trình đại học, quá trình xây dựng cũng như vận dụng giải toán hình học đều thực hiện trên không gian vectơ của đại số tuyến tính. Đó cũng chính là sự chuyển đổi sư phạm mà các tác giả SGK đã thực hiện.
Như đã phân tích ở trước, với cách tiếp cận hình học mà công cụ là vectơ, việc xây dựng các kiến thức về phương trình đường thẳng, mặt phẳng trong SGK Việt Nam là thuận lợi và hiệu quả hơn so với SGK M ỹ. Để thấy rõ hơn vai trò công cụ của vectơ trong việc giải toán chúng tôi lập bảng so sánh các kiểu nhiệm vụ có được trong hai thể chế, Mỹ và Việt Nam.
Kiểu nhiệm vụ Thể chế dạy học hình học ở Mỹ Thể chế dạy học hình học ở Việt Nam 1.vedt T (có) X (không có) 1.ptdt T d-hsg 1.ptdt T T1.ptdttq , T1.ptdtts , T1.ptdtct vemp T Không có ptmp T X 2.ptdt T vt 2.ptdt T , T2.ptdtts T2.ptdtts 2mp vtr T X 2dt 2.vtr T X dt-mp vtr T X d-mp vtr T X d-mp kc T X d-dt kc T X 2dt kc T X 2mp g T X
2dt g T X dt-mp g T X ctri T X T X Nhận xét:
Đối với những kiểu nhiệm vụ có trong SGK Mỹ nhưng không có trong SGK Việt Nam, thì hoặc là học sinh đã được tiếp cận ở lớp dưới, hoặc là nó tiềm ẩn trong lý thuyết. Cụ thể:
- T1.vedt: đã học ở lớp dưới
- Tvemp: ngầm ẩn ở phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
- T2.ptdtvt : thể hiện trong quá trình xây dựng phương trình tham số
Nhìn vào bảng so sánh trên, ta thấy có 13 kiểu nhiệm vụ có trong SGK Việt Nam nhưng không có trong SGK Mỹ. Đặc biệt, có các kiểu nhiệm vụ quen thuộc như viết phương trình mặt phẳng, xét vị trí tương đối giữa các đường thẳng, mặt phẳng,… Theo chúng tôi, hoặc do họ không đòi hỏi cao hơn ở học sinh hoặc họ không chú trọng việc khai thác công cụ vectơ trong việc xây dựng và giải toán liên quan đến phương trình đường thẳng, mặt phẳng. Nhưng một thực tế ta thấy rõ là các khái niệm về tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ đã không được đưa vào trong SGK Mỹ. Điều đó cho thấy thể chế dạy học hình học ở Mỹ đã không chú trọng khai thác công cụ vectơ.
Thống kê theo kiểu nhiệm vụ, các TCTH gắn với phương trình đường thẳng, mặt phẳng trong không gian
Kiểu nhiệm vụ Ví dụ trong GK12 Bài tập trong GK12 Bài tập trong BT12 Tổng bài tập Tỉ lệ bài tập (%) ptmp T (Viết PTMP) 2 20 35 55 28,8
2.ptdt T (Viết PTĐT) 5 24 25 49 25,7 2mp vtr T , T2.vtr2dt , Tvtrdt-mp, Tvtrd-mp (Vị trí tương đối) 4 10 13 23 12,1 d-mp kc T , Tkcd-dt, Tkc2dt (Khoảng cách) 5 11 24 35 18,3 2mp g T , Tg2dt, Tgdt-mp (Góc) 0 5 13 18 9,4 ctri T (Cực trị) 0 1 4 5 2,6 T
(Giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ)
1 2 4 6 3,1
Tổng 17 73 118 191 100
Nhận xét :
Có thể thấy hai kiểm nhiệm vụ Tptmp và T2.ptdt chiếm ưu thế hoàn toàn trong hệ thống các ví dụ và bài tập với tỉ lệ bài tập là 54,5%. Các kiểu nhiệm vụ này thuộc các tổ chức toán học có chung một yếu tố công nghệ thành phần là định nghĩa vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến, định nghĩa và tính chất của tích có hướng của hai vectơ. Như đã phân tích, định nghĩa tích có hướng hoàn toàn dựa vào tọa độ với phép tính đại số trên các định thức cấp hai. Các tính chất của chúng cũng được tính toán trên tọa độ của vectơ. Nó tạo điều kiện cho việc tọa độ hóa và đại số hóa hình học. Điều này chứng tỏ thể chế dạy học nhằm nhấn mạnh quan điểm vectơ với vai trò là công cụ tuyệt đối trong nghiên cứu phương trình đường thẳng, mặt phẳng. Vectơ-tọa độ là đặc trưng được thể hiện nổi trội.
Đặc trưng chung của hai kiểu nhiệm vụ Tptmpvà T2.ptdtlà đường thẳng và mặt phẳng được yêu cầu viết phương trình luôn xác định duy nhất ; tích có hướng của hai vectơ tính được luôn khác vectơ-không ; không có tham số trong bài
toán yêu cầu viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng. Thể chế không đòi hỏi kiểm tra điều kiện khác vectơ-không của vectơ chỉ phương đối với đường thẳng và vectơ pháp tuyến đối với mặt phẳng.
Về các kiểu nhiệm vụ liên quan đến tính trực quan của hình học thì chỉ có dạng bài tập chuyển từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ và kỹ thuật giải hoàn toàn dựa vào phương pháp tọa độ. Nhưng số bài tập này cũng hết sức hạn chế, với chỉ một bài trong GK11 ở phần ôn tập chương và bốn bài trong BT11. Như vậy, hầu hết các bài tập đều được phát biểu bằng ngôn ngữ tọa độ. Chỉ có duy nhất một bài tập về cực trị trong sách bài tập có khai thác tính trực quan của hình học để giải. Tuy nhiên, như đã phân tích, việc khai thác đó vẫn chưa hiệu quả và triệt để. Vì vậy có thể nói rằng mong muốn của các noosphère là chú ý đến tính trực quan của hình học chỉ dừng lại ở mức độ minh họa rõ hơn cho lời giải mà chưa đi vào việc khai thác hình hình học để cho lời giải bài toán ưu việt hơn. Đó chính là sự ảnh hưởng mạnh mẻ của công cụ của vectơ trong nghiên cứu HHGT.
Chúng tôi không tìm thấy một dấu hiệu nào đề cập đến đặc trưng định hướng của vectơ tự do trong việc giải các bài toán. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Qua sự phân tích giáo trình đại học, sách giáo khoa của Mỹ và Việt Nam chúng tôi rút ra một số kết luận sau :
1) Đặc trưng tọa độ của vectơ được thể hiện một cách ngự trị. Tính trực giác của đặc trưng định hướng (về “chiều”) của vectơ hình học đã không được thể hiện. Vì vậy, SGK hiện hành chỉ tạo điều kiện thuận lợi cho đặc trưng tọa độ của vectơ trong nghiên cứu HHGT ở học sinh, đặc trưng định hướng của vectơ tự do bị biến mất.
2) Vectơ với đặc trưng tọa độ là công cụ tuyệt đối khi ng hiên cứu HHGT nên tính trực quan của hình học đã không được chú ý khai thác khi giải bài tập.
3) Về việc lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng, qua sự chuyển đổi sự phạm, phương của cái phẳng là hệ vectơ độc lập tuyến tính trở thành vectơ hình học khác vectơ-không.
4) Liên quan đến ngôn ngữ phát biểu và việc lựa chọn công cụ, phương pháp giải một bài toán chúng tôi có bảng thống kê sau :
Ngôn ngữ phát biểu Kỹ thuật Vectơ – toạ độ Hình học GK12 BT12 Tổng GK12 BT12 Tổng PP vectơ-toạ độ 87 114 201 3 4 7 PP tổng hợp hoặc PP vectơ kết hợp PP vectơ-toạ độ 0 2 2 0 0 0 Hầu hết các bài toán đều phát biểu bằng ngôn ngữ vectơ-toạ độ (203/210 ≈
96,67 %) và dường như tất cả đều sử dụng phương pháp vectơ -toạ độ (208/210 ≈ 99,01 %) để giải. Do đó, việc lựa chọn công cụ vectơ để giải bài toán được phát biểu bằng ngôn ngữ vectơ-toạ độ là đương nhiên đối với học sinh. Bên cạnh đó, số lượng bài tập phát biểu bằng ngôn ngữ hình học được giải bằng phương pháp vectơ- toạ độ là rất ít (7/210 ≈ 3,33%) nên theo chúng tôi học sinh thiếu kỹ năng và không thường xuyên nghĩ đến việc chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ toạ độ để giải.
Tiếp theo chúng tôi sẽ nghiên cứu vai trò của công cụ vectơ với vấn đề quan hệ vuông góc trong không gian.