, có giá vuông góc với đường thẳng ∆ gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ (GK10 trang 75)
b) Chứng tỏ rằng phương trình tổng quát của ∆ tương đương với phương trình 1.
Như vậy, các trường hợp của phương trình tổng quát của đường thẳng được xây dựng dựa vào vectơ pháp tuyến.
Hoạt động 3
Cho hai điểm A(a; 0) và B(0; b), với ab ≠ 0 (h. 68).
a) Hãy viết phương trình tổng của đường thẳng ∆đi qua A và B.
b) Chứng tỏ rằng phương trình tổng quát của ∆tương đương với phương trình 1. 1.
x y
a+ =b (GK10, trang 77)
Trả lời hoạt động 3 trong GV10 như sau :
a) AB= −( a b; ). Lấy vectơ n=( ; )b a thì n
là vectơ pháp tuyến của ∆. Vậy ∆ có phương trình tổng quát là b(x – a) + a(y – 0) = 0 hay bx + ay – ab = 0. b) bx + ay – ab = 0 ⇔ bx + ay = ab 1 bx ay ab ab ⇔ + = (do ab ≠0) ⇔ x y 1. a+ =b (GV10, trang 90) GHI NHỚ Đường thẳng có phương trình ( ) 1 0, 0 x y a b a+ =b ≠ ≠ (2)
Phương trình dạng (2) được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn. (GK10, trang 77)
Ngoài ra, sách còn giới thiệu cách chuyển từ phương trình tổng quát về phương trình theo hệ số góc bằng cách biến đổi đại số.
Liên quan đến hệ số góc của đường thẳng, GK10 giới thiệu như sau:
α x y t M O Hình 69 Xét đường thẳng ∆: y = kx + m.
Với k ≠0, gọi M là giao điểm của ∆ với trục Ox và Mt là tia của ∆ nằm phía trên Ox. Khi đó, nếu α là góc hợp bởi hai tia Mt và Mx thì hệ số góc của đường thẳng ∆ bằng tang của góc α, tức là k = tanα.
Khi k = 0 thì ∆ là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox. (GK10, trang 78)
Ở đây, GK10 đã công nhận hệ số góc k của đường thẳng ∆ bằng tanα mà không chứng minh. Lưu ý rằng, khái niệm hệ số góc của đường thẳng học sinh đã được học ở lớp 9. Cụ thể, nếu ∆ có phương trình y = kx + m thì hệ số góc của nó là
k. SGK lớp 9 cũng đã đưa ra ví dụ cụ thể chứng tỏ được rằng k = tanα . Tuy nhiên, GV10 lại viết “hoạt động 5 giúp học sinh bước đầu thừa nhận khái niệm “hệ số góc của đường thẳng” và ý nghĩa hình học của nó”. Vì thế chúng tôi cho rằng các tác giả đã không chú ý khai thác mối liên hệ giữa hệ số góc và phương trình của đường thẳng. Hệ số góc của đường thẳng đã không được định nghĩa chặt chẽ như SGK Mỹ. Điều này chứng tỏ thể chế chỉ quan tâm đến việc sử dụng vectơ để thiết lập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng.
2.1.2. Phương trình tham số và phương trình chính tắc
Vectơ u
khác 0
,có giá song song hoặc trùng với đường thẳng ∆gọi là vectơ
chỉ phương của đường thẳng ∆.
Đường thẳng ∆ qua điểm I(x0 ; y0) và có vectơ chỉ phương u
= (a; b). Khi đó, điểm M(x ; y) nằm trên ∆ khi và chỉ khi IM
cùng phương với vectơ u
, tức là có số tsao cho
IM
= tu = tu
.
Từ điều kiện này ta tìm được phương trình tham số của đường thẳng ∆là 0 0 x x at y y bt = + = + (a 2 + b2 ≠ 0).
Với a ≠0, b≠0 bằng cách khử tham số t từ hai phương trình trên ta có phương
trình chính tắc của đường thẳng ∆: o o x x y y a b − − = .
Trong trường hợp a = 0 hoặc b = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc.
Về mối liên hệ giữa quan hệ vuông góc của hai đường thẳng với hệ số góc của chúng, SGK xây dựng qua bài toán sau:
Bài toán 3