Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng được đưa vào trước vectơ. Việc thiết lập nó hoàn toàn không sử dụng vectơ. Thứ tự trình bày trong M1 như sau:
Trước khi nghiên cứu đồ thị hàm số bậc nhất và phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ, SGK ôn lại kiến thức về hệ số góc đã được học năm trước trong phần đại số. Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm bất kì (x y1, 1) và
(x y2, 2) được định nghĩa là tỷ số 2 1 2 1 y y x x − − .
Nếu đường thẳng là thẳng đứng thì x1 = x2 và hệ số góc là không xác định.
Trong đại số, học sinh đã biết rằng đồ thị của một phương trình tuyến tính là một đường thẳng.
- Dạng slope-intercept form (dạng hệ số góc-đoạn chắn) của một phương trình tuyến tính là y = mx + b, ở đó m là hệ số góc của đường thẳng và b là y-intercept.
(chúng tôi tạm dịch y-intercept là tung độ giao điểm – giao điểm của đường thẳng với trục tung).
- Dạng tổng quát của phương trình đường thẳng là Ax + By = C, trong đó A, B và C là các số thực, A và B không đồng thời bằng không. Để vẽ đồ thị của phương trình đường thẳng dạng tổng quát bạn có thể tìm hai điểm, đó là tung độ giao điểm và hoành độ giao điểm.(M1, trang 166, 167)
Như vậy, phương trình của đường thẳng được định nghĩa dựa vào kết quả trong đại số “đồ thị của một phương trình tuyến tính là một đường thẳng”.
Dạng thứ ba là point-slope form (điểm-hệ số góc).
- Dạng point-slope formđối với một đường thẳng không thẳng đứng đi qua điểm (x y1, 1)với hệ số góc m là y – y1 = m(x – x1). (M1, trang 168)
Phương trình của đường thẳng nằm ngang và đường thẳng đứng được thiết lập từ một ví dụ cụ thể bằng đồ thị.
42 2 -2 3 O x y P(3, 2)
Mọi điểm trên đường nằm ngang qua P(3, 2) có tung độ là 2. Phương trình của đường thẳng là y = 2. Nó cắt trục tung tại (0, 2).
Mọi điểm trên đường thẳng đứng qua P(3, 2) có hoành độ là 3. Phương trình của đường thẳng là x = 3. Nó cắt trục hoành tại (3, 0). (M1, trang 168)
- Một kết quả về quan hệ vuông góc và song song của hai đường thẳng mà học sinh phải thừa nhận ở thời điểm hiện tại: Hai đường thẳng không thẳng đứng song
song nếu và chỉ nếu chúng có cùng hệ số góc. Hai đường thẳng không thẳng đứng
vuông góc nếu và chỉ nếu tích hệ số góc của chúng bằng –1. Tuy nhiên, kết quả này
được chứng minh dựa vào hình vẽ trên hệ trục toạ độ và các kiến thức về tam giác bằng nhau và tam giác đồng dạng. SGK chỉ giới thiệu nó ở mục trò chơi trong các bài học sau đó khá xa. Chúng tôi cũng không tìm thấy bài tập liên quan đến vấn đề này. Điều đó chứng tỏ, với cách trình bày phương trình đường thẳng như trên, việc giải thích mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của hai đường thẳng là khá khó khăn, đồng thời thể chế cũng không chú trọng đến vấn đề đó.
Chúng tôi không tìm thấy sự giải thích cho cách viết các dạng phương trình đường thẳng ở trên trong M1 ngoài khẳng định “trong đại số, học sinh đã biết rằng đồ thị của một phương trình tuyến tính là một đường thẳng”. Tuy nhiên, trong M2, ở phần điều kiện đòi hỏi ban đầu (Prerequisites) thì xuất hiện các giải thích như sau: - Từ định nghĩa hệ số góc của đường thẳng ta có thể suy ra dạng điểm-hệ số góc
Trên hình P.24, đường thẳng đi qua điểm (x y1, 1) và có hệ số góc m. Nếu (x, y) là một điểm bất kì khác trên đường thẳng đó thì hệ số góc được xác định bởi phương trình
m = 1 1 y y x x − − hay y – y1 = m(x – x1). Một phương trình được viết cách này gọi là dạng điểm-hệ số góc”.
x y
hsg = m (x1,
(x, y)
Hình P.24 Đường thẳng qua (x y1, 1) với hệ số góc m. (M2, trang 32)
- Một đường thẳng có hệ số góc mvà tung độ giao điểm (0, b) có phương trình dạng điểm-hệ số góc là
y – b = m(x – 0) hay y = mx + b.
Đây cũng chính là dạng hệ số góc-đoạn chắn.
- Về phương trình tổng quát của đường thẳng, M2 chỉ khẳng định rằng “mọi đường thẳng có một phương trình được viết dưới dạng Ax + By = C, trong đó A và
B không đồng thời bằng không”. Dạng này gọi là dạng tổng quát đối với phương trình của một đường thẳng.
- Tóm tắt các dạng phương trình đường thẳng:
Dạng tổng quát: Ax + By = C, A và B không đồng thời bằng không
Dạng hệ số góc-đoạn chắn: y = mx + b
Dạng điểm-hệ số góc : y – y1 = m(x – x1)
Đường thẳng đứng : x = a
Đường thẳng ngang : y = b (M2, trang 34)
Phân tích trên cho ta thấy rằng :
• Cách thiết lập phương trình đường thẳng hoàn toàn dựa vào hệ số góc của nó. Đặc trưng về phương của đường thẳng cũng được thể hiện qua hệ số góc. Đây là cách tiếp cận đại số - phương trình của đường thẳng là phương trình bậc nhất hai ẩn hoặc là hàm số bậc nhất.
• Chính vì dựa vào bản chất đại số và không sử dụng vectơ nên SGK đã gặp một số hạn chế sau:
+ Không trình bày cách thiết lập phương trình tham số của đường thẳng + Phương trình tổng quát của đường thẳng không được thiết lập một cách tổng quát, chặt chẽ và triệt để
• Khó khăn trong việc thiết lập mối liên hệ giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song của hai đường thẳng với hệ số góc của chúng chính vì thế mà vị trí tương đối giữa hai đường thẳng không được giới thiệu.
TCTH gắn liền với phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
Liên quan đến phương trình đường thẳng, chúng tôi tìm thấy trong M1 các kiểu nhiệm vụ sau :
Kiểu nhiệm vụ T1.vedt : Vẽ đường thẳng d : Ax + By = C
Ví dụ : (Ví dụ 2 trang 167)
Vẽ đồ thị 6x + 3y = 12.
Kỹ thuật τ1.vedt :
+ Tìm tung độ giao điểm (giao điểm của đường thẳng với trục tung) : (0, y0) + Tìm hoành độ giao điểm (giao điểm của đường thẳng với trục hoành) : (x0, 0) + Vẽ trên hệ toạ độ đường thẳng đi qua hai điểm (0, y0), (x0, 0).
Công nghệ θ1.vedt: đồ thị của một phương trình tuyến tính là một đường thẳng.
Kiểu nhiệm vụ T1.ptdt: Viết phương trình đường thẳng d
Các nhiệm vụ và kỹ thuật giải cụ thể :
• d-hsg 1.ptdt T : Viết phương trình dạng điểm-hệ số góc d-hsg 1.ptdt τ :
+ Nếu d có hệ số góc m và qua điểm A(x y1, 1)thì phương trình của d là
y – y1 = m(x – x1) + Nếu d qua hai điểm A(x y1, 1) và B(x y2, 2)thì
- Tìm hệ số góc m = 1 1 y y x x − − - Viết phương trình của d: y – y1 = m(x – x1)
+ Nếu dlà đường nằm ngang và qua A(x y1, 1)thì phương trình của d là: x = x1
+ Nếu dlà đường thẳng đứng và qua A(x y1, 1)thì phương trình của d là: y = y1
Công nghệ d-hsg 1.ptdt
• tq 1.ptdt
T : Viết phương trình dạng tổng quát
tq 1.ptdt
τ : Từ dạng điểm-hệ số góc y – y1 = m(x – x1) đưa về dạng tổng quát : mx – y = mx1 – y1
Ví dụ :
Viết phương trình của đường thẳng qua A(-2, 3) và B(1, -1). (M1, trang 168) Dùng đồ thị bên phải cho bài tập 67 – 68.
(0, 6)(-1, 1) (-1, 1) -4 -2 2 6 O x y 67. Hệ số góc của đường thẳng là gì ? F. – 5 G. 1 5 − H. 1 5 J. 5