2. Các nội dung có sử dụng biểu diễn trực quan động
2.3.3. Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Trả lời của học sinh
1. Khi m < 1 2. Khi m = 1 3. Khi m = 2
4. Kéo rê m sao cho m < 1 thì đồ thị hàm số f x( )luôn nằm phía trên trục hoành.
Phân tích sư phạm
Đây là ví dụ giúp học sinh áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai. Giải quyết bài toán bằng cách sử dụng biểu diễn trực quan động giúp học sinh tìm ra kết quả một cách nhanh chóng.
2.3.3. Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn Định lý Định lý
Trong mặt phẳng tọa độ, đường thẳng (d): ax + by + c = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax by c 0, nửa mặt
phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax by c 0.
Mở file kl | 16. gsp
Trên trang hình là đường thẳng
d: ax + by + c = 0
+ Điểm M tùy ý có gán thêm tọa độ (x, y) thay đổi khi M di
chuyển.
+ Các hệ số a, b, c có thể thay đổi giá trị bằng cách kích chuột vào hệ số muốn thay đổi rồi nhấn phím (+) để tăng và nhấn phím (–) để giảm hệ số đó.
Hình 17. BPT bậc nhất hai ẩn
Kéo rê điểm M về bên phải, bên trái và lên đường thẳng để quan sát giá trị
ax + by + c dương, âm, bằng 0 trên những miền nào. Trả lời những câu
hỏi sau:
1. Đường thẳng ax + by + c = 0 chia mặt phẳng thành hai miền. Trên mỗi
miền dấu của giá trị ax + by + c thay đổi như thế nào? 2. Trên đường thẳng thì giá trị ax + by + c bằng bao nhiêu?
3. Thay đổi các giá trị a, b, c để kiểm tra các kết luận ở câu hỏi 1, 2 có còn
đúng không?
Từ đó đi đến kết quả
Trả lời của học sinh
1. Đường thẳng ax + by + c = 0 chia mặt phẳng thành hai miền. Một miền giá trị ax + by + c dương và một miền giá trị của ax + by + c âm.
2. Trên đường thẳng thì giá trị của ax + by + c = 0. 3. Kết quả trên đúng với mọi a, b, c.
Phân tích sư phạm
Học sinh thể hiện các năng lực toán sau
Mô hình hóa: Làm việc với mô hình, phân tích và đưa ra các kết qủa
sau khi thực hiện các thao tác trên mô hình.
Tư duy và suy luận: Từ việc trả lời các câu hỏi 1 và 2 đòi hỏi học
sinh phải có năng lực tư duy và suy luận để rút ra kết luận: Nếu (x0;y0) là một nghiệm của bất phương trình ax + by + c > 0 (hay ax + by + c < 0) thì nữa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M x( 0;y0) chính là miền nghiệm của bất phương trình ấy.
Sử dụng đồ dùng hỗ trợ và công cụ: thực hiện các thao tác, biết và
sử dụng phần mềm GSP để khám phá các tri thức.
Giao tiếp: Giải thích các kết quả tính toán và trình bày kết luận theo
ngôn ngữ của mình dưới dạng nói hay dạng viết.
Bài toán thực tế
Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị prôtêin và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 90 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 70 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn.
a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm (S) của hệ đó.
b) Gọi T (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam
thịt lợn. Hãy biểu thị T theo x và y.
c) Ở câu a), ta thấy (S) là một miền đa giác. Biết rằng T có giá trị nhỏ nhất tại (x0; y0) với (x0; y0) là tọa độ của một trong các đỉnh của (S). Hỏi gia đình đó phải mua bao nhiêu kilôgam thịt mỗi loại để chi phí là nhỏ nhất?
Trả lời của học sinh
Giả sử gia đình đó mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt lợn. Theo giả thiết, x và y cần thỏa mãn điều kiện:
0 x 1,6; 0y1,1
Khi đó, số đơn vị prôtêin có được là 800x + 600y và số đơn vị lipit có được là 200x + 400y. Vì gia đình cần có ít nhất 900 đơn vị prôtêin và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là:
800x600y900 và 200x400y400 Hay gọn hơn: 4x3y4,5 và x2y2
Vậy các điều kiện mà x và y cần thỏa mãn là:
0 1,6 0 1,1 4 3 4,5 2 2 x y x y x y (I)
Học sinh xác định miền nghiệm của hệ phương trình (I) Mở file kl | 17. gsp
Hình 18. Bài toán dinh dưỡng
Ta có miền nghiệm của hệ trên là miền tứ giác ABCD (kể cả biên) Chi phí để mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt lợn là
T = 90x + 70y (nghìn đồng)
+ Chọn các đỉnh A, B, C, D. Áp dụng Construct| Quadrilateral Interior để
có miền trong của đa giác.
+ Chọn miền trong đa giác. Áp dụng Construct| Point on Quadrilateral để
lấy một điểm di động trên biên của đa giác.
+ Nhấn các nút M A, M B, M C, M D để tìm (x; y) sao cho T
nhỏ nhất.
Phân tích sư phạm
Đây là một bài toán thực tế áp dụng định lý trên. Giải quyết bài toán bằng cách sử dụng BDTQĐ sẽ giúp học sinh giảm các tính toán, làm quen với các thao tác đơn giản dưới sự hướng dẫn của giáo viên. Qua bài toán này, học sinh thể hiện các năng lực toán sau:
Biểu diễn: Để làm được bài toán này, học sinh phải chuyển đổi ngôn ngữ tự nhiên thành biểu diễn toán học.
Mô hình hóa: Chuyển đổi ngôn ngữ ký hiệu về dạng biểu diễn trực quan đề xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Sử dụng ngôn ngữ ký hiệu và các phép toán: Sử dụng các các biểu diễn ký hiệu để tìm nghiệm của BPT, thao tác với các bất phương trình đơn giản.
Sử dụng các trợ giúp và công cụ: Biết sử dụng phương tiện hỗ trợ.