Một phép biến đổi bất kì có thể được phân rã thành tích các phép biến đổi cơ sở như tịnh tiến, quay, tỉ lệ.
Một phép biến dạng theo phương trục x có thể được phân rã thành tích của một phép biến đổi tỉ lệ và một phép biến dạng đơn vị, và với một phép biến đổi tỉ lệ khác theo công thức sau :
Phép biến dạng đơn vị còn có thể được phân rã tiếp :
trong đó
Từ đó, một phép biến đổi bất kì có thể được phân rã thành các phép biến đổi cơ sở sau :
trong đó .
Với cách lập luận trên ta nhận thấy : bất kì phép biến đổi nào cũng được kết hợp từ các phép biến dạng, tỉ lệ, quay, và tịnh tiến. Tuy nhiên, theo kết quả ở bước trước, phép biến dạng là sự kết hợp của các phép quay, tỉ lệ, nên từ đó suy ra bất kì phép biến đổi nào cũng được kết hợp từ các phép tịnh tiến, tỉ lệ và quay.
PHÉP BIẾN ĐỔI GIỮA CÁC HỆ TỌA ĐỘ
Để thuận tiện cho việc mô tả đối tượng, thông thường đối tượng sẽ được mô tả trong các hệ tọa độ cục bộ gắn với chúng. Tuy nhiên để có thể hiển thị toàn bộ một ảnh bao gồm nhiều đối tượng thành phần, các mô tả này phải được chuyển về một hệ tọa độ chung duy nhất. Việc chuyển đổi này
thường được chia làm hai loại : chuyển từ các hệ tọa độ không phải là hệ tọa độ Descartes như hệ tọa độ cực, hệ tọa độ cầu, hệ tọa độ elliptic, … sang hệ tọa độ Descartes, và chuyển đổi giữa hai hệ tọa độ Descartes. Trong phần này chúng ta sẽ khảo sát phép biến đổi giữa hai hệ tọa độ Descartes với nhau.
Hình 3.6 – Phép biến đổi giữa hai hệ tọa độ
Giả sử ta có hệ tọa độ (I) có gốc tọa độ O và các vector đơn vị lần lượt là . Hệ tọa độ (II) là ảnh của hệ tọa độ (I) qua phép biến đổi T(M), có gốc tọa độ là O’ và các vector đơn vị lần lượt là . Lúc này một điểm bất kì trong hệ tọa độ (I) sẽ được biến đổi thành điểm trong hệ tọa độ (II). Vấn đề đặt ra ở đây là mối liên hệ giữa với như thế nào.
Người ta chứng minh được rằng .
Hình 3.7 – Tọa độ của một điểm qua phép biến đổi hệ tọa độ
TÓM TẮT
Các phép biến đổi hình học cho phép dễ dàng thao tác lên các đối tượng đã được tạo ra. Chúng làm thay đổi mô tả về tọa độ của các đối tượng, từ đó đối tượng sẽ được thay đổi về hướng, kích thước và hình dạng. Các phép biến đổi hình học cơ sở bao gồm tịnh tiến, quay và biến đổi tỉ lệ. Ngoài ra một số phép biến đổi khác cũng thường được áp dụng đó là phép đối xứng và biến dạng.
Có hai quan điểm về phép biến đổi hình học đó là : biến đổi đối tượng và biến đổi hệ tọa độ. Biến đổi đối tượng thay đổi tọa độ của các điểm mô tả nó theo một quy tắc nào đó, còn biến đổi hệ tọa độ sẽ tạo ra một hệ tọa độ mới và tất cả các điểm mô tả đối tượng sẽ được chuyển về hệ tọa độ mới.
Các phép biến đổi hình học đều được biểu diễn dưới dạng ma trận thuần nhất 3x3 để tiện cho việc thực hiện các thao tác kết hợp giữa chúng. Trong hệ tọa độ thuần nhất, tọa độ của một điểm được mô tả bởi một vector dòng bao gồm ba giá trị, hai giá trị đầu tương ứng với tọa độ Descartes của điểm đó, và giá trị thứ ba là 1. Với cách biểu diễn này, ma trận của phép biến đổi có được từ sự kết hợp của các phép biến đổi cơ sở sẽ bằng tích của các ma trận của các phép biến đổi thành phần.
Các phép biến đổi không làm thay đổi kết cấu về tính cân xứng của đối tượng như tịnh tiến, quay được gọi là các phép biến đổi bảo toàn kết cấu đối tượng, thuật ngữ tiếng Anh gọi là rigid-body transformation.
Việc chuyển đổi giữa hai hệ tọa độ Descartes với nhau thường gặp trong công đoạn chuyển các mô tả tọa độ của các đối tượng thành phần trong các hệ tọa độ cục bộ về các vị trí tương ứng trong một hệ tọa độ chung. Giữa hai hệ tọa độ Descartes với nhau, người ta thường sử dụng các phép biến đổi bảo toàn kết cấu như là tịnh tiến, quay.