VẤN ĐỀ 3:SO SÁNH PHÂN SỐ, HỖN SỐ
3- So sánh phân số bằng cách so sánh phần hơn với đơn vị của các phân số
- Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu của phân số và 1.
- Trong 2 phân số, phân số nào có phần hơn thì phân số đó lớn hơn.
Ví dụ: So sánh : 2000
2001 và 2001 2002
Bước 1: Ta có : 2000
1 1 2000 2001
− = 2001 1 1 2001 2002
− =
Bước 2: So sánh phần hơn của đơn vị, kết luận về 2 phân số cần so sánh Vì
2001 1 2000 1
> nên 2001 2002 2000 2001
>
Chú ý: Đặt B = Tử 1 – Mẫu 1 B = Tử 2 – Mẫu 2
Cách so sánh phần hơn được dùng khi B = B . Nếu trong trường hợp B ≠ B ta
có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về 2 phân số mới có hiệu
giữa tử và mẫu của 2 phân số bằng nhau:
Ví dụ:
2001 2002 2000 2001 và
Bước 1: Ta có:
4000 4002 2000 2 2001 2 2000 2001
= = x x 4000 2 1 4000 4002
− = 2001 2 1 2001 2003
− =
Cung cấp giáo viên hỗ trợ giải Toán tiểu học trực tuyến 24/7 Liên hệ tư vấn và đăng ký: 0936.128.126
Liên hệ mua tài liệu: 0936.128.126
Bước 2 : Vì
2001 2 4000 2
< nên 2001 2003 4000 4002
<
Hay 2001 2003 2000 20001
<
4 – So sánh phân số bằng cách so sánh cả 2 phân số với phân số nhau trung gian Ví dụ 1: So sánh :
5 3 và 9 4
Bước 1: Ta thấy 2
1 6 3 5 3
> = 2 1
8 4 9 4
< =
Bước 2: Vì 9
4 2 1 5 3
> > nên 9 4 5 3
>
Ví dụ 2: So sánh 60
19 và 90 31
Bước 1: Ta thấy 3
1 60 20 60 19
< = 3
1 90 30 90 31
> =
Bước 2: Vì 90
31 3 1 60 19
< < nên 90 31 60 19
<
Ví dụ 3: So sánh 2005
2006 và 2004 2003
Bước 1: Vì 1 2005
2006
> và 1 2004 2003
< nên 2004
2003 1 2005 2006
> >
Bước 2: Vậy : 2005
2006
>
2004 2003
Cung cấp giáo viên hỗ trợ giải Toán tiểu học trực tuyến 24/7 Liên hệ tư vấn và đăng ký: 0936.128.126
Liên hệ mua tài liệu: 0936.128.126
Ví dụ 4: So sánh 2 phân số bằng cách nhanh nhất:
75 34 và 74 35
Chọn phân số trung gian là 74
34
Bước 1: Ta thấy 75
34 74 34 74 34
> >
Bướ_______c 2: Vậy : 74
35
>
75 34
• Cách chọn phân số trung gian.
- Trong một số trường hợp đơn giản có thể chọn phân số trung gian là những phân số dễ tìm được như : ;1...
3 1
; 2 1
VD 1, 2, 3
- Trong trường hợp tổng quát : So sánh 2 phân số b
a và d c
( a, b, c, d ≠ 0)
Nếu a > c còn b > d thì ta có thể chọn phân số trung gian là d
a hoặc b c
( như VD 4).
- Trong trường hợp hiệu của tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ 2 và hiệu của mẫu phân số thứ nhất với mẫu của phân số thứ 2 gấp nhiều lần tử số và mẫu số của phân số thương 2 thì ta cùng gấp cả tử số và mẫu số của 2 phân số lên 1 số lần sao cho hiêu giữa 2 tử số và hiệu giữa 2 mẫu số của 2 phân số là nhỏ nhất. Sau đó ta tiến hành chọn phân số trung gian như trên.
Ví dụ:
So sánh 2 phân số bằng cách hợp lý nhất 23
15 và 117 70
Bước 1: Ta có : 115
75 23 5 15 5 23 15
= = x x
Cung cấp giáo viên hỗ trợ giải Toán tiểu học trực tuyến 24/7 Liên hệ tư vấn và đăng ký: 0936.128.126
Liên hệ mua tài liệu: 0936.128.126
Ta so sánh 117
70 với 115 75
Bước 2 : Chọn phân số trung gian là 115
70
Bước 3: Vì 115
70 115 70
117 70
< < nên 115 75 117 70
< hay 23 15 117 70
<
5 – Đưa 2 phân số về dạng hỗn số để so sánh
- Khi thực hiện phép chia tử só cho mẫu số của 2 phân số ta được cùng thương và số dư thì ta đưa 2 phân số cần so sánh về dạng hỗn số rồi so sánh 2 hỗn số đó : Ví dụ: So sánh:
15 47 và 21 65 Ta có:
15 47
= 3 15 2 21 65
= 3 21 2
Vì 15 2
>
21 2 nên 3 15 2
> 3 21 2 Hay 15 47
>
21 65
Hoặc khi thực hiện phép chia tử số cho mẫu số của 2 phân số ta được 2 thương khác nhau cũng đưa 2 phân số về hỗn số để so sánh.
Ví dụ: So sánh 11
41 và 10 23 Ta có:
11 41
= 3 11 8
Cung cấp giáo viên hỗ trợ giải Toán tiểu học trực tuyến 24/7
Liên hệ tư vấn và đăng ký: 0936.128.126
Liên hệ mua tài liệu: 0936.128.126 10
23
= 2 10 3
Vì 3 > 2 Nên 3 11 8
> 2 10 3 hay 11 41
>
10 23
Phần Cơ Bản
Bài 1: So sánh phân số bằng cách hợp lý nhất.
a - 11 7 và 23 17 đ - 43 34 và 42
35 b - 48 12 và 47 13 e - 48 23 và 92 47 c - 30 25 và 97 75 g - 395 415 và 581 572 d- 47 23 và 45 24
Bài 2: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần:
a)
b)
Hướng dẫn
a) Cách đơn giản nhất là quy đồng mẫu số tất cả các phân số. Tuy nhiên tôi sẽ hướng dẫn các em là một cách đơn giản hơn. Đó là ta so sánh từng cặp phân số.
Thật vậy:
Cung cấp giáo viên hỗ trợ giải Toán tiểu học trực tuyến 24/7 Liên hệ tư vấn và đăng ký: 0936.128.126
Liên hệ mua tài liệu: 0936.128.126
Dễ thấy:
Lại có:
và
=>
Mặt khác:
và
=>
Vậy
Phần b) và bài 3 các em làm tương tự.
Bài 3:
a, Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần.
2 1
; 3 2
; 4 3
; 5 4
; 6
5
; 7 6
; 8 7
; 9 8
; 10 9
b, Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần.
15 26
; 253 215
; 10 10
; 11 26
; 253 152
c, Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần.
6 5
; 2
1
; 4 3
; 3 2
; 5 4
c, Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ lớn đến bé..
25 21
; 81 60 và 29 19
d, Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ lớn đến bé..
6 15
; 14 6
; 1 ; 5 3
; 15 12 và 1999
2004
Cung cấp giáo viên hỗ trợ giải Toán tiểu học trực tuyến 24/7 Liên hệ tư vấn và đăng ký: 0936.128.126
Liên hệ mua tài liệu: 0936.128.126
Bài 4: Tìm phân số nhỏ nhất trong các phân số sau:
a, 1980 1985
; 60 19
; 1981 1983
; 31 30
; 1982 1984 b, 189 196
; 45 14
; 37 39
; 60 21
;
175 175
Hướng dẫn
a, Thấy 19/60; 30/31 đều nhỏ hơn 1 và 1985/1980, 1983/1981, 1984/1982 lớn hơn 1. Nên phân số nhỏ nhất là 19/60 hoặc 30/31. Ta so sánh hai phân số này.
Ta có: 30/31 = 60/62 = 1 – 2/62 và 19/60 = 1 – 31/60 Lại có: 31/60 > 2/60 > 2/62.
Do đó: 30/31 > 19/62
Vậy 19/62 là phân số nhỏ nhất.
b, Thấy 196/189; 39/37 lớn hơn 1. Phân số 175/175 bằng 1. Phân số 14/45 và 21/60 nhỏ hơn 1. Vậy phân số nhỏ nhất là 14/45 hoặc 21/60. Ta so sánh hai phân số này.
Ta có: 14/45 = 56/180 và 21/60 = 63/180
Vậy 14/45 < 21/60. Vậy 14/45 là phân số nhỏ nhất Bài 5: a, Tìm 6 phân số tối giản năm giữa
5 1 và 8 3
b, Hãy viết 5 phân số khác nhau nằm giữa 2 phân số 5
2 và 5 3
; 1997 1995 và 1996 1995
Cung cấp giáo viên hỗ trợ giải Toán tiểu học trực tuyến 24/7
Liên hệ tư vấn và đăng ký: 0936.128.126
Liên hệ mua tài liệu: 0936.128.126
Hướng dẫn
a, Có 1/5 = 8/40 và 3/8 = 15/40.
Nằm giữa 8 và 15 là 6 số tự nhiên: 9; 10; 11; 12; 13; 14.
Vậy 6 phân số nằm giữa 8/40 và 15/40 là: 9/40; 10/40; 11/40; 12/40; 13/40; 14/40.
Tối giản các phân số ta được 6 phân số tối giản nằm giữa 1/5 và 3/8 là:
9/40; 1/4; 11/40; 3/10; 13/40; 7/20.
b, Làm tương tự phần a,
Bài 6: So sánh các phân số sau với 1:
a) b)
Hướng dẫn
a, Tử số = 2014x2014 = (2013 + 1)x2014 = 2013x2014 + 2014 Mẫu số = 2013x2015 = 2013x(2014 + 1) = 2013x2014 + 2013 Vậy tử số > mẫu số nên phân số lớn hơn 1.
b, Ta có: 1975x1975 > 1972x1972 > 1945x1972 => phân số nhỏ hơn 1.
Bài 7: Không quy đồng mẫu số, hãy so sánh các phân số sau:
a) và b) và c) và d) và Hướng dẫn
a, b, và Mà nên c, và Mà nên .
Cung cấp giáo viên hỗ trợ giải Toán tiểu học trực tuyến 24/7 Liên hệ tư vấn và đăng ký: 0936.128.126
Liên hệ mua tài liệu: 0936.128.126
Phần Nâng Cao
Bài 9: So sánh phân số sau với 1:
a, 33 35 34 34
x x b,
1995 1995 1999 1999 x
x c,
198619861986 19869861986 198519851985 1987 1987 1987 x
x x x
a, Ta có: 34x34 = (33 + 1)x34 = 33x34 + 34 và 33x35 = 33x(34 + 1) = 33x34 +33
Suy ra: 34x34 > 33x35. Do đó:
b, Dễ thấy 1999x1999 > 1995x1995 nên 1995 1995
1999 1999 x
x
> 1.
c,
Bài 10: So sánh
1 5 7 2 10 14 4 20 28 7 35 49 1 3 5 2 6 10 4 12 20 7 21 35 x x x x x x x x x
x x x x x x x x + + +
+ + + với 708 208
Hướng dẫn
Ta có:
= Mà Vậy
1 5 7 2 10 14 4 20 28 7 35 49 1 3 5 2 6 10 4 12 20 7 21 35 x x x x x x x x x
x x x x x x x x + + +
+ + +
<
708 208
Cung cấp giáo viên hỗ trợ giải Toán tiểu học trực tuyến 24/7 Liên hệ tư vấn và đăng ký: 0936.128.126
Liên hệ mua tài liệu: 0936.128.126
Bài 11: So sánh A và B biết:
A =
13 15 17 39 45 51 65 75 85 117 135 153 11 13 15 33 39 45 55 65 75 99 117 135 x x x x x x x x
x x x x x x x x x + + +
+ + B = 1717 111
Hướng dẫn
Học sinh làm tương tự bài 11.
Bài 12: So sánh các phân số ( n là số tự nhiên ).
a, 2 1
+ + n n và 4 3 + + n n b, n + 3 n và 4 1 +
− n n
Hướng dẫn a,
và Dễ thấy:
>
. Vậy:
2 1 + + n
n
<
4 3 + + n n
b, Các em làm tương tự bài 1.
Bài 13: Tìm phân số lớn nhất và phân số nhỏ nhất trong các phân số sau:
49 12
; 18 77
; 100 135
; 47 13
; 123 231
Hướng dẫn
Phương pháp làm bài tương tự bài 4 phần cơ bản.
Cung cấp giáo viên hỗ trợ giải Toán tiểu học trực tuyến 24/7 Liên hệ tư vấn và đăng ký: 0936.128.126
Liên hệ mua tài liệu: 0936.128.126
Bài 14: Tổng S = 8
1 7
1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1
+ + + + + + có phải là số tự nhiên không ? Vì sao?
Hướng dẫn
Cách làm của học sinh bình thường: Quy đồng và tính tổng S.
Học sinh thông minh hơn với cách làm như sau: Xét tính chẵn lẻ của tử số và mẫu số sau khi quy đồng. Mẫu số sau khi quy đồng là chẵn, các em hãy chứng minh tử số là lẻ. Từ đó suy ra S không phải là số tự nhiên.
Bài 15 : So sánh 90
1 89 1 ...
33 1 32 1 31 1
+ + + + + với 6
5
Hướng dẫn
Ta có:
(Phương pháp làm trội) Và
Mà 1/2 + 1/3 = 5/6 Vậy
90 1 89 1 ...
33 1 32 1 31 1
+ + + + + >
6 5
Bài 16: Hãy chứng tỏ rằng:
1 80 1 79 1 ....
43 1 42 1 41 1 12
7
< + + + + + <
Hướng dẫn
Dùng phương pháp làm trội vừa làm quen ở bài 15 để giải bài toán này.
Bài 17 : Lan nói một số có 4 chữ số bất kì sẽ bằng 1/5 số viết theo thứ tự ngược lại. Đố bạn biết Lan nói đúng hay sai ?
Bài giải :
Cung cấp giáo viên hỗ trợ giải Toán tiểu học trực tuyến 24/7 Liên hệ tư vấn và đăng ký: 0936.128.126
Liên hệ mua tài liệu: 0936.128.126
Gọi số đó là (a > 0 ; a, b, c, d < 10). Số viết theo thứ tự ngược lại là Theo đầu bài ta có : Nhưng d x 5 có tận cùng là 0 hoặc 5 (khác 1) nên không tìm được giá trị của a hoặc d. Vậy bạn Lan nói sai.