Chương 1. Không gian định chuẩn 1
1.4 Không gian con - không gian thương
1.4.1 Không gian con
Giả sửE là một không gian định chuẩn và F là không gian tuyến tính con của E.Khi đó hiển nhiên F cũng là một không gian định chuẩn với chuẩn thu hẹp của chuẩn trênE.Để ý rằng F có thể đóng hoặc không đóng trongE.NếuE là không gian Banach vàF là không gian con đóng của E thìF cũng là không gian Banach.
NếuF là không gian con Banach của E thì F đóng trongE.
Định lý 1.4.1. Nếu F là không gian con của không gian định chuẩn E thì bao đóngF củaF là một không gian con đóng của E.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh rằng F là một không gian vectơ con của E.
Giả sửx, yPF . Khi đó tồn tại hai dãytxnu,tynu F hội tụ lần lượt đếnx, y.Thế thì với mọiα, β PK ta đều có lim
nẹ8pαxn βynq αx βy. Nhưng αxn βynPF
vậyαx βy.
Định nghĩa 1.4.1. Giả sửM là một tập con củaE. GọiF là không gian con của E sinh bởi M. Như vậy mỗi phần tử của F là một tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn những phần tử của M. Theo định lý trên F là một không gian con đóng củaE và được gọi là không gian con đóng sinh bởi tập M.
Định lý 1.4.2. NếuF là một không gian con đóng của một không gian định chuẩn E thì với mọi zoRF và mọiε¡0 cho trước đều tồn tạixo thuộc không gian vectơ con củaE sinh bởi F vàzo sao cho với mọiyPF
}xo} 1, }xoy} ¡1ε.
Chứng minh. VìzoRF F , nên
ddpzo, Fq inf
yPF}zoy} ¡0.
Vớiδ ¡0 cho trước, theo tính chất của infimum ta có thể tìm một vectơyoPF sao cho
d¤ }zoyo} d δ.
Đặt
xo zoyo
}zoyo}.
1.4 Không gian con - không gian thương 29 Khi đó}xo} 1vàxo thuộc không gian vectơ con củaE sinh bởiF vàzo.Hơn nữa, với mọiyPF ta đều có
}xoy}
zoyo
}zoyo}y 1
}zoyo}zo pyo }zoyo}yq.
Nhưngyo }zoyo}yPF,vậy}zopyo }zoyo}yq} ¥d.Để ý rằng vì}zoyo} d δ, nên
}xoy} ¡ d
d δ 1 δ
d δ 1ε nếu ta chọnδ ¡0 sao cho δ
d δ ε.
Hệ quả 1.4.3. Nếu F là một không gian con đóng của không gian định chuẩn E vàF E thì với mọi ε¡0 cho trước đều tồn tạixo RF sao cho với mọiyPF
}xo} 1, }xoy} ¡1ε.
Ví dụ 1.4.4. Rõ ràng co là không gian con (đóng) của `8 bởi co là không gian Banach.
Ký hiệu
coo tx pxiq P`8: supppxq hữu hạnu c tx pxiq P`8: D lim
iẹ8xi hữu hạnu.
Để ý rằng c chính là không gian CpKq trong trường hợp K NY t8u với mêtric được xác định bởi
dpx, yq 1 x 1
y với quy ước 81 0.
Ta có kết luận sau
Không gianc là không gian con đóng của`8,vì vậy nó Banach,
Không giancoo là không gian con không đóng của`8,vì vậy nó không Banach.
Thật võy, lấy xk pxkiq P c và xk ẹ x trong `8.Với k P N, ta ký hiệu lk
ilimẹ8pxkiq.Ta sẽ chứng minh rằng lim
kẹ8plkqtồn tại và hữu hạn nbằng cỏch chỉ ra tlku là Cauchy.
Cho trước ε ¡0, lấy no sao cho }xnxm}8 ε với mọi m, n ¥ no. Như vậy,
|xni xmi | εvới mọiiPNvà mọin, mƠno.Cố định n, mƠno và cho iẹ 8,ta có |lnlm| ε.Vì vậy lim
kẹ8plkq l tồn tại và hữu hạn.
1.4 Không gian con - không gian thương 30 Vỡ xk ẹ x pxiq trong `8, ta cú lim
kẹ8pxkiq xi, với mọi i P N. Ta sẽ chứng tỏ rằng lim
iẹ8pxiq l, cú nghĩa là x P c. Cho trước ε Ă 0 và chọn no sao cho }xkx}8 εvà |lkl| εvới k¥ no, đặc biệt|xki xi| ε. Khi đó cố địnhio sao cho |xnio lno| εvớii¥io.Với i¥io ta có
|xil| ¥ |xixnio| |xniolno| |lnol| 3ε.
Như vậylimpxiq lvà xPc.Điều này chứng tỏc đóng trong `8.
Cuối cùng, xét x P co xác định bởi x pxiq, trong đó xi 1i với mọi i và xn 1,12, . . . ,n1,0, . . .
.Khi đúxnPcoovàxnẹxtrongcovỡ}xnx}8 n11 ẹ0 khinẹ 8.Vỡ vậy xRcoo.
Chú ý rằngco là bao đóng củacoo trong`8. 1.4.2 Không gian thương
Giả sử F là một không gian con đóng của không gian định chuẩnE. Xét không gian tuyến tính thương E{F tx F :x P Eu của E theo quan hệ tương đương xRy nếuxyPF.Theo Mệnh đề 1.2.11,ξ x F là một tập hợp đóng trongE.
Với mọi ξx F PE{F ta định nghĩa }ξ} }x F} inf
yPF}xy} inf
uPξ}u}.
Định lý 1.4.5. ξịẹ }ξ}là một chuẩn trờn E{F.
Chứng minh. i) Hiển nhiên}ξ} ¥0với mọi ξPE{F.
ii) Giả sử }ξ} 0. Theo định nghĩa, tồn tại dãy txnu ξ với lim
nẹ8}xn} 0, nghĩa là lim
nẹ8xn0.Mà ξ là một tập đúng nờn 0Pξ và vỡ vậyξ 0PE{F.
iii) Nếu λ0 thì hiển nhiên}λξ} |λ|}ξ} với mọiξPE{F.Nếuλ0thì }λξ} }λpx Fq} inf
yPF}λpxyq} inf
yPF}λxλy} |λ|inf
yPF}xy} |λ|}x F} |λ|}ξ}. iv) Lấyξ, η PE{F.Vớiε¡0 cho trước tồn tạixPξ, y Pη sao cho
}x} ¤ }ξ} ε, }y} ¤ }η} ε.
Do đó
}x y} ¤ }x} }y} ¤ }ξ} }η} 2ε.
Nhưngx yPξ η nên }ξ η} ¤ }x y}.Vì vậy }ξ η} ¤ }ξ} }η} 2ε.
1.4 Không gian con - không gian thương 31 Bất đẳng thức này đúng với mọi ε¡0 nên
}ξ η} ¤ }ξ} }η}.
Không gian E{F với chuẩn nói trên gọi là không gian thương của không gian định chuẩnE theo không gian con đóngF.
Định lý 1.4.6. NếuE là một không gian Banach vàF là một không gian con đóng củaE thì không gian định chuẩn thương E{F là một không gian Banach.
Chứng minh. Theo Định lý 1.3.6 ta chỉ việc chứng minh rằng mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối trong E{F đều hội tụ. Giả sử
á8 n1
ξn là một chuỗi hội tụ tuyệt đối, tức là
á8 n1
}ξn} 8.
Với mỗi nchọn xnPξnsao cho
}xn} ¤ }ξn} 1 2n. Khi đó
á8 n1
}xn} 8.
Vậy chuỗi
á8 n¥1
xn trong E là hội tụ tuyệt đối. Vì E là không gian Banach nên theo Định lý 1.3.6 chuỗi này hội tụ. Gọixlà tổng của nó. Lấy ξPE{F là lớp chứax,tức làξ px.Vậy thì
x px1 xnq Pξ pξ1 ξnq do đó
}ξ pξ1 ξnq} Ô }x px1 xnq} ẹ0 khinẹ 8.Vậy ξ á8
n¥1
ξn và
á8 n¥1
ξn là một chuỗi hội tụ.
Chú ý 1.4.7. Điều ngược lại của Định lý cũng đúng, tức là ta có
Định lý 1.4.8. NếuE là một không gian định chuẩn và F là một không gian con củaE sao cho F Banach và E{FBanach thì E là một không gian Banach.
Chú ý 1.4.9. Ta thường ký hiệu}.}o là chuẩn được xác định như ở trên. Tất nhiên có nhiều cách xác định chuẩn trong E{F,vì vậy một câu hỏi tự nhiên là trong tất cả các chuẩn có thể xác định trong không gian thương thì chuẩn}.}o có gì đặc biệt?
Kết quả sau đây sẽ trả lời câu hỏi đó. Việc chứng minh dành cho bạn đọc xem như một bài tập nhỏ sau khi học xong bài “Toán tử tuyến tính liên tục".
Định lý 1.4.10. Chuẩn }.}o là chuẩn mạnh nhất trong E{F sao cho ánh xạ chính tắcπ :E ẹ E{F là liờn tục. Núi cỏch khỏc, nếu }.}1 là một chuẩn trongE{F sao choπ liên tục thì tồn tại một hằng sốC ¡0 sao cho
}ξ}1 ¤C}ξ}o, với mọiξPE{F.