Chương 2. Các nguyên lý cơ bản 48
2.3 Nguyên lý bị chặn đều
Sx px, Axq PGA; Tpx, Axq AxPY.
VìX, Y là những không gian Banach nên theo Định lý 2.2.6XY là những không gian Banach và GA là không gian con đóng của XY, vậy GA là một không gian Banach. Mặt khác, rõ ràng S là một song ánh tuyến tính củaX lên GA, ngoài ra theo định nghĩa chuẩn pq thì }Sx} }px, Axq} ¥ }x}, vậy ánh xạ S1 là liên tục (Định lý 1.5.8). Khi đó Định lý Banach (Hệ quả 2.2.4) chứng tỏ rằng S pS1q1 là liên tục. Cuối cùng vì
}Tpx, Axq} }Ax} ¤ }px, Axq}
nên T là liên tục, do đóAT S là liên tục.
2.3 NGUYÊN LÝ BỊ CHẶN ĐỀU
2.3.1 Nửa chuẩn liên tục
Bổ đề sau đây được chứng minh hoàn toàn tương tự Định lý 1.5.1.
Bổ đề 2.3.1. Giả sửplà một nửa chuẩn trên không gian định chuẩnE.Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(i) pliên tục trên E;
(ii) pliên tục tại xo PE;
(iii) pliên tục tại 0PE;
(iv) DM ¡0,@xPE :ppxq ¤M}x}.
Ta cũng ký hiệu}p} inftM :M thỏa mãn (iv)u và gọi}p} là chuẩn củap.Và tương tự như Định lý 1.5.2 ta có
}p} sup
x0
ppxq
}x} sup
}x}¤1
ppxq sup
}x}1
ppxq.
Định lý 2.3.2. Giả sử tpαuαPΛ là một họ các nửa chuẩn liên tục xác định trên không gian BanachE.Nếu với mọixPE
ppxq sup
αPΛ
pαpxq 8 thìp là một nửa chuẩn liên tục trênE.
2.3 Nguyên lý bị chặn đều 61 Chứng minh.Dễ dàng kiểm traplà một nửa chuẩn. Để chứng tỏp liên tục, với mọi nPN,đặt
An £
αPΛ
txPE :pαpxq ¤nu.
Vì pα liên tục với mọi α P Λ nên An là đóng trong E. Từ định nghĩa hàm p ta có An tx P E : ppxq ¤ nu. Vì ppxq 8 với mọi x nên 8
n1
An E. Do E đầy đủ nên sử dụng định lý Baire về phạm trù ta có no để Ano chứa hình cầu đóng Bpxo, rq, r¡0củaE.Như vậy, nếuzPBpxo, rqthìppzq ¤no.Với mọixPE, x0, thìxo r x
}x} PBpxo, rq,do đó ppxq }x}
r p
r x }x}
}x}
r p
xo r x }x} xo
¤ }x} r
p
xo r x }x}
ppxoq
¤ 2no
r }x}.
Như vậyppxq ¤2nro}x}với mọixPE,nghĩa là pliên tục theo Bổ đề 2.3.1.
2.3.2 Nguyên lý bị chặn đều
Định lý 2.3.3. (Định lý Banach - Steinhauss) Giả sửE là một không gian Banach, F là một không gian định chuẩn và tAαuαPΛ là một họ các ánh xạ tuyến tính liên tục từE vào F.Khi đó nếusup
αPΛ}Aαx} 8với mọi xPE thì sup
αPΛ}Aα} 8. Điều này có nghĩa rằng, mọi họ toán tử tuyến tính liên tục tAαuαPΛ mà bị chặn điểm thì sẽ bị chặn đều theo nghĩa sau:
Với mọi ε¡0 tồn tại δ ¡0 (không phụ thuộc vàoα) để cho với mọix PE mà }x} δ đều có }Aαx} ¤εvới mọiαPΛ.
Chứng minh. Đặt pαpxq }Aαx} ta được họtpαuαPΛ các nửa chuẩn thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.3.2. Vì vậyppxq sup
αPΛ}Aαx}là một nửa chuẩn liên tục. Từ
đó}Aα} ¤ }p} 8 với mọiαPΛ.
Hệ quả 2.3.4. Nếu tAnu là một dãy những ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian BanachE vào không gian định chuẩnF và tồn tại lim
nẹ8Anpxq Apxq trongF với mọixPE thỡ A:EẹF là một ỏnh xạ tuyến tớnh liờn tục.
Chứng minh. Việc kiểm tra A tuyến tính là dễ dàng. Với mỗix P E vì dãytAnxu hội tụ nênsup
nPN}Anx} 8.Theo Định lý 2.3.3 tồn tạiM sao cho}An} ¤M với mọi nPN.Từ đó}Ax} lim
nẹ8}Anx} ÔM}x}.VậyA liờn tục.
Bài tập 62 Hệ quả 2.3.5. Giả sử E là một không gian Banach và tfnu là dãy các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trênX.Nếu với mỗixPX,tfnpxqulà một dãy Cauchy, thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên X sao cho với mọi xPX
nlimẹ8fnpxq fpxq hơn nữa
}f} ¤ lim
nẹ8}fn}.
Theo cách gọi tổng quát, trong trường hợp này, dãy phiếm hàmtfnu gọi là hội tụ đơn giản, hay hội tụ tại từng điểm (thuộc không gian X) đến phiếm hàm f.
BÀI TẬP
2.1. Cho f là một phiếm hàm tuyến tính không liên tục trên không gian định chuẩn thực X. Chứng minh rằng với mọir¡0 thìfpB1p0, rqq R.
2.2. Cho X là một không gian định chuẩn và f là phiếm hàm tuyến tính trên X. Chứng minh rằng f liên tục khi và chỉ khi Ker f txPX:fpxq 0u là tập đóng.
2.3. Cho X, Y là hai khụng gian Banach và A : X ẹ Y là một toỏn tử tuyến tớnh sao cho với mọi dóyxnẹ0 và với mọi phiếm hàm tuyến tớnh liờn tụcgtrờn Y ta đều cú gpAxnq ẹ0.Chứng minh A liờn tục.
2.4. Giả sử f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian định chuẩn X. Chứng minh rằng với mọiaPX ta có dpa, Nq |fpaq|
}f} trong đóN kerf.
2.5. Giả sử }.}1 và }.}2 là hai chuẩn trong không gian tuyến tính X sao cho với mỗi chuẩn đú X là khụng gian Banach và hơn nữa từ }xn}1 ẹ 0 kộo theo }xn}2ẹ0.Chứng minh rằng hai chuẩn này tương đương.
2.6. Giả sửX1, X2 là hai không gian con đóng của không gian BanachXsao cho X X1`X2.Khi đó mọi x PX được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng xx1 x2.Chứng minh các ánh xạ
pi:X ẹXi với i1,2 xịẹxi
là liên tục.
Bài tập 63
2.7. Cho X là không gian Banach, f là phiếm hàm tuyến tính liên tục khác 0 trên X. Chứng minhf là một ánh xạ mở.
2.8. Giả sửY Cr0,1slà không gian các hàm thực liên tục trênr0,1svới chuẩn sup. GọiX là không gian con củaY gồm tất cả các hàm có đạo hàm liên tục trên r0,1s.Xột ỏnh xạ tuyến tớnhA:X ẹY cho bởiAf f1.
a) Chứng minh rằng KerA là không gian con đóng củaX vàA có đồ thị đóng.
b) A không liên tục.
c)X không đầy đủ.
2.9. HọtAαuαPI các toán tử tuyến tính liên tục từX vàoY được gọi là đồng liên tục đều nếu @εĂ0, Dδ Ă 0 : @x PX,}x} δ ủ }Aαpxq} ε, @ α P I. Chứng minh rằngtAαuα đồng liên tục đều khi và chỉ khi nó bị chặn đều.
2.10. Cho X, Y là hai không gian Banach và tAnun LpX, Yq là dãy các toán tử tuyến tính liên tục. Giả sửDK ¡0 :}An} ¤K với mọinPN.Ngoài ra với mọi xPE thìtAnxun là một dãy Cauchy trongY vớiE là một tập trù mật trongX.
Chứng minh tAnun hội tụ đơn đến toán tửAPLpX, Yq.
Chương 3
KHÔNG GIAN LIÊN HỢP - TÔPÔ YẾU
3.1 Không gian liên hợp . . . . 64 3.2 Không gian liên hợp thứ hai - Không gian phản xạ . . . 72 3.3 Tôpô yếu . . . . 75 Bài tập . . . . 84
3.1 KHÔNG GIAN LIÊN HỢP
3.1.1 Không gian liên hợp
Nếu X là không gian định chuẩn trên trường số K thì không gian LpX,Kq tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trênX được gọi là không gian liên hợp (hay đối ngẫu) của X và thường được ký hiệu là X.
Nhận xét 3.1.1. Vì K là một không gian Banach, nên Định lý 1.5.10 cho ta: Với mọi không gian định chuẩn X, không gian liên hợp X luôn là một không gian Banach.
Để ý rằng sự hội tụ trong định lý này là sự hội tụ trongXLpX,Kq (còn gọi
3.1 Không gian liên hợp 65 là sự hội tụ theo chuẩn): Dãytfnu X gọi là hội tụ theo chuẩn đến f PX nếu
nlimẹ8}fnf} 0.
Ta còn có các khái niệm sau
Định nghĩa 3.1.1. Trong không gian X, dãy phiếm hàm tfnu gọi là hội tụ đơn giản (hoặchội tụ tại từng điểm (thuộcX)) đếnf PX, nếu với mọixPX cố định, dãy sốtfnpxquhội tụ đếnfpxq.
Định nghĩa 3.1.2. Trong không gian X, dãy phiếm hàm tfnu gọi là một dãy Cauchy theo nghĩa đơn giản (hoặc mộtdãy Cauchy đối với sự hội tụ đơn giản) nếu với mọi x P X cố định, dãy số tfnpxqu là một dãy Cauchy. Nếu mọi dãy Cauchy theo nghĩa đơn giản đều hội tụ (tức là hội tụ đơn giản đến một phần tử nào đó) thì không gianX được gọi làđầy đủ đối với sự hội tụ đơn giản.
Hệ quả 2.3.5 của Nguyên lý bị chặn đều cho ta thấy rằng
Định lý 3.1.2. Nếu X là một không gian Banach thì không gian liên hợp X là đầy đủ đối với sự hội tụ đơn giản.
Định lý 3.1.3. Giả sử X là không gian định chuẩn. Khi đó với mọi xPX ta đều có
}x} sup
fPX,}f}1
|fpxq|.
Chứng minh. Chỉ cần chứng minh định lý cho trường hợp x 0. Nếu f P X và }f} 1,thì từ bất đẳng thức
|fpxq| ¤ }f}.}x} }x}, ta suy ra
}x} ¥ sup
fPX,}f}1
|fpxq|.
Vì x 0, nên theo Hệ quả 2.1.12 của Định lý Hahn-Banach, tồn tại fo P X sao cho}fo} 1,|fopxq| }x},vậy
}x} ¤ sup
fPX,}f}1
|fpxq|.
Từ đó suy ra định lý.
Ta để ý rằng nếu không gian định chuẩnXlà khả ly thì không gian liên hợpX không nhất thiết phải khả ly. Chẳng hạn không gian`1 là khả ly, nhưng không gian
`8 liên hợp của nó (ta sẽ chứng minh điều này trong mục phía dưới) là không khả ly. Tuy nhiên ta có
3.1 Không gian liên hợp 66 Định lý 3.1.4. Nếu không gian liên hợpX là khả ly thì không gianX là khả ly.
Chứng minh. Giả sử tfn, n P Nu là tập hợp trù mật trong X. Do tính chất của supremum, với mỗinta lấy được một xnPX sao cho
}xn} ¤1,|fnpxnq| ¡ 1
2}fn}, nPN.
Gọi Y là không gian con đóng của X, sinh bởi các xn. Theo Định lý 1.6.9, Y là không gian khả ly. Ta chứng tỏ rằngX Y. Thật vậy, nếu X Y,thì do Y đóng thì theo Hệ quả 2.1.11, của Định lý Hahn-Banach tồn tạif PX, f 0vàfpyq 0 khiy PY,đặc biệt fpxnq 0 với mọinPN.
Ta hãy chọn một dãytfniuhội tụ đến f.Từ bất đẳng thức }f fni} sup
}x}1
|pffniqpxq| ¥ |pf fniqpxniq| |fnipxniq| ¥ 1 2}fni} ta suy ra rằng}fni} ẹ0,tức là fni ẹ0,do đú f 0.Điều này mõu thuẫn với giả
thiếtf 0.
3.1.2 Dãy song trực giao
Giả sử X là không gian định chuẩn, xo PX và fo PX.Nếu fopxoq 0 thì ta nói rằngxo vàfo là trực giao với nhau.
Tổng quát hơn, giả sử txnu là một dãy trong X và tfnu là một dãy trong X. Các dãytxnu vàtfnu gọi làsong trực giao với nhau nếu
fipxjq δij
#
1 nếu ij, 0 nếu ij.
Trong mục này ta sẽ chỉ trình bày các kết quả quan trọng về dãy song trực giao.
Các chứng minh của chúng dành lại cho bạn đọc trong phần bài tập.
Định lý 3.1.5. Nếu txnu X và tfnu X là hai dãy song trực giao thì hệ txn, n PNu là độc lập tuyến tính trong X và hệ tfn, nP Nu là độc lập tuyến tính trongX.
Định lý 3.1.6. a) Giả sửx1, . . . , xn lànvectơ độc lập tuyến tính trong không gian định chuẩn X. Khi đó tồn tại hệ tfk, k 1, . . . , nu trong X song trực giao với hệ txk, k1, . . . , nu.
b) Giả sử f1, . . . , fnlà nvectơ độc lập tuyến tính trong không gianX.Khi đó tồn tại hệtxk, k1, . . . , nu trongX song trực giao với hệtfk, k1, . . . , nu.
3.1 Không gian liên hợp 67 3.1.3 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính
Trong mục này ta sẽ chỉ ra dạng tổng quát của các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên một số không gian, từ đó biết được không gian liên hợp của các không gian đó.
Định lý 3.1.7. Chof là một phiếm hàm tuyến tính trênKn (KRhay KC).
Khi đó tồn tại duy nhất phần tửa pa1, . . . , anq PKn sao cho fpxq
án i1
aixi, với mọi x px1, . . . , xnq PKn.
Ngược lại, vớia pa1, . . . , anq PKn,thì dạngfapxq
án i1
xiai với mọipx1, . . . , xnq P Kn xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên Knvà }fa} }a}.
Chứng minh. Gọi te1, . . . , enu là cơ sở chính tắc của Kn, trong đó ei p0, . . . ,0,1
piq,0, . . . ,0q. Với x px1, . . . , xnq P Kn, ta có x
án i1
xiei. Cho f là phiếm hàm tuyến tính trên Kn, ta có fpxq
án i1
xifpeiq. Đặt ai fpeiq P K thìfpxq
án i1
xiai, a pa1, . . . , anq PKn Ngược lại, với a pa1, . . . , anq PKn,ta đặt
fapxq
án i1
xiai với mọi x px1, . . . , xnq PKn.
Rõ ràng fa là tuyến tính, liên tục vì Kn hữu hạn chiều. Giả sử trong Kn ta chọn chuẩn Euclide}x}
án i1
|xi|21{2
,áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
|fapxq| Ôán
i1
|xi|2 1{2án
i1
|ai|2 1{2 }x}}a} nên }fa} ¤ }a}.Mặt khác, lấyxo pξiq vớiξi ai
}a}.Lúc đó }xo} án
i1
|ai|2 }a}2
1{2
1.
Hơn nữa
fapxoq
án i1
a2i 1
}a} }a}
nên }fa} ¥ }a}.Vậy }fa} }a}.
3.1 Không gian liên hợp 68 Chú ý 3.1.8. Ánh xạ
ϕ:Knẹ pKnq aịẹfa
là một ánh xạ tuyến tính. Hơn nữa dễ thấyϕlà song ánh. Như đã chứng minh trên ta có }fa} }a}. Điều này có nghĩa ϕlà một phép đẳng cự tuyến tính. Tuy nhiên nếu trongKnta chọn một chuẩn khác với chuẩn Euclide thìϕchỉ là một phép đồng phôi tuyến tính. Như vậy, nói chungpKnq không đẳng cấu tuyến tính với Kn.
Trước khi trình bày các định lý sau, ta có nhận xét sau.
Xét dãytenun cho bởi
en p0, . . . ,0, 1
pnq,0, . . .q.
Dĩ nhiênenPcovàenP`ppp¥1q.Có thể chứng minh dễ dàng rằng nếux pξnq Pco
(tương ứng,P`p) thì
x á8
n1
ξnen,
với chuỗi ở vế phải hội tụ trong không gianco(tương ứng, trong không gian`p). Thật vậy, ta xétsn
án i1
ξiei pξ1, . . . , ξn,0, . . .q.Khi đó lim
nẹ8}snx} lim
nẹ8sup
i¡n|ξi| 0.
Để ý rằng đẳng thức trên không đúng nếu coi rằng en P `8, với mọi n PN và lấyx pξnq P`8.
Định lý 3.1.9. Với mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên không gian co,tồn tại duy nhất phần tửa panqnP`1 sao cho
fpxq á8
n1
anxn, với mọi x pxnq Pco.
Ngược lại, vớia panqnP`1,thỡ dạngfapxq á8
n1
xnan với mọix pxnqnPco xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trênco và}fa} }a}.
Chứng minh. Lấyf Pco tùy ý. Vìf liên tục nên với mọix pξnq Pco ta đều có fpxq f
nlimẹ8
án k1
ξkek lim
nẹ8
án k1
fpekqξk á8
n1
anξn, trong đóanfpenq không phụ thuộc vào x.
3.1 Không gian liên hợp 69 Bây giờ ta chứng minh a panq P `1. Thật vậy, với mỗi N P N, ta xét xN pξnpNqq Pco xác định như sau
ξnpNq
$&
%
|an|
an nếu n¤N và nếu an0, 0 đối với các trường hợp còn lại.
Thế thì}xN} ¤1,và
áN n1
|an| |fpxNq| ¤ }f}.}xN} ¤ }f}.
Bất đẳng thức này đỳng cho mọiN nờn cho N ẹ 8ta suy ra rằnga panq P`1 và }a}1 ¤ }f}.
Ngược lại, với mỗi phần tử a panq P `1 ta hãy xác định phiếm hàm fa trên không gianco như sau: Nếu x pξnq Pco thì
fapxq á8
n1
anξn. Chuỗi ở vế phải hội tụ bởi vì
|fapxq| Ô á8
n1
|an|.|ξn| ¤sup
n |ξn|.
á8 n1
|an| }a}1.}x}.
Rõ ràngfa là tuyến tính, và bất đẳng thức trên chứng tỏfa bị chặn, do đó fa Pco và }fa} ¤ }a}1. Mặt khác, với mỗi N P N, ta xét xN pξpnNqq P co xác định như trong chứng minh ở phần trên. Lặp lại chứng minh trên ta nhận được}fa} }a}1. Chú ý 3.1.10. Từ định lý trên ta có thể thiết lập được một song ánh
aP`1 ịẹfaPco.
Rõ ràng ánh xạ này là tuyến tính, bảo toàn chuẩn và do đó là một phép đẳng cấu tuyến tính của không gian`1 lên không gian co.
Định lý 3.1.11. Với mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tụcf trên không gian`1,tồn tại duy nhất phần tửa panqnP`8 sao cho
fpxq á8
n1
anxn, với mọi x pxnqnP`1.
Ngược lại, vớia panqnP`8,thỡ dạngfapxq á8
n1
xnanvới mọix pxnqnP`1 xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên`1 và}fa} }a}8.
3.1 Không gian liên hợp 70 Chứng minh. Lấyf P`1 tùy ý. Vìf liên tục nên với mọix pξnq P`1 ta đều có
fpxq f
nlimẹ8
án k1
ξkek lim
nẹ8
án k1
fpekqξk á8
n1
anξn, trong đóanfpenq không phụ thuộc vào x.
Từ bất đẳng thức
|an| |fpenq| ¤ }f}.}en}1 }f}, ta thấy rằng dãya panq là bị chặn, tức là a panq P`8,và
}a}8sup
n |an| ¤ }f}. Từ đó suy ra rằng
}fa} }a}8.
Ngược lại, với mỗi phần tử a panq P`8 ta hãy xác định phiếm hàm fa trên không gian`1 như sau: Nếu x pξnq P`1 thì
fapxq á8
n1
anξn. Chuỗi ở vế phải hội tụ bởi vì
|fapxq| Ô á8
n1
|an|.|ξn| ¤sup
n |an|.
á8 n1
|ξn| }a}8.}x}.
Rõ ràngfa là tuyến tính, và bất đẳng thức trên chứng tỏ fa bị chặn, do đófaP`1 và }fa} ¤ }a}8. Mặt khác, với mỗi N PN xét xN p0, . . . ,0,1
N,0, . . . ,0q P`1. Rõ ràng}xN} 1.Khi đó
}fa} ¥ |fapxNq| |aN|, với mọiN.
Do đó }fa} ¥sup
n |an| }a}8.Vậy }fa} }a}.
Chú ý 3.1.12. Từ định lý trên ta có thể thiết lập được một song ánh aP`8ịẹfaP`1.
Rõ ràng ánh xạ này là tuyến tính, bảo toàn chuẩn và do đó là một phép đẳng cấu tuyến tính của không gian`8 lên không gian`1.
3.1 Không gian liên hợp 71 Định lý 3.1.13. Với mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tụcftrên không gian`p,pp¡1q tồn tại duy nhất phần tử a panqnP`q sao cho
fpxq á8
n1
anξn, với mọi x pξnq P`p, trong đó q thỏa mãn điều kiện 1
p 1
q 1. Ngược lại, với a panq P `q, thì dạng fapxq á8
n1
ξnan với mọi x pξnqn P `p xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên`p và}fa} }a}q.
Chứng minh. Lấyf P`p tùy ý. Vìf liên tục nên với mọix pξnq P`p ta đều có fpxq f
nlimẹ8
án k1
ξkek lim
nẹ8
án k1
fpekqξk á8
n1
anξn, trong đóanfpenq không phụ thuộc vào x.
Bây giờ ta chứng minh a panq P `q. Thật vậy, với mỗi N P N, ta xét xN pξnpNqq P`p xác định như sau
ξpnNq
$&
%
|an|q an
nếu n¤N và nếu an0, 0 đối với các trường hợp còn lại.
Để ý rằng }xN}p áN
n1
|ξn|p 1{p áN
n1
|an|pq1qp 1{p áN
n1
|an|q 1{p,nhưng từ biểu thức đã tìm được của fpxq ta có
áN n1
|an|q fpxNq Ô }f}.}xN}p }f}áN
n1
|an|q 1{p, do đó
áN
n1
|an|q 1{q¤ }f}.
Bất đẳng thức này đỳng cho mọiN nờn choN ẹ 8ta suy ra rằnga panq P`q và }a}q ¤ }f}.
Ngược lại, với mỗi phần tử a panq P `q ta hãy xác định phiếm hàm fa trên không gianco như sau: Nếu x pξnq P`p thì
fapxq á8
n1
anξn.
3.2 Không gian liên hợp thứ hai - Không gian phản xạ 72 Chuỗi ở vế phải hội tụ bởi vì theo bất đẳng thức H¨older ta có
|fapxq| Ô á8
n1
|an|.|ξn| Ôá8
n1
|an|q 1{q á8
n1
|ξn|p 1{p }a}q}x}p.
Rõ ràng fa là tuyến tính, và bất đẳng thức trên chứng tỏ fa P `p và }fa} ¤ }a}q. Mặt khác, với mỗiN PN,ta xétxN pξnpNqq P`p xác định như trong chứng minh ở phần trên. Lặp lại chứng minh trên ta nhận được }fa} }a}q. Chú ý 3.1.14. Từ định lý trên ta có thể thiết lập được một song ánh
aP`qịẹfaP`p.
Rõ ràng ánh xạ này là tuyến tính và là một phép đẳng cấu tuyến tính của không gian`q lên không gian `p.
Còn một số dạng tổng quát của các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên một số không gian cụ thể khác chúng tôi dành lại cho bạn đọc ở phần bài tập.
3.2 KHÔNG GIAN LIÊN HỢP THỨ HAI - KHÔNG GIAN PHẢN XẠ
3.2.1 Không gian liên hợp thứ hai
Định nghĩa 3.2.1. Cho X là không gian định chuẩn. Không gian liên hợp của không gian liên hợp (thứ nhất) X củaX được gọi là không gian liên hợp thứ hai củaX và ký hiệu làX.Không gian liên hợp củaX được gọi làkhông gian liên hợp thứ ba củaX và ký hiệu là X,v.v...
Định lý 3.2.1. Tồn tại một phép đẳng cự tuyến tính của không gian định chuẩn X vào không gian liên hợp thứ hai X của nó.
Chứng minh. Với mỗi xPX ta xác định phiếm hàmxrtrên X bởi công thức r
xpfq fpxq, pf PXq.
Dễ kiểm trarx là phiếm hàm tuyến tính. Hơn nữa, theo Định lý 3.1.3 ta có sup
fPX,}f}1
|rxpfq| sup
fPX,}f}1
|fpxq| }x}.
Đẳng thức này chứng tỏ phiếm hàmxrbị chặn, vậy xrPX,và}rx} }x}.
3.2 Không gian liên hợp thứ hai - Không gian phản xạ 73 Như vậy, ta có một ánh xạ
xPX ịẹ rxPX
bảo toàn chuẩn. Dễ kiểm tra ánh xạ này tuyến tính. Vậy nó là một phép đẳng cự
tuyến tính từ X vàoX.
Định lý này cho phép ta đồng nhất phần tử x PX với phần tử xrPX, do đó ta có thể coi XX.Như vậy vớixPX ta có thể xemx PX và ta có với mọi f PX thì xpfq fpxq.
3.2.2 Không gian phản xạ
Định nghĩa 3.2.2. Không gian định chuẩnX được gọi làphản xạ nếu XX. Hiển nhiên một không gian phản xạ phải là một không gian đầy đủ.
Ví dụ 3.2.2. Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều là phản xạ.
Ví dụ 3.2.3. Các không gian định chuẩn`p pp¡1q là phản xạ.
Ví dụ 3.2.4. Không gianco là không phản xạ.
Các kết quả này dành cho bạn đọc chứng minh như một bài tập.
Định lý 3.2.5. Nếu X là một không gian phản xạ và Y là không gian con đóng củaX thìY là một không gian phản xạ.
Chứng minh. Mọi phiếm hàm f PX nếu chỉ xét trên Y cũng là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trênY. Ta ký hiệuf
Y rf . Như vậyfrPY và ta có } rf} sup
xPY,}x}1
|fpxq| ¤ sup
xPX,}x}1
|fpxq| }f}.
Vì vậy ta có ánh xạ tuyến tínhϕ
f PX ịẹ rf PY và bất đẳng thức trên chứng tỏϕliên tục.
Ta chỉ cần chứng minh YY.
Lấy αPY tùy ý và xác định một phiếm hàm xα trên X bởi công thức: Với mọi f PX thì
xαpfq αp rfq.
3.2 Không gian liên hợp thứ hai - Không gian phản xạ 74 Rõ ràngxα là một phiếm hàm tuyến tính trên X, hơn nữa xα liên tục bởi vì
|xαpfq| |αp rfq| ¤ }α}.} rf} ¤ }α}.}f}. Như vậyxα PX X.
Ta cần chứng tỏ rằng xα PY. Thật vậy, vì Y là một không gian con đóng của X nên nếu xα R Y thì theo Hệ quả 2.1.11. của Định lý Hahn-Banach thì tồn tại foPX sao cho fopyq 0 với mọiyPY vàfopxαq 1. Khi đófro 0,nhưng theo định nghĩa củaxα ta có
1fopxαq xαpfoq αp rfoq 0 và ta đi đến mâu thuẫn. VậyxαPY Y.
Ta còn chứng minh rằngαxα.Thật vậy, lấygPYtùy ý. Theo Định lý Hahn- Banach,g có thể thác triển thành một phiếm hàm tuyến tính liên tụcf trênX,tức là tồn tại f PX sao chofrg.Để ý rằng xα PY Y đồng thờixα PY X, nên theo định nghĩa củaf và củaxα,ta có
xαpgq xαp rfq rfpxαq fpxαq xαpfq αp rfq αpgq.
Đẳng thức này đúng với mọigPY,vì vậy αxα PY. Vìα là phần tử tùy ý của
Y,nên Y Y,do đó Y Y.
Định lý 3.2.6. Không gian Banach X là phản xạ khi và chỉ khi không gian liên hợp X là phản xạ.
Chứng minh. Giả sửX phản xạ. Khi đó
pXq X pXqX. VậyX là phản xạ.
Ngược lại, giả sửX là phản xạ. Theo trên ta đã chứng minh rằngX là phản xạ. NhưngX X vàX là một không gian Banach nên X là một không gian con đóng củaX và theo Định lý 3.2.5 chứng tỏ rằngX là phản xạ.
Hệ quả 3.2.7. Nếu X là một không gian Banach thì hoặc
XX X. . . và X XX. . . hoặc
X X X . . . và X X X . . .