Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert- 123docz.net

xx, yy.

b) Nếutxnu hội tụ yếu đến x vàt}xn}u hội tụ về}x}thì txnu hội tụ (mạnh) về x.

Chứng minh.a) Do txnu hội tụ yếu vềxnên txnubị chặn, tức là tồn tại K ¡0sao cho

}xn} ¤K, @nPN. Ta có

¤ }xn}.}yny} |xxn, yy xx, yy|

¤K}yny} |xxn, yy xx, yy|. Do lim

nẹ8yny vàxn w

ẹx nờn khi chonẹ 8 trong bất đẳng thức trờn ta cú

nlimẹ8xxn, yny xx, yy. b) Ta có

}xnx}2 xxnx, xnxy }xn}2 xxn, xy xx, xny }x}2. Theo giả thiết ta có lim

nẹ8}xn} }x} và lim

nẹ8xxn, xy xx, xy }x}2 lim

nẹ8xx, xny nờn khi chonẹ 8 trong đẳng thức trờn, ta được lim

nẹ8xnx.

5.4 TOÁN TỬ LIÊN HỢP TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

5.4.1 Toán tử liên hợp

Nhắc lại rằng nếu A:X ẹY là một toỏn tử tuyến tớnh liờn tục từ khụng gian định chuẩn X vào khụng gian định chuẩn Y thỡ toỏn tử liờn hợp A : Y ẹ X được xác định bởi đẳng thức

pAyqpxq ypAxq (5.15) với mọixPX, yPY.

Toán tửA có các tính chất sau: Với mọiA, B PLpX, Yqvà với mọi λPK. a)pλAqλA

5.4 Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert 121 b) pA Bq A B.

c)pCAqAC.

Bây giờ giả thiết X và Y là hai không gian Hilbert. Khi đó do việc đồng nhất X X, Y Y và mỗi phần tử của X, Y biểu diễn dưới dạng tích vô hướng nờn toỏn tửA :Y ẹX và cụng thức (5.15) trở thành

xx, Ayy xAx, yy với mọixPX, yPY.

Trong trường hợp này, các tính chất b) và c) của A vẫn giữ nguyên, còn tính chất a) trở thànhpαAqαA.

Thật vậy, vớixPX, y PY ta có

xx,pαAqyy xαAx, yy αxAx, yy αxx, Ayy xx, αAyy. Như vậypαAqαA.

Ví dụ 5.4.1. Cho A PLpCnq và được xác định bởi ma trận paijq, i, j 1, . . . , n, trong cơ sở chính tắc e1, e2, . . . , en với ei p0, . . . ,

1,0, . . . ,0q, i 1, . . . , n. Giả sử toán tử liên hợp APLpCnq có ma trận pbijq, i, j 1, . . . , n.

Với mỗi kvà j1, . . . , n,ta có xek, Aejy xek,

án i1

bijeiy xek, bkjeky bkj xAek, ejy Aán

aikei, ej

Eajk.

Vậybkj ajk, j, k1, . . . , n.

Như vậy ma trận của toán tử liên hợp A được suy ra từ ma trận của A bằng phép chuyển vị rồi lấy liên hợp.

Ví dụ 5.4.2. Giả sử Kp., .q P L2pra, bs ra, bsq tức là

ằb

|Kpt, sq|2dtds 8. Dễ dàng kiểm tra rằng toỏn tửA:L2ra, bs ẹL2ra, bsđược xỏc định bởi cụng thức

Axptq

ằb

Kpt, sqxpsqds

vớixPL2ra, bs, tP ra, bs,là một toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert L2ra, bsvà gọi làtoán tử tích phân với hạchKpt, sq.

5.4 Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert 122 Khi đú toỏn tử A :L2ra, bs ẹL2ra, bsthỏa món đẳng thức

xAx, yy xx, Ayy

ằb

xptq

ằb

Kpt, sqypsqdsdt

ằb

Kpt, sqxptqdt ypsqds

với mọix, yPL2ra, bs, tức là Axptq

ằb

Kpt, sqxpsqds.

Chú ý 5.4.3. VớiX, Y là hai không gian Hilbert và A PLpX, Yq. Khi đó toán tử liờn hợp củaA làA:X ẹY và ta cú A A.

Thật vậy, với mọi x, yPX và mọiyPY ta có

xAx, yy xx, Ayy xAx, yy.

Với toán tử tuyến tính liên tụcAtừ không gian HilbertXvào không gian Hilbert Y ta ký hiệu

NpAq KerAA1p0q txPX:Ax0u RpAq ImAApXq tyPY :yAx, xPXu.

Rõ ràngKerAlà không gian con đóng củaX cònImA là không gian con củaY.

Định lý 5.4.4. Giả sửX, Y là hai khụng gian Hilbert vàA:X ẹ Y là một toỏn tử tuyến tính liên tục. Khi đó ta có

XKerA`ImA, Y KerA`ImA.

Chứng minh.VìXKerA` pKerAqK nên chỉ cần chứng minhpKerAqK ImA. Ta có

xPKerAôAx0ô xAx, yy 0, @y PY ô xx, Ayy 0, @y PY

ôxKImA ôxP pImAqK. Vậy

pKerAq pImAqK. (5.16)

Mặt khỏc,xKImAủxKImA nờn pImAqK pImAqK. Ngoài ra,ImAImA nên pImAqK pImAqK.Vậy

pImAqK pImAqK. (5.17)

Từ (5.16) và (5.17) ta có KerA pImAqK. Suy ra pKerAqK ImA (Xem bài tập 5.4).

Bằng cách thay A bởi A và do A A trong đẳng thức đầu ta suy ra đẳng

thức sau của định lý.

5.4 Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert 123 5.4.2 Toán tử tự liên hợp

Định nghĩa 5.4.1. Giả sửHlà không gian Hilbert vàAPLpHq.Khi đóAPLpHq. NếuA A thì A được gọi là toán tử tự liên hợp. Nói cách khác, A là toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert H nếu và chỉ nếu

xAx, yy xx, Ayy, @x, yPH.

Ở ví dụ 5.5.4.1, toán tửA có ma trậnpaijq, i, j 1, . . . , n,là toán tử tự liên hợp khi và chỉ khiaij aji, i, j 1, . . . , n.

Ở ví dụ 5.5.4.2, đểA là tự liên hợp, điều kiện cần và đủ là Kpt, sq Kpt, sq với hầu khắppt, sq P ra, bs ra, bs.

Định lý 5.4.5. NếuAlà toán tử tự liên hợp trong không gian HilbertH thì }A} supt|xAx, xy|:}x} ¤1u supt|xAx, xy|:}x} 1u.

Chứng minh. Với mọi xPH ta có

|xAx, xy| ¤ }A}.}x}2. Do đó

|xAx, xy| ¤ }A} 8 với }x} ¤1.

Vậy

αsupt|xAx, xy|:}x} ¤1u ¤ }A}. (5.18) Bây giờ ta sẽ chứng minh }A} ¤ α. Với α supt|xAx, xy| : }x} ¤ 1u ta có

|xAx, xy| ¤α với mọi xmà }x} ¤1.Từ đó ta suy ra

|xAx, xy| ¤α}x}2, @xPH.

Mặt khác, với mọix, yPH ta có

xApx yq, x yy xApxyq, xyy 2rxAx, yy xAy, xys. Do đó

|xAx, yy xAy, xy|

2|xApx yq, x yy xApxyq, xyy|

¤ α

2r}x y}2 }xy}2s αr}x}2 }y}2s

5.4 Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert 124 Với}x} 1, nếu Ax0 ta đặt y }Ax

Ax}, khi đó ta có }y} 1 và bất đẳng thức trên trở thành}Ax} ¤α. Nhưng}A} sup

}x}1

}Ax}.Vậy

}A} ¤α. (5.19)

Từ (5.18) và (5.19) ta suy ra }A} α.

Định lý 5.4.6. Giả sử H là không gian Hilbert phức và APLpHq.Điều kiện cần và đủ đểA tự liên hợp là xAx, xylà số thực với mọi xPH.

Chứng minh. Điều kiện cần.Giả sửAA.Khi đó với mọixPH ta có xAx, xy xx, Axy xAx, xy.

Suy raxAx, xy PR.

Điều kiện đủ.Giả sửxAx, xy PR,@xPH.Ta sẽ chứng minh rằngxAx, yy xx, Ayy,

@x, yPH.

Đặt xAx, xy a,xAy, yy b,xApx yq, x yy c,xApx iyq, x iyy d.

Ta cóa, b, c, dPRvà

c xAx, xy xAy, yy xAx, yy xAy, xy a b xAx, yy xAy, xy da bixAx, yy ixAy, xy.

Do đó

xAx, yy xAy, xy c pa bq SPR ixAx, yy ixAy, xy d pa bq T PR.

Từ đó suy ra

S iT 2xAx, yy và SiT 2xAy, xy.

Vậy xAx, yy xAy, xy xx, Ayy.

5.4.3 Toán tử compact tự liên hợp

Định lý 5.4.7. NếuA là một toỏn tử tự liờn hợp vàà là một giỏ trị riờng của A thỡàlà một số thực.

Chứng minh. Nếu à là một giỏ trị riờng thỡ tồn tại vectơ x 0 sao cho Axàx.

VỡxAx, xy xx, Axynờn xàx, xy xx, àxyhay à}x}2 à}x}2.

Suy raàà, nghĩa lààPR.

5.4 Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert 125 Định lý 5.4.8. Giả sử 0 A P LpHq là một toán tử compact tự liên hợp trong không gian HilbertH. Lúc đó A có một giá trị riêngλsao cho |λ| }A}.

Chứng minh. Từ Định lý 5.4.5, ta có }A} sup

}x}1

|xAx, xy|. Theo tính chất của supremum, tồn tại dóytxnu H,}xn} 1 sao cho|xAxn, xny| ẹ }A}.Khi đú sẽ cú một dãy con của dãyxAxn, xny(và ta cũng sẽ ký hiệu làxAxn, xnyhội tụ đếnλvới λ }A}hoặc λ }A}(vìxAxn, xny PR). Để ý rằng

0¤ }Axnλxn}2 xAxnλxn, Axnλxny

}Axn}22λxAxn, xny λ2}xn}2

Ô }A}22λxAxn, xny λ2 ẹ0 pnẹ 8q.

VậyAxnλxnẹ0 khinẹ 8.VỡAcompact nờn cú một dóy contAxnkukcủa dãy tAxnun hội tụ. Như thế dãy tλxnkuk hội tụ về cùng giới hạn với dãytAxnkuk. Đặty lim

kẹ8λxnk 0 vàxλ1y.Ta cú AxλxApλ1yq yλ1 lim

kẹ8Apλxnkq lim

kẹ8λxnk

lim

kẹ8Axnkλxnkq 0.

Thành raAxλxhay λlà một giá trị riêng của A.

Định lý 5.4.9. Giả sử H là không gian Hilbert, A PLpHq là một toán tử tự liên hợp,λ, àlà hai giỏ trị riờng khỏc nhau củaA.Khi đú hai khụng gian con riờng tương ứng NpAλq, NpAàq trực giao với nhau.

Chứng minh. Giả sửxPNpAλq, y PNpAàq.Ta cúλ, àPR và

λxx, yy xλx, yy xAx, yy xx, Ayy xx, àyy àxx, yy.

Do đú pλàqxx, yy 0.Vỡλànờn xx, yy 0.Vậy NpAλq KNpAàq. Định lý 5.4.10. Tập hợp tất cả các giá trị riêng của một toán tử compact tự liên hợp A P LpHq trong không gian Hilbert H là hữu hạn hoặc đếm được. Nếu đếm được thì tập hợp đó tạo thành một dãy hội tụ về0.

Chứng minh. Đặt

Λn tcác giá trị riêng λcủaAsao cho |λ| ¥1{nu.

Ta chứng minhΛn hữu hạn với mọinPN

5.4 Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert 126 Thật vậy, giả sử ngược lại có no sao cho tồn tại vô hạn giá trị riêng λα mà

|λα| ¥1{no.Lấy ra một dãy txnu từ tập các vectơ riêng tương ứngtxαu.Đặtyn xn

}xn}. Lúc đó }yn} 1và Aynλnyn.Ta có 1

λn}yn} 1

λn ¤no.

Như vậy dãy tλn1ynun bị chặn. Vì A compact nên tồn tại một dãy con tλnk1ynkuk

sao cho Apλnk1ynkq ynk hội tụ. Mặt khác, với mọi k, l, k l thì λnk λnl nên ynk Kynl.Do đó

}ynk ynl}2 }ynk}2 }ynl}2 2.

Vì vậy tynku không thể là dãy cơ bản được. Điều mâu thuẫn này chứng tỏ Λn là hữu hạn với mọinPN.Vậy tập tất cả các giá trị riêngΛ Y8n1Λnlà hữu hạn hay đếm được. Dễ thấy rằng nếuΛđếm được thì vớiε¡0tùy ý, ta có|λn| εvới hầu

hếtnnên nó lập thành một dãy hội tụ về 0.

Bây giờ cho Alà một toán tử compact tự liên hợp trong không gian Hilbert H.

Theo Định lý 5.4.10, các giá trị riêng khác 0 của A lập thành một dãy (hữu hạn hoặc vô hạn) có dạng

|à1| Ơ |à2| Ơ. . .

ĐặtqàdimNpAànq PN.Khi đú qn được gọi làbội của giỏ trị riờng àn. Ta ký hiệu

te1, . . . , eq1ulà một cơ sở trực chuẩn của khụng gian con NpAà1q, teq1 1, . . . , eq1 q2u là một cơ sở trực chuẩn của khụng gian con NpAà2q, . . . .

Hợp tất cả cỏc cơ sở trực chuẩn của cỏc khụng gian pAàiq (tức là dóy tenu với enKem,pmnq lập thành một hệ trực chuẩn trong không gian HilbertH.Hệ này được gọi là hệ trực chuẩn các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng khác0 củaA.

Đặt

λ1 . . .λq1 à1 λq1 1 λq1 2 . . .λq1 q2 à2

. . . .

λq1 qn1 1 . . .λq1 qn àn . . . .

Dãytλnuđược gọi là dãy các giá trị riêng tương ứng với dãy các vectơ riêngtenu

5.4 Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert 127 của toán tửA.Như vậytλnubao gồm tất cả các giá trị riêng khác0củaA,mỗi giá trịàn trong dóy này được lặp lại bằng bội của àn.Ta cú định lý sau

Định lý 5.4.11. ChoH là không gian Hilbert, APLpHq là một toán tử compact tự liên hợp. Khi đó với mọix PH,tồn tại duy nhất xo PH màAxo 0 sao cho x được biểu diễn dưới dạng

xxo

xx, enyen,

trong đótenulà hệ trực chuẩn các vectơ riêng của A ứng với các giá trị riêng khác 0.

Chứng minh.Ký hiệuM xtenuy.Khi đóxPH được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạngx xo x1 trong đóx1 PM vàxo PMK N.VìM là không gian con bất biến đối với toán tử tự liên hợpA nên N cũng là không gian con bất biến của A.Thật vậy, với mọi yPN,và mọinPNta có

xAy, eny xy, Aeny xy, λneny λnxy, eny 0.

Như thếAyPMK N.Vậy ApNq N.

Đặt A1 A

N. Vì N là không gian con đóng của H nên bản thân nó cũng là không gian Hilbert. Theo Định lý 5.4.8 tồn tại một giá trị riêngλ của A1 sao cho

|λ| }A1}.Gọixλ PN là vectơ riêng củaA1 ứng với giá trị riêng này. Vì λcũng là giỏ trị riờng củaA nờn nếu λtrựng với mộtλànào đú thỡ xλPM.Điều này khụng thể được vì M XN t0u. Do đó λ phải là giá trị riêng bằng 0. Vậy A1 0 tức là ApNq 0, suy ra Apxoq 0. Còn x1 P M nên x1 được khai triển thành chuỗi Fourier theo các vectơ en:

x1á

xx1, enyená

xx1 xo, enyená

xx, enyen

vìxxo, eny 0.Như vậy biểu diễn củax đã được thiết lập.

Định lý 5.4.12. ChoH là không gian Hilbert, APLpHq là một toán tử compact tự liên hợp và tenu là một hệ trực chuẩn các vectơ riêng ứng với các giá trị riêng λn0củaA.Khi đó với mọi xPH,ta có

Axá

λnxx, enyen. Chứng minh. Theo Định lý 5.4.11, tồn tạixoPH sao cho

xxo á

xx, enyen, Axo 0.

5.4 Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert 128 Như vậy

Axá

Apxx, enyenq á

xx, enyAená

λnxx, enyen.

Định lý được chứng minh.

Định lý 5.4.13. Cho H là không gian Hilbert khả ly, A P LpHq là một toán tử compact tự liên hợp. Khi đó trong H tồn tại một hệ trực chuẩn đầy đủ gồm các vectơ riêng của toán tử A.

Chứng minh. Theo chứng minh của Định lý 5.4.11, không gian Hilbert con N là không gian con riêng củaA ứng với giá trị riêngλ0 (nếuN t0u). VìH khả ly nên N khả ly, như vậy nó có hệ trực chuẩn đầy đủ tfmu trong N.Hợp củatenu và tfmu lập thành hệ trực chuẩn đầy đủ trong H.Điều này suy ra từ cách biểu diễn

xxo x1.

Bổ đề 5.4.14. Giả sử A PLpHq là một toán tử compact tự liên hợp trong không gian Hilbert và0λkhông phải là giá trị riêng. Lúc đóRpAλq RpAλIqlà một không gian con đóng củaH.

Chứng minh. ĐặtY RpAλq.Ta chứng minh rằng tồn tại r¡0 sao cho

}Aλx} ¥r}x}, với mọi xPH. (5.20) Giả sử ngược lại, khi đó với mọi nPN tồn tạixnPH,}xn} 1 sao cho

}Axnλxn} 1

n. (5.21)

VỡA compact và dóytxnubị chặn nờn tồn tại dóy conAxnk ẹxo.Lỳc đú từ (5.21) ta có

λxnk Axnk pAxnkλxnkq ẹxo

và }λxnk} ẹ }xo} 0. Hơn nữa cũng từ (5.21), Axnk λxnk ẹ 0 ta suy ra Axo λxo.Như vậyλlà một giá trị riêng, trái giả thiết.

Bõy giờ choynPY, ynẹyo.Lỳc đú cú xnPH để

ynAxnλxn. (5.22)

Do bất đẳng thức (5.20) ta có }xnxm} ¤ 1

r}AλxnAλxm} 1

r}ynym} ẹ0 pm, nẹ 8q.

Như vậytxnulà dóy Cauchy nờn phải hội tụ vềxoPH.Chonẹ 8trong (5.22) ta đượcyo pAλIqxo.Vậyyo PY.Nói cách khác,Y là không gian con đóng của

5.4 Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert 129 Bổ đề 5.4.15. Giả sử A PLpHq là một toán tử compact tự liên hợp trong không gian Hilbert H.Khi đó phổ củaA chính là tập tất cả các giá trị riêng củaA..

Chứng minh. Giả sửλ không phải là giá trị riêng củaA. Khi đó NpAλq t0u.Từ Bổ đề 5.4.14 và biểu diễn

HNpAλq `RpAλq RpAλq RpAλq ta thấyAλ là toàn ánh.

Vậy Aλ là song ánh và theo Nguyên lý ánh xạ mở, Aλ là phép đồng phôi. Như

thếλkhông phải là giá trị phổ của toán tửA.

Định lý 5.4.16. Cho H là một không gian Hilbert, A P LpHq là một toán tử compact tự liên hợp,tenu là hệ trực chuẩn đầy đủ các vectơ riêng củaAvàtλnulà dãy các giá trị riêng tương ứng. Khi đó nếuλ0 và λλn với mọi nthì với mọi yPH,phương trìnhAxλxy sẽ có một nghiệm duy nhấtxđược biểu diễn dưới dạng

x 1 λ

λn

λnλxy, enyeny .

Chứng minh. Vìλ0 vàλλn nên theo Bổ đề 5.4.15,λlà một giá trị chính quy củaA. Do đó toán tửpAλIq là một phép đồng phôi. Vậy với mọi y PH tồn tại duy nhấtxPH đểAxλxy.Theo Định lý 5.4.12 ta cúAxá

λnxx, enyen nên x 1

λ á

λnxx, enyeny . (5.23) Để ý rằng

λxx, eny xAxy, eny xAx, eny xy, eny.

Mặt khác

xAx, eny xx, Aeny xx, λneny λnxx, eny.

do đó λxx, eny λnxx, eny xy, eny hay xx, enypλnλq xy, eny.Suy ra xx, eny xy, eny

λnλ. Thay vào (5.23) ta có được đẳng thức cần chứng minh.

Trường hợp λtrùng với một trong các giá trịλn ta có định lý sau

Định lý 5.4.17. Cho H là một không gian Hilbert, A P LpHq là một toán tử compact tự liên hợp, tenu là hệ trực chuẩn đầy đủ các vectơ riêng của A và tλnu là dãy các giá trị riêng tương ứng. Khi đó nếu λ0 là một giá trị riêng có bội q:

λλm 1 λm q thì phương trình

Axλxy (5.24)

5.4 Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert 130 có nghiệm khi và chỉ khi y P NpAλqK. Lúc đó nếu x là nghiệm của phương trình (5.24)thì nó được biểu diễn dưới dạng

x 1 λ

λn

λnλxy, enyeny c1em 1 cnem q (5.25) trong đó tổng lấy theo tất cả cácnkhác với m 1, . . . , m q, cònc1, . . . , cm là các số tùy ý.

Chứng minh. Theo Bổ đề 5.4.14 và Định lý 1.4.1 ta có HNpAλq `RpAλq.

Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khiy PRpAλq. VìNpAλqK RpAλq nên điều này tương đương vớiyPNpAλqK.

Bây giờ giả sửx là nghiệm của phương trình (5.24). Khi đó x 1

λpAxyq 1 λ

λnxx, enyeny . Tương tự như trong chứng minh Đinh lý 5.4.17, ta có

pλnλqxx, eny xy, eny, với mọi n. (5.26) Do đó

xx, eny xy, eny λnλ

khi λn λ ( tức là n m 1, . . . , m q). Còn nếu n m k, k 1, . . . , q thì do xy, em ky 0, đẳng thức (5.26) trở thành 0.xx, eny 0. Do đó có thể chọn xx, eny cn,trong đó cn là các số tùy ý. Như vậy ta có được biểu diễn của nghiệm

x cho bởi công thức (5.25).

Chú ý 5.4.18. NếuyKNpAλq thì mọix có dạng (5.25) sẽ là nghiệm của phương trình (5.24). Bạn đọc có thể tự kiểm tra điều này bằng cách để ý rằng, nghiệm tổng quát của phương trình (5.24) bằng tổng của nghiệm tổng quát của phương trình Axλx0 và một nghiệm nào đó của phương trình (5.24). (Xem chứng minh chi tiết trong [1]).

Bài tập 131 BÀI TẬP

5.1. Cho x, ylà hai phần tử trong không gian HilbertH.Chứng minh |xx, yy|

}x}.}y}khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính.

5.2. Chứng minh không gian CLr0,1s gồm các hàm liên tục trên r0,1s là một không gian tiền Hilbert với tích vô hướng

xf, gy

ằ1

fpxqgpxqdx, f, gPCLr0,1s nhưng không phải là không gian Hilbert.

5.3. Cho txnu,tynu là hai dãy trong hình cầu đơn vị đóng của không gian tiền Hilbert H thỏa mãn điều kiện lim

nẹ8xxn, yny 1.Chứng minh rằng a)lim

nẹ8}xn} lim

nẹ8}yn} 1.

b) lim

nẹ8}xnyn} 0.

5.4. ChoM, N là hai tập con khác rỗng trong không gian tiền HilbertH.Chứng minh

a)M N ủNKMK. b) MKMK.

c)M M pMKqK.

d) NếuM là không gian con đóng củaH thìpMKqKM .

5.5. Giả sửH là một không gian Hilbert vàLPH, L0.Ký hiệu M txPH:Lx0u.

Chứng minh MK là không gian con một chiều củaH.

5.6. Giả sử L là một không gian con đóng của không gian Hilbert H và x PH.

Chứng minh

a)mint}xu}:uPLu maxt|xx, yy|:yPLK,}y} 1u.

b) Điều kiện cần và đủ để xPLK là }x} ¤ }xu}với mọiuPL.

5.7. Giả sửtenu là một hệ trực chuẩn trong không gian HilbertH.

a) Chứng minh rằng tenu là tập đóng, bị chặn nhưng không compact. Suy raH không compact địa phương.

Bài tập 132 b) Chotδnu là một dãy số dương và đặt

S txPH:x á8

cnen với |cn| ¤δnu.

Chứng minhS compact khi và chỉ khi

á8 n1

δ2 8.

5.8. Nếu Alà tập con đo được của r0,2πs,chứng minh

nlimẹ8

ằ

cosnxdx lim

nẹ8

ằ

sinnxdx0.

5.9. Giả sửHlà không gian Hilbert,Alà toán tử từHvàoHthỏa mãnxAx, yy xx, Ayy với mọix, yPH.Chứng minhA tuyến tính liên tục.

5.10. Giả sử tenu là một cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert H, Pnpxq

án k1

xx, ekyek, x P H, n 1,2, . . . là dãy các phép chiếu trực giao. Chứng minh tPnuhội tụ điểm đến toán tử đồng nhấtI trênH nhưng không hội tụ theo chuẩn đến I.

5.11. Giả sử tenu là một hệ trực chuẩn trong không gian HilbertH,tλnu là một dãy số bị chặn. Chứng minh

a) Chuỗi

á8 n1

λnxx, enyen hội tụ với mọixPH.

b) Toỏn tửAx á8

λnxx, enyen, xPHlà toán tử tuyến tính liên tục. Tính }A}.

5.12. Giả sử M là một khụng gian con của khụng gian Hilbert H vàA:M ẹY là một toán tử tuyến tính liên tục từ M vào không gian BanachY. Chứng minh rằng tồn tại một toỏn tử tuyến tớnh liờn tục Ar : H ẹ Y sao cho Ar

M A và } rA} }A}.

5.13. Giả sửM là một không gian con đóng của không gian HilbertH vàx là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trênM. Chứng minh rằng tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục duy nhất xrtrênH sao cho rx

M x và }rx} }x}.

5.14. Chứng minh rằng toỏn tửA:L2r0,1s ẹL2r0,1sxỏc định bởi cụng thức Axptq

ằt

xpsqds, tP r0,1s

là toán tử tuyến tính liên tục. Tìm toán tử liên hợpA củaA.

Bài tập 133

5.15. Tìm toán tử liên hợpA của toán tửA xác định bởi Axptq

ằt

txpsqds, tP r0,1s.

5.16. Giả sử H là không gian Hilbert, APLpHq là toán tử tự liên hợp. A được gọi là toán tử dương nếuxAx, xy ¥0với mọixPH.Chứng minh rằng phép chiếu trực giao lên không gian con đóng của một không gian Hilbert là một toán tử dương.

5.17. Cho tanu là một dóy số phức bị chặn và A : `2 ẹ `2 là một toỏn tử xỏc định như sau:

x pξnq P`2, Ax panξnq.

a) Chứng minhAPLp`2q.Tính}A}.

b) Xác định toán tử liên hợp A. Khi nào thì toán tửA tự liên hợp?

c) Hãy chọn a panq sao choA là toán tử có toán tử ngược liên tục; A là toán tử dương.

5.18. Giả sử tEnu là một dãy giảm các tập lồi, đóng trong không gian Hilbert H. Với mọi x P H, ta ký hiệu dnpxq là khoảng cách từ x đến En. Đặt dpxq

nlimẹ8dnpxq.

a) Chứng minh rằng nếu với ít nhất một x P H sao cho dpxq là hữu hạn thì dpxq hữu hạn với mọi x P H. Từ đây về sau ta giả thiết như vậy. Ký hiệu Apx, ε, nq EnXB1px, dpxq εq trong đó ε ¡ 0, B1px, dpxq εq là hình cầu đóng tâmx, bán kínhdpxq ε.

b) Chứng minh rằng khiεẹ0 vànẹ 8 thỡ đường kớnh củaApx, ε, nq tiến đến 0.

c) Từ đó suy raE X8n1En Hvàdpxq dpx, Eq.

5.19. Giả sửtenulà một cơ sở trực chuẩn trong không gian HilbertHvàAPLpHq là một toán tử compact. Chứng minh lim

nẹ8Apenq 0.

5.20. Giả sửH là một không gian Hilbert, APLpHqlà một toán tử tự liên hợp, λPC vàAλ AλI.Chứng minh rằng

a) Nếu RpAλq H thìλlà một giá trị riêng của A.

Toán tử liên hợp trong không gian Hilbert

Không gian con - không gian thương

Toán tử tuyến tính liên tục