Chương 1. Không gian định chuẩn 1
1.6 Không gian hữu hạn chiều - không gian khả ly
nlimẹ8Anxx,
tức là dãytAnu Lpcoqhội tụ đơn giản đến toán tử đồng nhất I.Tuy nhiên pIAnqx p0, . . . ,0, ξn 1, ξn 2, . . .q
do đó
}pIAnqx} sup
n 1¤i 8|ξi| ¤ }x}.
Vậy}IAn} ¤1.Mặt khác nếu lấyxo p0, . . . ,0,
n 1
p1 ,0, . . .q,ta cópIAnqxo xo. Suy ra }I An} ¥ 1. Vậy }IAn} 1 với mọi n P N. Điều này chứng tỏ tAnu không hội tụ theo chuẩn đếnI.
1.6 KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU - KHÔNG GIAN KHẢ LY
1.6.1 Không gian hữu hạn chiều.
Định lý 1.6.1. Tất cả các không gian định chuẩn n- chiều trên cùng một trường đều đồng phôi tuyến tính với nhau.
Chứng minh. Ký hiệuEn là không gianRn hay Cn với chuẩn Euclide }x}
án
i1
|ξi|2 1{2
px pξ1, . . . , ξnq PEnq.
Ta sẽ chứng minh mọi không gian định chuẩnn-chiều X đồng phôi với En (cụ thể là vớiRn nếu X thực; vớiCn nếu X phức).
Thật vậy, vì dimX n nên tồn tại cơ sở te1, . . . , enu X và mỗi x PX đều biểu diễn được dưới dạng
x
án i1
ξiei. (1.17)
Ta xỏc định ỏnh xạA:XẹEn như sau: với xPX cú dạng (1.17) Axx pξ1, . . . , ξnq PEn.
Khi đóA là song ánh tuyến tính từX lên En.Ta có }x}
án
i1
ξiei
Ô án
i1
|ξi|}ei} ¤ án
i1
}ei}2 1{2
. án
i1
|ξi|2 1{2
M}x} M}Ax}, (1.18)
1.6 Không gian hữu hạn chiều - không gian khả ly 41 trong đó M
án
i1
}ei}2 1{2
không phụ thuộc vào x P X. Suy ra toán tử ngược A1 liên tục (theo Định lý 1.5.8).
Xét mặt cầu đơn vị trongEn
Sp0,1q txPEn:}x}2
án i1
|ξi|2 1u.
Ta cóSp0,1qlà tập đóng và bị chặn trongEn nên nó là compact. Xét hàm số fpxq fpξ1, . . . , ξnq
án
i1
ξiei
}x}.
Hàmf xác định trên Sp0,1q và liên tục, vì do (1.18) ta có
|fpxq fpyq| }x} }y} ¤ }xy} ¤M}xy}.
Vì vậyf đạt cực tiểu tại xo PSp0,1q.Vì xo pξ1o, . . . , ξnoq 0 nên α fpxoq ¡0.
Như vậy nếu lấy}x} 1 thìfpxq }x} ¥α.
LấyxPX tùy ý vớiAxx0.Đặt y }Axx}. Khi đó yAy Ax
}Ax}. Vậy}y} 1 do đó }y} ¥α,hay }Ax} ¤α1}x}.
Bất đẳng thức này cũng đúng nếu Ax0. Vì vậy toán tửA liên tục.
DoEn là không gian Banach nên từ định lý này ta có
Hệ quả 1.6.2. Tất cả các không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều là không gian Banach.
Hệ quả 1.6.3. Tất cả các chuẩn trên một không gian hữu hạn chiều đều tương đương.
Hệ quả 1.6.4. Giả sửE là không gian định chuẩn,F là không gian con tuyến tính hữu hạn chiều củaE. Khi đóF là tập con đóng trong E.
Chứng minh.VìF là không gian con đầy đủ của không gian mêtricE nênF là một
tập đóng.
Định lý 1.6.5. (Riesz) Để không gian định chuẩnX là compact địa phương, điều kiện cần và đủ làX hữu hạn chiều.
1.6 Không gian hữu hạn chiều - không gian khả ly 42 Chứng minh. a)Điều kiện cần.Giả sử dimX 8.Khi đó, bởi Định lý 1.6.1 và Hệ quả ??X đồng phôi tuyến tính với không gian compact địa phương En.Do đó X là compact địa phương.
b) Điều kiện đủ.Giả sửdimX 8.Trước hết ta chứng minh hình cầu đơn vị Sp0,1q txPX:}x} ¤1u
không compact.
Thật vậy, lấy xo P X với }xo} 1. Vì X không trùng với không gian con một chiều xxoy sinh bởi xo, theo Hệ quả 1.6.4 thìxxoy là không gian con đóng của X.
Theo Hệ quả 1.4.3 tồn tại x1 PX với}x1} 1,}x1xo} ¡ 12.
Ta lại cóX không trùng với không gian con sinh bởixo vàx1,cho nên cũng theo hệ quả trên tồn tạix2 PX với}x2} 1,}x2xo} ¡ 1
2,}x2x1} ¡ 1
2. Cứ tiếp tục quá trình này ta được dãytxnu Sp0,1qvới }xnxm} ¡ 1
2 khinm.Suy ra dãy txnukhông có dãy con nào hội tụ do đó hình cầu Sp0,1qkhông compact.
Vớiλ0,cố định, ỏnh xạ vị tựxịẹλx là một phộp đồng phụi của khụng gian Xlên chính nó. Từ đó suy ra mọi hình cầuSp0, rqđều không compact, tức là không tồn tại lân cận compact của0 và vì vậyX không compact địa phương.
Định lý 1.6.6. (Arzela - Ascoli) Nếu X là một không gian mêtric compact và E CpXq với chuẩn “sup”. Khi đó tập con K của E là compact khi và chỉ khi nó đóng, bị chặn và đồng liên tục (có nghĩa là, với mọi ε¡0 tồn tại δ¡0 sao cho với mọi xPK và mọis, tPX với dps, tq δ ta có |xpsq xptq| ε).
Định lý 1.6.7. Giả sửE là không gian định chuẩn hữu hạn chiều,F là không gian định chuẩn tựy ý vàA:E ẹF là một ỏnh xạ tuyến tớnh từEvàoF.Khi đúA liờn tục.
Chứng minh. Giả sử te1, . . . , enu là một cơ sở trong E. Theo Định lý 1.6.1 có thể giả thiết rằng chuẩn trongE được xác định bởi công thức
}x} }ξ1e1 ξnen} sup
1¤i¤n|ξi|.
Khi đó ta có
AxApξ1e1 ξnenq ξ1Ae1 ξnAen
do đó
}Ax} ¤
án i1
|ξi|.}Aei} ¤ án
i1
}Aei}
. sup
1¤i¤n|ξi| án
i1
}Aei}
.}x}.
Vì vậy Aliên tục.
1.6 Không gian hữu hạn chiều - không gian khả ly 43 1.6.2 Tập toàn vẹn
Định nghĩa 1.6.1. Một tập con A của một không gian định chuẩn E được gọi là toàn vẹn nếu tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn củaA trù mật trong E.Ta nói rằngtanu E làdãy toàn vẹn nếu tập các phần tử của dãy là toàn vẹn.
Định lý 1.6.8. Một toán tử tuyến tính Aliên tục trên một không gian định chuẩn E hoàn toàn được xác định khi biết ảnh của nó trên một tập con toàn vẹnM của E.
Chứng minh. Gọi D là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của M. Khi đó Dlà không gian con của E.Theo giả thiết DE.Nếu B là một ánh xạ tuyến tính liên tục bất kỳ trênE sao choB
M A
M thìB
D A
D vì chúng là ánh xạ tuyến tính. Khi đóC BAlà một ánh xạ tuyến tính liên tục vàC
D 0.Bởi vì C1p0q là đóng và chứaD nênC1p0q E.Từ đóC0hay AB.
1.6.3 Không gian khả ly
Ta nhớ lại rằng một không gian tôpô được gọi là khả ly nếu nó có một tập con đếm được trù mật.
Không gian Kn là khả ly, do đó mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều khả ly. Nói khác đi, nếu E có một tập toàn vẹn độc lập tuyến tính hữu hạn thì nó khả ly. Ta có kết quả tổng quát sau.
Định lý 1.6.9. Không gian định chuẩn E khả ly nếu và chỉ nếu trong E tồn tại một dãy (hữu hạn hoặc vô hạn) toàn vẹn, độc lập tuyến tính.
Chứng minh.Giả sửtanulà một dãy toàn vẹn, độc lập tuyến tính trongE.Ký hiệu Llà không gian các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của tậptanu.GọiDlà tập gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn với hệ số hữu tỷ (ta gọi số phứcα iβ là hữu tỷ nếu α, β là các số hữu tỷ). Ta đã biếtD là đếm được. Để chứng minh D trù mật trongE ta chỉ cần chứng minhD trù mật trongL.
Lấy tùy ý x
án i1
λiai PL.Khi đó
}pλ1a1 λnanq pr1a1 rnanq} ¤
án i1
|λiri|}ai}.
Với mọiε¡0,chọn các số hữu tỷri để |λiri| nMε , ở đây M sup
1¤i¤n}ai}.Đặt y
án i1
riai.Ta cóxPDvà}xy} ε.Vậy D trù mật trongL.
1.6 Không gian hữu hạn chiều - không gian khả ly 44 Bây giờ ta giả sửE khả ly. Giả sử D tanu là tập trù mật trong E. Lấyk1 là chỉ số nhỏ nhất đểak1 0.Giả sử ta đã chọn đượcak1, . . . , akn1,ta chọnakn bằng cách sau: kn là số nhỏ nhất lớn hơn kn1 sao cho akn không là tổ hợp tuyến tính củaak1, . . . , akn1.Ta nhận được dãyakn gồm các phần tử độc lập tuyến tính trong E.Vì tổ hợp tuyến tính của các phần tử này chứaD,do đó dãy là toàn vẹn.
Mệnh đề 1.6.10. a) Nếu pP r0,8qthì không gian`p khả ly.
b) Các không gianc vàco khả ly.
c) Không gian`8 không khả ly.
Chứng minh. a) Xét trong `p họ F lập bởi tất cả các vectơ có giá hữu hạn với các hệ số hữu tỷ. Khi đó F đếm được. Ta sẽ chứng tỏ F trù mật trong `p. Cho trước x P `p và ε ¡ 0. Chọn no P N sao cho
á8 ino
|xi|p ¤ εp
2 và khi đó tìm được các số vô tỷ r1, r2, . . . , rno1 sao cho |xi ri|p ¤ 2nεpo với i 1, . . . , no. Khi đó s pr1, r2, . . . , rno1,0, . . .q thuộc F và
}sx}pp
náo1 i1
|xir2|p
náo1 i1
|xi|p ¤
náo1 i1
εp 2no
εp 2 εp. Như vậyF trù mật trong `p.
b) Việc chứng minh tính khả ly củaco tương tự như a). Trường hợp không gian cta chỉ cần có một điều chỉnh nhỏ trong chứng minh trên. Cụ thể, ta định nghĩa họ F là họ các vectơ với hệ số hữu tỷ sao cho bắt đầu từ lúc nào đó tất cả hệ số của vectơ là bằng hằng số.
c) Giả sử `8 khả ly và gọiD là tập con trù mật trong `8. Số bản số của họ F tất cả các tập con của N là bản số của tập contunum c, đặc biệt, nó không đếm được. Với mỗiF PF ký hiệu χF là hàm đặc trưng của F trong N.NếuF1, F2 PF và F1 F2 thì }χF1 χF2}8 ¥ |χF1pnq χF2pnq| 1 với n nào đó thuộc F1zF2 hoặcF2zF1. Với mỗi F PF chọn dF PDsao cho }χF dF} 14.Nếu F1 F2 thì }dF1 dF2}8 ¡ 14.Thật vậy, nếu nếu ta có}dF1dF2}8¤ 14 thì
}χF1χF2}8Ô }χF1dF1}8 }dF1 ỉF2}8 }dF1 χF2}8Ô 3 4 1, điều này mõu thuẫn. Như vậy ỏnh xạF ịẹdF là một - một và ỏnh xạ một tập khụng đếm được thành tập đếm được. Điều này là không thể. Như vậy`8 không khả ly.
Bài tập 45 BÀI TẬP
1.1. ChoX là không gian vectơ trên trườngK.Giả sử với mỗi xPX cho tương ứng một số thực, ký hiệu }x}thỏa mãn các điều kiện sau:
a)}x} ¥0, @xPX.
b) }x} 0ôx0.
c)}αx} |α|}x} @αPK,@xPX.
d) B txPX,}x} 1u là một tập lồi trongX.
Chứng minh rằng }.} là một chuẩn trongX.
1.2. Giả sử A, B là các tập con trong không gian định chuẩn E. Chứng minh rằng
a) NếuA mở thì A B mở.
b) NếuA vàB compact thì A B compact.
c) NếuA compact,B đóng thìA B đóng.
d) Tồn tại các tập con đóng A vàB màA B không đóng.
1.3. Giả sửA, B là các tập con trong không gian định chuẩnE.
a) Chứng minh rằng nếu A compact,B đóng và bị chặn thì convpAYBq là tập đóng.
b) Nếu Acompact,B đóng thì convpAYBq có đóng không?
c) Nếu E là không gian Banach và A, B là các tập lồi compact, hãy chứng tỏ rằng convpAYBq là tập compact.
1.4. Giả sửT là một tập hợp,BpTq là tập hợp các hàm số bị chặn trênT. a) Chứng minh rằngBpTq là một không gian tuyến tính với phép cộng và phép
nhân vô hướng xác định như sau: Nếux, yPBpTq vàλPRthì px yqptq xptq yptq,
pλxqptq λxptq, tPT.
b) Chứng minh rằng
BpTq Qxịẹ }x} sup
tPT
|xptq|
là một chuẩn trênBpTq.
Bài tập 46 Chú ý rằng, không gian`8 chính là không gian BpTq vớiT N.
1.5. Chứng minh rằng không gianCra, bslà đầy đủ với chuẩn }x}1 max
tPra,bs|xptq|
nhưng không đầy đủ với chuẩn}x}2
ằb
a
|xptq|dt.Từ đó suy ra hai chuẩn trên là không tương đương.
chuỗi
1.6. Chuỗi
á8 n1
xn trong không gian BanachE được gọi là hội tụ giao hoán hay cũn gọi là Cauchy khụng điều kiện nếu mọi song ỏnh σ :Nẹ N chuỗi
á8 n1
xσpnq hội tụ. Chứng minh rằng
a) Một chuỗi hội tụ tuyệt đối là hội tụ giao hoán.
b) Để chuỗi
á8 n1
xn hội tụ giao hoán cần và đủ là mọi ε¡0 tồn tại tập con hữu hạnJ củaNsao cho mọi tập con hữu hạnH NzJ đều xảy ra á
nPH
xn ε.
Hãy chứng tỏ giới hạn của một chuỗi hội tụ giao hoán không phụ thuộc vàoσ.
1.7. Giả sử A là một ánh xạ từ không gian định chuẩn thực E vào không gian định chuẩn thực F thỏa mãnApx yq Ax Ay với mọix, yPE vàA bị chặn trên hình cầu đơn vị Bp0,1q E.Chứng minh rằngA là toán tử tuyến tính liên tục.
1.8. Giả sửA là một ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩnE vào không gian định chuẩnF.Chứng minh rằng nếu mọi dãy txnu E, lim
nẹ8xn0 đều cú tAxnu bị chặn trong F thìA liên tục.
1.9. Chứng minh rằng các ánh xạ sau đây là các toán tử tuyến tính bị chặn và tính chuẩn của chúng.
a)A:Cr0,1s ẹCr0,1s, pAxqptq
ằ1
0
xpsqds;
b) A:Cr1,1s ẹCr0,1s, pAxqptq xptq, tP r0,1s; c)A:Cr0,1s ẹCr0,1s, pAxqptq t2xp0q;
d) A:Cr0,1s ẹCr0,1s, pAxqptq xpt2q; e)A:C1r0,1s ẹCr0,1s, pAxqptq xptq; f) A:C1ra, bs ẹCra, bs, pAxqptq x1ptq;
Bài tập 47
1.10. Giả sử ϕ P Cr0,1s, và Φ : Cr0,1s ẹ Cr0,1s là ỏnh xạ xỏc định bởi Φpfqptq fptqϕptq với mọif PCr0,1s.Chứng minh rằngΦ tuyến tính, liên tục.
Xác định }Φ.}
1.11. Giả sử X txPCr0,1s:xp0q xp1q 0uvà ỏnh xạ A:XẹX xỏc định bởi
pAxqptq t2xptq, với mọixPX, tP r0,1s. a) Chứng minh rằng X là không gian con Banach của Cr0,1s.
b) Chứng minh rằng A là ánh xạ tuyến tính liên tục. Tính}A}. c)A có đơn ánh, toàn ánh?
1.12. Trong không gian định chuẩn X Cr0,1svới chuẩn "sup", xét dãy toán tử An:X ẹX được cho bởi
pAnxqptq xpt1 n1q, nPN. a) Chứng minh rằng AnPLpXq.
b) Chứng minh rằng với mọi xPX thì lim
nẹ8Anxx trongX.
c)An có hội tụ trong LpXq đến toán tử đồng nhấtidI hay không?
Chương 2
CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN
2.1 Định lý Hahn-Banach . . . . 48 2.2 Nguyên lý ánh xạ mở - Định lý đồ thị đóng . . . . 55 2.3 Nguyên lý bị chặn đều . . . . 60 Bài tập . . . . 62
2.1 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH
Cho một phiếm hàm tuyến tính f trên một không gian conM (tức là một toán tử tuyến tính từ M vào trường K) của một không gian tuyến tính E. Nếu có một phiếm hàm tuyến tínhfptrên E và trùng vớif trên M thì ta nói fplà “thác triển"
củaf trênE.Trong nhiều vấn đề người ta muốn thác triểnf lênE sao cho vẫn giữ được một số tính chất nào đó vốn có (chẳng hạn, tính liên tục) của f. Trong các lĩnh vực toán học, vấn đề này thường gặp dưới nhiều hình thức khác nhau. Định lý Hahn-Banach nhằm giải quyết vấn đề đó. Đây là một trong những mệnh đề trung tâm của giải tích hiện đại. Chứng minh nó người ta dựa vào một tiên đề gọi là tiên đề Zorn.
2.1 Định lý Hahn-Banach 49 2.1.1 Tiên đề Zorn. Sơ chuẩn. Nửa chuẩn
Giả sử X là một tập hợp và ¤ là một quan hệ thứ tự (bộ phận) trênX, tức là với mọix, y, zPX ta có
Tính phản xạ: x¤x;
Tớnh phản đối xứng: xÔy, yÔxủxy;
Tớnh bắc cầu: xÔy, yÔzủxÔz.
Một tập conAX được gọi làsắp tuyến tính nếu mọi x, yPA thì hoặc x¤y hoặc y ¤ x. Phần tử aP X được gọi là cận trên củaA nếu x ¤a với mọi x PA.
Phần tử a P X được gọi là phần tử cực đại của X nếu mọi x P X mà a ¤ x thì xa.
Bổ đề 2.1.1. (Zorn) Giả sử X H vठlà một thứ tự trên X. Nếu mọi tập con được sắp tuyến tính củaX đều có cận trên thì trongX có phần tử cực đại.
Đây là một trong những tiên đề cơ bản của toán học hiện đại, tương đương với mệnh đề thường gọi làtiên đề chọn của Zermelo 1.
Giả sửE là một khụng gian vectơ và p:E ẹRlà một hàm thực.
Định nghĩa 2.1.1. p được gọi làsơ chuẩn nếu 1)ppλxq λppxq với mọiλ¥0, xPE;
2)ppx yq ¤ppxq ppyq với mọix, yPE.
Định nghĩa 2.1.2. p được gọi lànửa chuẩn nếu 1)ppxq ¥0 với mọixPE;
2)ppλxq |λ|ppxq với mọiλPK, xPE;
3)ppx yq ¤ppxq ppyq với mọix, yPE.
Rõ ràng một chuẩn là một nửa chuẩn và một nửa chuẩn là một sơ chuẩn. Bạn đọc có thể dễ dàng kiểm tra kết quả sau
Bổ đề 2.1.2. Nếup là một nửa chuẩn trên không gian vectơE thì với mọix, yPE ta có
|ppxq ppyq| ¤ppxyq.
1Tiên đề Zorn được sử dụng rộng rãi trong giải tích hiện đại. Tuy có một số nhà toán học không muốn chấp nhận nó, nhưng, như Godel đã chứng minh, nếu toán học không mâu thuẫn khi không có tiên đề này thì nó vẫn không còn mâu thuẫn khi thêm tiên đề này. Thành thử những định lý dựa trên tiên đề này không thể bị phản bác được, trừ khi toán học vốn đã chứa mâu thuẫn không liên quan đến nó.
2.1 Định lý Hahn-Banach 50 Bổ đề 2.1.3. Nếupvàq là các nửa chuẩn trên không gian vectơE và nếuppxq ¤1 kéo theoqpxq ¤1 thìqpxq ¤ppxq với mọixPE.
Chứng minh. Giả sử ngược lại, khi đó tồn tạix PE và C ¡0 sao cho qpxq ¡C ¡ ppxq.Đặty x
C. Khi đóppyq 1nhưngqpyq ¡1.Ta gặp mâu thuẫn.
2.1.2 Phiếm hàm tuyến tính liên tục.
Định nghĩa 2.1.3. Giả sử E là một không gian định chuẩn trên trường K. Toán tử tuyến tớnh f :E ẹK được gọi làphiếm hàm tuyến tớnh xỏc định trờnX.
Những định lý cho các ánh xạ tuyến tính tổng quát chuyển thành những định lý sau đây cho các phiếm hàm tuyến tính.
Định lý 2.1.4. Giả sử f là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian định chuẩnE.Các mệnh đề sau là tương đương:
(i) f liên tục trênE; (ii) f liên tục tạixoPE;
(iii) f liên tục tại0PE;
(iv) DM ¡0,@xPE :|fpxq| ¤M}x}.
Số M nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên được gọi làchuẩn của phiếm hàm tuyến tính liên tục f và được ký hiệu là }f}.Như vậy với mọi xPE ta có
|fpxq| ¤ }f}.}x} và rõ ràng
}f} sup
x0
|fpxq|
}x} sup
}x}¤1
|fpxq| sup
}x}1
|fpxq|.
Định lý 2.1.5. (Suy rộng phiếm hàm tuyến tính liên tục)Giả thiết
(a) E là không gian tuyến tính định chuẩn, M là một không gian con tuyến tính củaE trù mật trong E;
(b) f :M ẹF là phiếm hàm tuyến tớnh liờn tục.
Khi đó tồn tại duy nhất một phiếm hàm tuyến tính liên tụcfrxác định trênE suy rộng củaf, tức làfrpxq fpxq với mọixPM và } rf} }f}.
2.1 Định lý Hahn-Banach 51 ChopX,}.}qlà không gian định chuẩn. Ta ký hiệuX là không gian vectơ tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X, trang bị chuẩn đối ngẫu chính tắc xác định bởi }f} sup
xPBX
|fpxq|.Khi đó không gian định chuẩn X được gọi là không gian đối ngẫu hay không gian liên hợp củaX.
2.1.3 Định lý Hahn - Banach
Định lý Hahn-Banach được trình bày chủ yếu dưới hai dạng: dạng thác triển phiếm hàm và dạng hình học. Định lý Hahn-Banach dạng thác triển phiếm hàm tuyến tính liên quan chặt chẽ đến khái niệm hàm lồi và tập lồi, trong khi đó định lý dưới dạng hình học đề cập đến việc tách các tập lồi bởi các siêu phẳng. Tuy nhiên định lý này được dùng dưới khá nhiều các biến thể khác nhau, chẳng hạn như định lý Krein, định lý Mazur- Eldeheit, v.v... Ở đây chúng tôi trình bày định lý dưới dạng thác triển, còn một số vấn đề liên quan đến hình học được đưa ra như các hệ quả.
Định lý 2.1.6. (Định lý Hahn - Banach cho không gian vectơ thực) Giả sử E là một không gian vectơ thực,p là một sơ chuẩn xác định trênE.Nếuf là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian con F củaE thỏa mãn fpxq ¤ ppxq với mọi xPF thì tồn tại phiếm hàm tuyến tính frxác định trên E sao cho fr
F f và fpxq ¤r ppxq với mọixPE.
Chứng minh. Ta gọi một “mở rộng” củaf là một phiếm hàm tuyến tính g xác định trên một không gian conDgF và sao cho
a)gpxq fpxq khixPF; b) gpxq ¤ppxq khi xPDg.
Gọi F là tập hợp tất cả các mở rộng của f. Vì f P F nên F H. Ta xác định một quan hệ thứ tự bộ phận trongF như sau: nếu g1, g2 PF thì g1 ¤g2 nếu Dg1 Dg2 vàg1pxq g2pxq khixPDg1.
Giả sửA là một tập con được sắp tuyến tính của F.Tập hợp
D ¤
gPA
Dg
rừ ràng là một khụng gian vectơ con củaEvớiD F.Ta xỏc định hàmg :DẹR bằng cách: NếuxPD thì tồn tạigPA để xPDg.Ta đặt gpxq gpxq.Nếu cũng có x PDg1 thì do A được sắp tuyến tính nên g ¤g1 hoặc g1 ¤g. Vìx PDgXDg1
nêngpxq g1pxq.Vậy hàmg xác định đúng đắn. Dễ kiểm traglà một phiếm hàm tuyến tính trênD.Hiển nhiên gpxq ¤ppxq với mọixPD nên g PA vàg¤g với mọigPA.Vậy g là cận trên của A.
2.1 Định lý Hahn-Banach 52 Từ đú tồn tại trong F một phần tử cực đại fr:D ẹ R.Để hoàn thành chứng minh ta sẽ chỉ ra DE.
Giả sử ngược lại, tồn tại xoPEzD.Xét không gian conDr sinh bởixo vàD,tức làDr tzx λxo, λPR, xPDu.
Lấyx, x1 PD.Từ tính chất của frvàp ta suy ra rằng
frpxq rfpx1q rfpxx1q ¤ppxx1q ppx xox1xoq ¤ppx xoq ppx1xoq hay
ppx1xoq rfpx1q ¤ppx xoq rfpxq. Vìx, x1 tùy ý trongDnên
sup
xPDtppxxoq rfpxqu ¤ inf
xPDtppx xoq rfpxqu (2.1) và cả hai số trên đều hữu hạn. ĐặtC sup
xPDtppxxoq rfpxqu.
Xỏc định hàm h:Dr ẹRbởi hpx λxoq rfpxq λC với mọiλPR, xPD.Rừ ràng h là phiếm hàm tuyến tính và hpxq rfpxq với mọi x PD.Ta sẽ chứng minh hpx λxoq ¤ppx λxoqvới mọi λPR, xPD.
Nếuλ0thì hpxq rfpxq ¤ppxqvới mọi xPD.
Nếuλ¡0thì do (2.1) hpx λxoq rfpxq λC λ
C fr
x λ
¤λ
p x
λ xo rf x
λ fr x
λ
λ
p x
λ xo
ppx λxoq
với mọixPD. Cuối cựng, nếuλ à 0,để ý rằngC inf
xPDtppxxoq rfpxqu, ta có
hpx λxoq rfpxq àC à fr
x
à C Ôà
p x
àxo rf x
à fr x
à
àp x
àxo ppxàxoq ppx λxoq.
Như vậy hpxq ¤ppxq với mọi x P rD.Điều đó chứng tỏ h PF. Bởi vì fr¤ h và frh ta gặp mâu thuẫn vì frcực đại. Vậy ta phải có DE.
Mỗi không gian vectơ phức E đều có thể coi là một không gian vectơ thực (với phộp nhõn vụ hướngRE ẹE là thu hẹp của phộp nhõn vụ hướng CEẹE).
Ta gọi một phiếm hàm tuyến tính thực trên không gian phứcE là một phiếm hàm tuyến tính trênE nếu coiE là không gian thực nói trên. Nói cách khác, đó là hàm f :E ẹRthỏa mónfpαx βyq αfpxq βfpyqvới mọi x, yPE, α, βPR.