Chương 2. Các nguyên lý cơ bản 48
2.2 Nguyên lý ánh xạ mở - Định lý đồ thị đóng
Hệ quả 2.1.11. Giả sửF là một không gian vectơ con đóng của không gian định chuẩnE và xo RF.Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trênE sao cho
fpxoq 1 và fpyq 0 với mọiyPF.
Chứng minh.Vì F là đóng và xo RF nên tồn tại một hình cầuSpxo, rq nằm ngoài F,do đódpxo, Fq ¥r ¡0,và sau đó ta áp dụng Hệ quả 2.1.10.
Hệ quả 2.1.12. Với mọi vectơ zo 0 của không gian định chuẩn E đều tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tụcf xác định trênE sao cho
}f} 1, fpzoq }zo}.
Chứng minh. Chỉ việc áp dụng Hệ quả 2.1.11 với F t0u, xo }zo
zo}.
2.2 NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ MỞ - ĐỊNH LÝ ĐỒ THỊ ĐÓNG
Bên cạnh định lý Hanh-Banach, một nguyên lý quan trọng khác của giải tích hàm là định lý ánh xạ mở của Banach.
Một công cụ cơ bản để chứng minh định lý này là định lý Baire về phạm trù liên quan đến tính đầy đủ của không gian.
2.2.1 Định lý Baire về phạm trù
Định nghĩa 2.2.1. Giả sửXlà một không gian mêtric vàAlà tập con củaX.Tập Ađược gọi làkhông đâu trù mật trong X nếu intA Htrong X.
Định nghĩa 2.2.2. X được gọi là thuộc phạm trù thứ nhất nếu X viết được dưới dạngX 8
n1
An trong đó các An là tập không đâu trù mật trongX. Không gian X không thuộc phạm trù thứ nhất được gọi là thuộcphạm trù thứ hai.
Định lý 2.2.1. (Định lý Baire về phạm trù)Mọi không gian mêtric đầy đủ đều thuộc phạm trù thứ hai.
2.2 Nguyên lý ánh xạ mở - Định lý đồ thị đóng 56 Chứng minh. Giả sửtAnu là một dãy các tập không đâu trù mật trong không gian mêtricX.Ta sẽ chứng tỏ 8
n1
AnX. Bởi vìA1Xvà nó có phần trong bằng rỗng nên tồn tạix1 PXzA1 và hình cầu B1 tâm x1,bán kính 1sao cho B1XA1 H. DoA2 có phần trong bằng rỗng nên tồn tạix2 PB1zA2 và hình cầuB2 tâmx2,bán kính 1{2 sao cho B2XA2 H. . . . DoAn có phần trong bằng rỗng nên tồn tại xn PBn1zAn và hình cầu Bn tâm xn, bán kính 1{n sao cho BnXAn H. . . . Bởi vỡtxnu là dóy Cauchy nờn xn ẹ aP X. Do aP Bn với mọi n nờn aRAn với mọi n,nghĩa là aPXz8
n1
An.
2.2.2 Nguyên lý ánh xạ mở
ChoE vàF là hai khụng gian mờtric. Một ỏnh xạf :E ẹF được gọi làmở tại điểm xPE nếu nó biến mỗi lân cận của xthành một lân cận của fpxq. Ánh xạ đó được gọi là mở nếu nó mở tại mọi điểm trong E;điều này xảy ra khi và chỉ khi f biến một tập mở trongE thành một tập mở trong F.
Để ý rằng một ánh xạ liên tục không nhất thiết là mở. Nguyên lý ánh xạ mở cho ta một số điều kiện để một ánh xạ liên tục là mở. Ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.2. Giả sửA:E ẹF là một toàn ỏnh tuyến tớnh liờn tục từ khụng gian BanachE lên không gian BanachF.Khi đó tồn tại một số dươngδ sao cho
Bp0, δq tyPF : }y} δu ApBq,
trong đóApBq là ảnh của hình cầu đơn vị mở B txPE :}x} 1u. Chứng minh. Với mỗi i0,1, . . . đặt
Bi txPE :}x} 2iu. Rõ ràng B0 B. Vì A toàn ánh và 8
n1
nB1 E nên F ApEq 8
n1
nApB1q.Vì F đầy đủ nên theo định lý Baire về phạm trù, tồn tại no sao cho noApB1q có phần trong khỏc rỗng. Bởi vỡ ỏnh xạx ịẹ nox là phộp đồng phụi F lờn F nờn ApB1q cú phần trong khác rỗng. Từ đó tồn tạiv PF và sốδ ¡0 sao cho
Bpv,2δq tyPF :}yv} 2δu ApB1q hay
Bp0,2δq tyPF :}y} 2δu ApB1q v.
2.2 Nguyên lý ánh xạ mở - Định lý đồ thị đóng 57 Ta chứng minh rằng
Bp0,2δq 2ApB1q.
Thật vậy, với u P Bp0,2δq ta xét u v. Ta có }u vv} 2δ. Suy ra u v P Bpv,2δq ApB1q. Như vậy tồn tại tuiu,tviu B1 để cho u v lim
iẹ8Aui và v lim
iẹ8Avi.Ta cú
}uivi} ¤ }ui} }vi} 1{2 1{21.
Suy ra uivi PB và u lim
iẹ8Apuiviq. Từ đú y P ApBq 2ApB1q. Chỳ ý đến tính tuyến tính củaA ta có
Bp0, δ{2n1q tyPF :}y} δ{2n1u ApBnq với n1,2, . . .
Giả sử yPBp0, δq tùy ý. Vìy PApB1q nên tồn tại x1 PB1 để }yAx1} δ{2, tức là yAx1 P Bp0, δ{2q. Lại do yAx1 P ApB2q nên tồn tại x2 P B2 sao cho }yAx1Ax2} δ{4. Tiếp tục quá trình này với mọi i ta tìm được xi P Bi sao cho với moin
y
án i1
Axi δ 2n. Điều này chứng tỏ chuỗi
á8 i1
Axi hội tụ và
á8 i1
Axiy.
Vìxi PBi nên}xi} 2i,từ đó
á8 i1
xi hội tụ tuyệt đối. Đặt
á8 i1
xix.DoAliên tục nên điều này cho ta
á8 i1
Axi Ax. Giới hạn của chuỗi trong không gian định chuẩn là duy nhất nênAxy.Ta còn phải chỉ raxPB,nhưng điều đó là đúng vì
}x} lim
nẹ8án
i1
xi Ô á8
i1
}xi} á8
i1
2i 1.
Định lý 2.2.3. (Nguyên lý ánh xạ mở)Một toàn ánh tuyến tính liên tục A từ một không gian Banach E lên một không gian BanachF là mở, tức là với mọi tập mở U E thìApUq là tập mở trongF.
Chứng minh. Giả sử U là mở trong E. Lấy tùy ý v P ApUq, ta cần chỉ ra tồn tại r¡0 sao choBpv, rq ty PF : }yv} ru ApUq.Vì U là tập mở nên tồn tại ε¡0 sao choSpu, εq txPE : }xu} εu U,ở đây u PU là phần tử để cho Auv. Theo Bổ đề 2.2.2 tồn tạiδ ¡0 đểBp0, δq ApBq.
2.2 Nguyên lý ánh xạ mở - Định lý đồ thị đóng 58 Bây giờ ta sẽ chứng tỏ rằngrεδlà số muốn tìm. Thật vậy, giả sửyPBpv, rq F.Vì}ε1pyvq} ε1}yv} ε1δεδ nên ε1pyvq PBp0, δq ApBq.Cho nên tồn tạizPBđểAzε1pyvq.Đặtxεz u,ta có}xu} }εz} ε}z} ε, nghĩa làxPSpu, εq U.Bởi vì
AxApεz uq εAz Auεε1pyvq vy
nên ta cóy PApUq.
Hệ quả 2.2.4. (Định lý Banach) Nếu A là song ánh tuyến tính liên tục từ một không gian BanachE lên một không gian BanachF thì A là phép đồng phôi.
Chứng minh. Lấy tập mởU tùy ý trong E.Vì ánh xạ A là mở nênpA1q1pUq
ApUq là mở. Vậy A1 liên tục.
Hệ quả 2.2.5. NếuE là một không gian Banach thì mọi chuẩn trênE làm choE trở thành một không gian Banach mà so sánh được với chuẩn xuất phát đều tương đương với nhau.
Chứng minh. Ký hiệu Ep là khụng gian E với chuẩn p. Khi đú IE :E ẹ Ep hoặc IE :Ep ẹE liờn tục tựy theopyếu hơn hay mạnh hơn chuẩn xuất phỏt. Theo Định
lý Banach 2.2.4 thìIE là phép đồng phôi.
2.2.3 Không gian tích và đồ thị của ánh xạ
Giả sử X và Y là hai không gian định chuẩn trên cùng một trường số. Trong tích DescarteXY ta có thể xác định được các phép toán tuyến tính
px1, y1q px2, y2q px1 x2, y1 y2q; λpx, yq pλx, λyq và chuẩn2
}px, yq} }x} }y}. () Khi đó có thể thử lại dễ dàng rằngXY là một không gian định chuẩn. Bên cạnh chuẩn đã nêu cũng có thể xác định chuẩn bởi các công thức
}px, yq} maxt}x},}y}u hoặc }px, yq} p}x}p }y}pq1{p vớip¥1.
Nhưng ta có thể dễ dàng kiểm tra rằng tất cả các chuẩn này đều tương đương nhau, vì vậy ở đây ta sẽ chỉ sử dụng chuẩn ().
2Giả sửd1, d2là các mêtric sinh bởi các chuẩn trênX, Y tương ứng. Thông thường trênXY ta xác định mêtricdcho bởidppx1, y1q,px2, y2qq d1px1, x2q d2py1, y2qvới mọix1, x2PX, y1, y2PY.
Khi đó rõ ràng chuẩnpqsinh ra mêtricd.
2.2 Nguyên lý ánh xạ mở - Định lý đồ thị đóng 59 Định lý 2.2.6. NếuX vàY là những không gian Banach thì XY cũng là một không gian Banach.
Chứng minh định lý này chúng tôi dành cho bạn đọc.
Giả sử X và Y là hai không gian định chuẩn, D là một không gian tuyến tính con củaX vàA:DẹY là một ỏnh xạ tuyến tớnh. Khi đú ta gọi tập hợp
GA tpx, Axq:xPDu
làđồ thị của ánh xạ A.Rõ ràng GA là một không gian tuyến tính con của XY nhưngGAcó thể là một tập hợp đóng hay không đóng.
Ánh xạ tuyến tínhA được gọi là đóng nếu đồ thịGAcủa nó là một tập đóng.
Định lý 2.2.7. NếuA là ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩnX vào không gian định chuẩnY thì A là ánh xạ đóng.
Chứng minh. Ta cần chứng minh đồ thị GAcủaA là tập con đóng trong XY.
Lấy tựy ý dóytpxn, Axnqu GAvớipxn, Axnq ẹ pxo, yoq PXY.Ta cần chỉ ra pxo, yoq PGA.Bởi vỡ}xnxo} }Axnyo} ẹ0nờn}xnxo} ẹ0hayxnẹxo.Do Aliờn tục nờn AxnẹAxo.Mặt khỏc, ta cũng cú}Axnyo} ẹ0tức làAxnẹyo. Vì giới hạn của một dãy là duy nhất nênpxo, yoq pxo, Axoq PGA. 2.2.4 Định lý đồ thị đóng
Như đã biết, ánh xạ ngược của một song ánh tuyến tính liên tục có thể không liên tục và do đó một song ánh tuyến tính không liên tục có thể có ánh xạ ngược liên tục.
Việc kiểm nghiệm tính liên tục của một ánh xạ đôi khi gặp nhiều khó khăn vì không thể áp dụng trực tiếp những tiêu chuẩn đã biết vào trường hợp đang khảo sát. Do đó cần tìm những tiêu chuẩn khác dễ sử dụng và có hiệu lực cho việc kiểm nghiệm ấy. Định lý đồ thị đóng là một tiêu chuẩn có khá nhiều áp dụng.
Ngược lại với định lý trên ta có định lý quan trọng sau
Định lý 2.2.8. (Định lý đồ thị đóng) Giả sửA là ánh xạ tuyến tính từ không gian BanachX vào không gian BanachY. NếuA là ánh xạ đóng thìA là liên tục.
Chứng minh. Có thể phân tích ánh xạ A theo sơ đồ sau X
S !!
A //Y GA T
==