Chương 1. Không gian định chuẩn 1
1.5 Toán tử tuyến tính liên tục
1.5.1 Toán tử tuyến tính liên tục.
Cho hai khụng gian tuyến tớnh bất kỳE vàF.Một ỏnh xạA:EẹF được gọi là một ánh xạ tuyến tính haytoán tử tuyến tính nếu
a)Apx yq Ax Ay với mọix, yPE.
b) Apαxq αAxvới mọixPE và mọiαPK.
Ở đây để cho gọn ta đã viết Ax thay cho Apxq. Chú ý rằng nếu A là toán tử tuyến tính thìAp0q 0.
Giả sử E và F là các không gian định chuẩn. Theo định nghĩa chung, toán tử A:E ẹ F được gọi là liờn tục tại xo nếu lim
nẹ8xn xo luụn kộo theo lim
nẹ8Axn Axo.Toán tửA được gọi là liên tục trên E nếu A liên tục tại mọixPE.
Dễ chứng minh rằng mọi toán tử tuyến tính từ Rk vào Rm đều liên tục. Song điều này không đúng trong không gian định chuẩn bất kỳ. Dưới đây ta sẽ đưa ra các điều kiện để một toán tử tuyến tính giữa hai không gian định chuẩn là liên tục.
Định lý 1.5.1. (Định lý 4 mệnh đề tương đương) Các mệnh đề sau là tương đương:
(i) Aliên tục trên E;
(ii) Aliên tục tại xo PE;
(iii) Aliên tục tại 0PE;
(iv) DM ¡0,@xPE :}Ax} ¤M}x}.
1.5 Toán tử tuyến tính liên tục 33 Chứng minh. (i) ủ(ii): Hiển nhiờn.
(ii)ủ(iii): Lấytxnu E sao cho lim
nẹ8xn0.Suy ra lim
nẹ8pxn xoq xo.DoAliờn tục tạixonên lim
nẹ8pAxn Axoq lim
nẹ8Apxn xoq Axo.Vỡ vậy lim
nẹ8Axn0A0, tức làA liên tục tại0.
(iii) ủ (iv): DoA liờn tục tại0 tồn tại r Ă0 sao cho với mọix PE mà}x} r ta có }Ax} 1.
LấyxPE, x0và đặt z rx
2}x}.Ta có}z} r
2 r cho nên }Az} 1.Vì vậy }Az}
A rx
2}x}
r
2}x}}Ax} 1, tức là}Ax} ¤ 2
r }x}.
Vớix0 bất đẳng thức vẫn đúng. Vậy ta có (iv).
(iv)ủ (i): LấyxPE.Từ (iv) suy ra
}AxnAx} }Apxnxq} ¤M}xnx}.
Suy raA liên tục tạix. Vậy ta có (i).
Định nghĩa 1.5.1. Toỏn tử tuyến tớnhA:E ẹF được gọi làbị chặn nếu DM Ă 0,@xPE :}Ax} ¤M}x}.
Dễ thấy rằng toán tử tuyến tính A bị chặn khi và chỉ khi ApBEq bị chặn trong F.
Ta cũng nhắc lại, ỏnh xạA:EẹF được gọi làLipschitz nếu tồn tạiC Ă0sao cho
}AxAy} ¤C}xy} @x, yPE.
Rừ ràng toỏn tử tuyến tớnh A:E ẹ F bị chặn khi và chỉ khi A là Lipschitz. Như vậy đối với các toán tử tuyến tính, các khái niệm liên tục, bị chặn và Lipschitz là tương đương. Từ bất đẳng thức trong định nghĩa 1.5.1 ta suy ra
xPE,x0sup }Ax}
}x} 8.
Định nghĩa 1.5.2. Chuẩn của toán tử A được định nghĩa như sau }A} inftM :}Ax} ¤M}x};@xPEu. Định lý 1.5.2. Với mọi ỏnh xạ tuyến tớnh liờn tụcA:EẹF thỡ
}A} sup
x0
}Ax}
}x} sup
}x}¤1
}Ax} sup
}x}1
}Ax}.
1.5 Toán tử tuyến tính liên tục 34 Chứng minh. Đặt
α sup
x0
}Ax}
}x} , β sup
}x}1
}Ax}, γ sup
}x}¤1
}Ax}.
Ta có }Ax}
}x} ¤α hay }Ax} ¤α}x}.Theo định nghĩa thì}A} ¤α.
Với mọi x0 đặty }xx} thì }y} 1.Như vậy αsup
x0
}Ax}
}x} sup
x0
A x
}x} sup
}y}1
}Ay} ¤ sup
}y}¤1
}Ay}
hay }A} ¤αβ¤γ.Mặt khác
}Ax} ¤ }A}}x} ¤ }A}
với}x} ¤1nên γ ¤ }A}.Từ đó }A} αβγ.
Ví dụ 1.5.3. Giả sửpaijq8i,j1 là một ma trận thỏa mãn điều kiện
á8 i,j1
|aij|q 8 pq ¡1q.
Vớix tξju8j1 P`p ở đây 1 p + 1
q1, ta định nghĩa Ax tηiu8i1, trong đó
ηi á8
j1
aijξj, pi1,2, . . .q. Khi đóA là một toán tử tuyến tính liên tục từ `p vào `q.
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức H¨older, ta có
|ηi| á8
j1
aijξj
Ôá8
j1
|ξj|p 1{p
. á8
j1
|aij|q 1{q
}x} á8
j1
|aij|q 1{q
. Từ đó suy ra
á8 i1
|ηi|q¤ }x} á8
i,j1
|aij|q
tức là
}Ax} ¤ }x} á8
i,j1
|aij|q 1{q
.
1.5 Toán tử tuyến tính liên tục 35 VậyAxP`q vàA là một toán tử tuyến tính bị chặn từ `p vào`q.Đồng thời
}A} ¤ á8
i,j1
|aij|q 1{q
.
Ví dụ 1.5.4. ChoKpt, sqlà một hàm số liên tục trên hình vuôngra, bs ra, bs.Xét toỏn tửA:Cra, bs ẹCra, bsxỏc định bởi
Axptq
ằb
a
Kpt, sqxpsqds với mọixPCra, bs, tP ra, bs. Toán tử này được gọi làtoán tử tích phân với hạch Kpt, sq.
Dễ kiểm traA tuyến tính. Với mọixPCra, bsta có }Ax} max
tPra,bs
ằb a
Kpt, sqxpsqds
¤ }x}max
tPra,bs
ằb a
|Kpt, sq|ds.
Vì vậy Aliên tục và
}A} ¤ max
tPra,bs
ằb
a
|Kpt, sq|ds.
Mệnh đề 1.5.5. Giả sử E, F, G là cỏc khụng gian định chuẩn và A :E ẹ F, B : F ẹGlà cỏc toỏn tử tuyến tớnh bị chặn. Khi đúBA:E ẹGlà toỏn tử tuyến tớnh bị chặn và
}BA} ¤ }B}}A}. Chứng minh kết quả này dành cho bạn đọc.
Định lý 1.5.6. (Suy rộng toán tử tuyến tính liên tục) Giả thiết
(a) E là không gian tuyến tính định chuẩn, M là một không gian con tuyến tính củaE trù mật trong E,F là một không gian Banach;
(b) A:M ẹF là ỏnh xạ tuyến tớnh liờn tục.
Khi đú tồn tại duy nhất một ỏnh xạ tuyến tớnh liờn tụcAr:E ẹF suy rộng củaA, tức làAxr Ax với mọixPM và} rA} }A}.
Chứng minh. Vì M trù mật trong E nên với mọix PE tồn tại dãy txnu M hội tụ đến x.Ta có
}AxnAxm} }Apxnxmq} ¤ }A}.}xnxm}.
1.5 Toán tử tuyến tính liên tục 36 Ta suy ratAxnulà dãy Cauchy trongF.VìF là không gian Banach nên tồn tại giới hạn lim
nẹ8Axn.Ta định nghĩa
Axr lim
nẹ8Axn. (1.12)
Định nghĩa (1.12) không phụ thuộc vào các dãy hội tụ đếnx. Như vậy ta xác định được ỏnh xạ Ar : E ẹ F. Bõy giờ ta chứng minh Ar là một toỏn tử tuyến tớnh và } rA} }A}.
Từ (1.12) suy ra
} rAx} lim
nẹ8}Axn}.
Ta cú} rAxn} Ô }A}}xn}.Chonẹ 8 ta được } rAx} Ô }A}.}x}.Vỡ vậy
} rA} ¤ }A}. (1.13) Mặt khác
} rA} sup
xPE,}x}1
} rAx} ¥ sup
xPM,}x}1
} rAx} sup
xPM,}x}1
}Ax} }A}. (1.14)
Từ (1.13) và (1.14) ta nhận được} rA} }A}.Tính duy nhất củaArlà hiển nhiên.
1.5.2 Toán tử ngược
Như ta đã biết, nếuE vàF là hai không gian vectơ trên cùng một trường số và A:E ẹ F là một song ỏnh tuyến tớnh thỡ tồn tại ỏnh xạ ngượcA1 :F ẹ E và ánh xạ này cũng tuyến tính.
Trong trường hợp E, F là những không gian định chuẩn vàAlà song ánh tuyến tính liên tục từE lênF thì tuy rằng ánh xạ ngược tồn tại nhưng có thể không liên tục.
Ví dụ 1.5.7. LấyE Cr0,1slà không gian Banach vàF Co1r0,1slà tập hợp tất cả các hàm yptq có đạo hàm liên tục trên r0,1s thỏa mãn điều kiện yp0q 0. Với chuẩn đã có trongCr0,1sthìCo1r0,1slà một không gian định chuẩn con củaCr0,1s. Ta xỏc định toỏn tửA:EẹF bởi
pAxqptq
ằt
0
xpsqds, pxptq PCr0,1sq.
Dễ kiểm traAlà một song ánh tuyến tính từE lênF (bạn đọc tự kiểm tra).A liên tục bởi
|pAxqptq| ¤
ằt
0
|xpsq|ds¤ }x},
1.5 Toán tử tuyến tính liên tục 37 vì vậy}Ax} ¤ }x} với mọixPE,do đó}A} ¤1.Ánh xạ ngược A1 được xác định bởi công thức
pA1yqptq d
dtyptq, pyptq PFq
là không liên tục. Thật vậy, vớin¥2ta xét hàmynptq sinnt,ta có pA1ynqptq ncosnt, do đó
}yn} sup
0¤t¤1|sinnt| 1 pn¥2q và
}A1yn} sup
0¤t¤1|ncosnt| nn}yn}.
Vìn¥2tùy ý nên suy raA1 không bị chặn, tức là không liên tục.
Định lý 1.5.8. Giả sử E, F là cỏc khụng gian định chuẩn và A : E ẹ F là một song ánh tuyến tính. Điều kiện cần và đủ để ánh xạ ngượcA1 liên tục là tồn tại hằng sốm¡0 sao cho với mọixPE ta có
}Ax} ¥m}x}.
Chứng minh. Vì A1 liên tục nên tồn tại C ¡ 0 sao cho với mọi y P F,}A1y} ¤ C}y}. Với mọi x P E, do x A1pAxq,ta có }x} }A1pAxq} ¤ C}Ax}. Vì vậy
m1{C là số cần tìm.
Từ chứng minh trên, để ý rằngm }A1}1.
Trong trường hợp tồn tại một song ánh tuyến tính liên tụcAtừ không gian định chuẩnE lên không gian định chuẩn F có ánh xạ ngược A1 liên tục thì A1 được gọi làtoán tử ngượccủaA.Khi đóAcòn được gọi là một phépđồng phôi tuyến tính củaE lên F vàE, F được gọi là hai không gian đồng phôi tuyến tính.
Đặc biệt, nếu song ánh tuyến tính A từE lênF thỏa mãn điều kiện }Ax} }x}, với mọixPE
thì như đã biếtA là phép đẳng cự. Khi đó có thể đồng nhất E với F nếu ta đồng nhấtxPE với yAxPF.
Tổng quát hơn, có thể đồng nhất hai không gian định chuẩn đồng phôi tuyến tớnh (với ỏnh xạ đồng phụi tuyến tớnhA:E ẹF). Thật vậy, ta hóy xỏc định một chuẩn mới}.}1 trong không gian E bằng cách đặt
}x}1 }Ax}, với mọixPE.
Từ các bất đẳng thức trong các Định lý 1.5.1 và 1.5.8 m}x} ¤ }Ax} ¤ }A}.}x},
1.5 Toán tử tuyến tính liên tục 38 hay
m}x} ¤ }x}1 ¤ }A}.}x}
ta suy ra trong E các chuẩn }.}và }.}1 là tương đương nhau. Do đó ta có thể thay chuẩn}.}bởi chuẩn}.}1.NhưngpE,}.}1qđẳng cự vớiF nên có thể đồng nhấtE với F.
1.5.3 Không gian các toán tử liên tục
VớiE, F là các không gian định chuẩn ta ký hiệu
LpE, Fq tA:E ẹF;A tuyến tớnh liờn tụcu.
Rõ ràng LpE, Fq là không gian vectơ con của K- không gian LpE, Fq tất cả các ánh xạ tuyến tính từE vàF.Trong trường hợpEF, thay vì viếtLpE, Eq ta viết LpEq.
Mệnh đề 1.5.9. Hàm Aẹ }A} là một chuẩn trongLpE, Fq.
Chứng minh. Hiển nhiên }A} ¥ 0 và }A} 0 nếu và chỉ nếu A 0. Với mọi A, BPLpE, Fq ta có
}A B} sup
}x}1
}Ax Bx} ¤ sup
}x}1
p}Ax} }Bx}q ¤ sup
}x}1
}Ax} sup
}x}1
}Bx} }A} }B}.
Cuối cùng, với mọi λPKta có }λA} sup
}x}1
}λAx} |λ| sup
}x}1
}Ax} |λ|}A}.
Định lý 1.5.10. NếuF là không gian Banach thì không gianLpE, Fqlà Banach.3 Chứng minh. Giả sửtAnulà một dãy Cauchy trong LpE, Fq. Khi đó mọiε¡0tồn tại no sao cho với mọi m, n ¥no ta có }AnAm} ε. Từ đó, với mọix PE mà }x} ¤1 ta có }AnxAmx} ε. Do đó với mọixPE
}AnxAmx} ¤ε}x}. (1.15)
3Trong không gianLpEq LpE, Eq ta định nghĩa phép toán nhân hai phần tửA, B như sau:
pABqxApBxq với mọixPE.Dễ kiểm tra rằngLpEqvới phép toán cộng và nhân ở trên là một vành có phần tử đơn vị là toán tử đồng nhất I với}I} 1.Người ta còn nóiLpEq là một vành định chuẩn.
1.5 Toán tử tuyến tính liên tục 39 Điều này chứng tỏtAnxu là dãy Cauchy trongF. Do F đầy đủ nên tAnxu có giới hạn và ta ký hiệu làAx, với mọixPE.Từ đú ta thiết lập được ỏnh xạ A:EẹF xác định bởi công thức
Ax lim
nẹ8Anx, pxPEq.
Ánh xạ A là tuyến tính (Chứng minh điều này đơn giản, chúng tôi dành cho bạn đọc).
Hơn nữa, trong bất đẳng thức (1.15) chom ẹ 8thỡ trờn cơ sở của định nghĩa Axta được
}AnxAx} ¤ε}x}
với mọixPE và mọin¥no.Từ đây ta thấy rằng khin¥no thì ánh xạAnAlà bị chặn và
}AnA} ¤ε. (1.16)
Vì vậyAAn pAnAqlà bị chặn và bất đẳng thức (1.16) chứng tỏAlà giới hạn trongLpE, Fq của dãy tAnu.
Như vậy mọi dãy Cauchy tAnu trong LpE, Fq đều có giới hạn, và LpE, Fq là
không gian Banach.
Nhận xét 1.5.11. Nếu các chuẩn trên E và F được thay bởi các chuẩn tương đương thì chuẩn mới trênLpE, Fqcũng tương đương với chuẩn cũ. Sau này khi xét LpE, Fq ta luôn xét với chuẩn nói trên.
Định nghĩa 1.5.3. a) Dãy toán tử tAnu LpE, Fq được gọi là hội tụ theo chuẩn đến toán tửAPLpE, Fq nếu lim
nẹ8}AnA} 0.
b) Dãy toán tử tAnu LpE, Fq được gọi làhội tụ đơn giản hayhội tụ theo từng điểm đến toán tửAPLpE, Fq nếu với mọixPE ta có lim
nẹ8AnxAx.
Nhận xột 1.5.12. tAnuhội tụ theo chuẩn ủ tAnu hội tụ đơn giản.
Chú ý 1.5.13. Điều ngược lại của nhận xét trên là không đúng. Ta xét ví dụ sau Ví dụ 1.5.14. Xét toán tử An trong co xác định bởi công thức
AnxAnppξ1, . . . , ξn, ξn 1, . . .qq pξ1, . . . , ξn,0, . . .q vớix pξiq Pco.Rõ ràngAnPLpcoq và
}Anx} sup
1¤i¤n|ξi| ¤ sup
1¤i¤8|ξi| }x},
do đó}An} ¤1.(Chú ý rằng ta có thể chứng minh rằng }An} 1.)