Chương 3. Không gian liên hợp - Tôpô yếu 64
4.3 Phổ của toán tử liên tục
Vì vậy tồn tạimPNzt0u sao cho
AnopB1p0,1qq
¤m i1
Bpyi, ε{2q.
Do đó với x P B1p0,1q tồn tại io,1 ¤ io ¤ m sao cho Anox P Bpyio, ε{2q. Lúc ấy xPB1p0,1q ta có
}Axyio} ¤ }AxAnox} }Anoxyio}
¤ }Ano A}}x} }Anoxyio}
¤ }Ano A} }Anoxyio} ε 2
ε 2 ε hay AxPBpyio, εq.Như thế
ApB1p0,1qq
¤m i1
Bpyi, εq
nghĩa làApB1p0,1qqlà tập hoàn toàn bị chặn trong không gian BanachY nên nó là tập compact tương đối. Do đó A PKpX, Yq.Vậy KpX, .Yq là không gian Banach.
Hệ quả 4.2.9. Nếu toỏn tửA:XẹY là giới hạn trongLpX, Yq của một dóy cỏc toán tử hữu hạn chiều AnPLpX, Yq thìA là toán tử compact.
Ta sẽ phát biểu không chứng minh kết quả sau về toán tử liên hợp của toán tử compact. Bạn đọc có thể tham khảo chứng minh của định lý này trong các tài liệu về Giải tích hàm [1], [3], [5].
Định lý 4.2.10. Giả sử Y là không gian Banach. Toán tửAPLpX, Yqlà compact khi và chỉ khi toỏn tử liờn hợpA:Y ẹX là compact.
4.3 PHỔ CỦA TOÁN TỬ LIÊN TỤC
Lý thuyết phổ của các toán tử tuyến tính trong không gian Banach sẽ đạt được những kết quả cân đối và đẹp đẽ hơn nếu ta xét các không gian phức. Do đó từ đây trở đi, ta làm việc với trườngKlà trường các số phứcC.
4.3.1 Các khái niệm
Định nghĩa 4.3.1. Cho X là một không gian định chuẩn. Ta ký hiệu LpXq là LpX, Xq vàI là toỏn tử đồng nhất id:XẹX.
4.3 Phổ của toán tử liên tục 92 Trong LpXq ta định nghĩa phép lũy thừa như sau
An
$'
&
'%
A. . .A looooomooooon
nlần
nếu n¡0
I nếu n0.
Định nghĩa 4.3.2. Cho A PLpXq. Giả sử x PX, x 0 và tồn tại λPC sao cho Axλxthì λđược gọi là mộtgiá trị riêng của toán tửA vàx là một vectơ riêng củaA ứng với giá trị riêngλnày. Nói cách khác,λPClà một giá trị riêng của toán tử Anếu tồn tại xPX, x0 sao cho pAλIqx0.
Chú ý 4.3.1. Nếuλlà một giá trị riêng của toán tửAthì toán tửpAλIq không phải là đơn ánh vì tồn tạix0để pAλIqx0.Vậy toán tửpAλIq không khả nghịch.
Định nghĩa 4.3.3. Giả sử Y là không gian con của không gianX. NếuApYq Y thìY được gọi là không gian con bất biến của toán tửA.
Định nghĩa 4.3.4. Ta gọi λ là mộtgiá trị phổ của toán tử A nếu không tồn tại toán tử ngược bị chặn pAλIq1. Tập hợp các giá trị phổ của A được gọi là phổ của toán tửA và ký hiệu làσpAq.
Chú ý 4.3.2. Nếuλlà một giá trị riêng của toán tửA thìλPσpAq.
Chú ý 4.3.3. NếuX là không gian hữu hạn chiều thì phổ củaAlà tập tất cả các giá trị riêng củaA.Thật vậy, giả sử toán tửAđược xác định bởi ma trận (ta cũng ký hiệu làA) thìσpAqlà tập hợp nghiệm của phương trình đặc trưngdetpAλIq 0.
Chú ý 4.3.4. Đối với không gian vô hạn chiều thì có những giá trị của phổ không phải là giá trị riêng.
Ta xét ví dụ sau
Vớ dụ 4.3.5. Xột toỏn tửA:`2 ẹ`2 cho bởi:
x px1, . . . , xn, . . .q ịẹAx p0, x1, x2, . . . , xn, . . .q.
Vì A không phải là toàn ánh nên A0I A không tồn tại toán tử ngược, tức là 0 P σpAq. Tuy nhiên số 0 không phải là giá trị riêng vì nếu thế thì phải có x px1, x2, . . .q 0 để Ax p0, x1, x2, . . .q 0x 0, tức là x p0,0, . . .q hay x0,vô lý.
4.3 Phổ của toán tử liên tục 93 Định nghĩa 4.3.5. NếuàRσpAqthỡ àđược gọi là mộtgiỏ trị chớnh quy của toỏn tử A, nghĩa là tồn tại toỏn tử pAàIq1 bị chặn. Tập CzσpAq tất cả cỏc giỏ trị chính quy của toán tửAđược gọi làtập giải của toán tửAvà ký hiệu là%pAq.Toán tử pAàIq1 gọi là toỏn tử giải hay giải thức củaA,và ký hiệu là RàpAq.
Giả sửAPLpXq.Ta sẽ dùng các ký hiệu sau.
Aλ AλI, NpAq KerA, RpAq ImA.
Định nghĩa 4.3.6. Nếu λ là một giá trị riêng thì không gian con NpAλq tx P X:Axλxuđược gọi làkhông gian con riêng của toán tửA ứng vớiλ.
4.3.2 Các tính chất
Định lý 4.3.6. ChoX là một không gian Banach và toán tử APLpXq.Nếu
|λ| ¡ lim
nẹ8}An}1{n thìλP%pAqvà toán tử giải được khai triển dưới dạng
RàpAq pAλIq1 á8
n0
An
λn 1. (4.2)
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh lim
nẹ8}An}1{n tồn tại hữu hạn. Thật vậy, lấy kPN tùy ý. Với mọinPNta viết nkp r,0¤r k.Lúc đó
p n 1
k r kn. Như vậy
}An}1{n }Akp r}1{n¤ }Ak}p{n}A}r{n¤ }Ak}1kknr }A}r{n. Cho n ẹ 8 ta cú lim
nẹ8}An}1{n Ô }Ak}1{k. Điều này đỳng với mọi k tựy ý, nờn ta suy ra
nlimẹ8}An}1{nÔ lim
kẹ8}Ak}1{k. Vậy lim
nẹ8}An}1{ntồn tại hữu hạn.
Bây giờ ta chứng minh chuỗi (4.2) hội tụ tuyệt đối khi |λ| ¡ lim
nẹ8}An}1{n.Thật vậy, theo tiêu chuẩn hội tụ Cauchy - Hadamard ta thấy chuỗi
á8 n0
}An}
|λ|n 1
4.3 Phổ của toán tử liên tục 94 hội tụ khi và chỉ khi 1
|λ| 1
nlimẹ8}An}1{n hay |λ| Ă lim
nẹ8}An}1{n. VỡLpXqlà khụng gian Banach nờn chuỗi á8
n0
An
λn 1 hội tụ về toán tửB PLpXq và đồng thời
nlimẹ8
An λn 1 0.
Ngoài ra ta có
pAλIqB pAλIqá8
n0
An
λn 1 lim
kẹ8
pλIAq
ák n0
An λn 1
lim
kẹ8
ák n0
An
λn An 1
λn 1 I lim
kẹ8
Ak 1 λk 1 I.
Tương tự ta cũng có BpAλIq I.Vậy B là toán tử ngược củaAλI hay pAλIq1 á8
n0
An λn 1.
Hệ quả 4.3.7. ChoXlà không gian Banach vàAPLpXq.Nếu sốλthỏa mãn điều kiện|λ| ¡ }A}thì λP%pAq vàpAλIq1 xác định bởi công thức (4.2).
Chứng minh. Vì}An} ¤ }A}n nên với giả thiết ta có
|λ|.}A} ¥ }An}1{n. Vậy lim
nẹ8}An}1{nÔ }A} |λ|.Khi đú ỏp dụng Định lý 4.3.6 ta cú kết quả.
Hệ quả 4.3.8. ChoXlà không gian Banach,APLpXqvà}A} 1.Khi đópA Iq1 tồn tại và
pA Iq1 á8
n0
pAqn. (4.3)
Hệ quả 4.3.9. Cho X là không gian Banach vàAPLpXq.Khi đó với λPσpAqta có |λ| ¤ lim
nẹ8}An}1{n.
Định lý 4.3.10. ChoXlà không gian Banach. GọiG là tập hợp tất cả các toán tử APLpXq có toán tử ngược bị chặn A1. Khi đó G là một tập mở trong LpXq.Cụ thể hơn, nếuAo PG và nếuAPG thỏa mãn điều kiện
}AAo} }Ao1}1
Bài tập 95 thìAPG và toán tử ngược bị chặnA1 có thể tính theo công thức
A1 á8
n0
pI A1o Aqn.A1o . (4.4)
Chứng minh. Ta có thể viết
AAo AAo AorI Ao1pAAoqs. Từ giả thiết suy ra rằng
}Ao1pAAoq} ¤ }Ao1}}AAo} 1,
vậy theo Hệ quả 4.3.8 tồn tại toán tử bị chặnrI Ao1pAAoqs1. Từ đó suy ra rằng tồn tại toán tử liên tụcA1 xác định bởi công thức
A1 rI Ao1pAAoqs1Ao1.
Sử dụng công thức (4.3) để tính toán tử rI Ao1pAAoqs1 ta đi đến đẳng thức
(4.4).
Định lý 4.3.11. Cho X là không gian Banach và A P LpXq.Khi đó %pAq là tập mở trong C.
Chứng minh. Theo Định lý 4.3.10 thì G là mở trong LpXq. Nếu λo P %pAq thì AλoI PG.Do đó với mọiλthỏa mãn |λλo| }pAλoIq1}1 r ta sẽ có
}pAλoIq pAλIq} |λλo| }pAλoIq1}1 r.
Vậy pAλIq1 tồn tại và thuộc LpXq, nghĩa là Bpλo, rq %pAq nên %pAq là tập
mở.
BÀI TẬP
4.1. Ta cóX LpX,Kq.Hãy mô tả toán tử liên hợpAPLpK, XqnếuAPX.
4.2. Giả sửϕ:r0,1s ẹ r0,1slà một ỏnh xạ liờn tục. Ta xỏc định toỏn tử A:Cr0,1s ẹCr0,1s
bằng cách đặt
pAfqptq fpϕptqq pf PCr0,1sq.
Chứng tỏA là tuyến tính và liên tục. Tính chuẩn củaAvà xác định toán tử liên hợp A.
Bài tập 96
4.3. Cho toỏn tử A : `1 ẹ `1 xỏc định bởi: với n P N cố định, với mọi x px1, . . . , xk, . . .q P`1 thì Ax px1, . . . , xn,0,0, . . .q.Chứng tỏ A là tuyến tính và liên tục. Tính chuẩn của A và xác định toán tử liên hợpA.
4.4. ChoX, Y là hai khụng gian định chuẩn vàA:XẹY là toỏn tử tuyến tớnh liên tục. Chứng minh rằng
a) NếuA toàn ánh thìA là đơn ánh.
b) NếuA toàn ánh thìA là đơn ánh.
c) NếuA đơn ánh thìApXqlà tập trù mật trong Y.
4.5. Cho X, Y là hai không gian phản xạ và A P LpX, Yq. Chứng minh rằng A A.
4.6. Chứng minh rằng nếuElà khụng gian định chuẩn vụ hạn chiều vàA:E ẹE là toán tử compact thìA không có toán tử ngược liên tục.
4.7. Giả sửKpx, yqlà một hàm liên tục trênr0,1sr0,1s.Chứng minh rằng toán tử A:Cr0,1s ẹCr0,1scho bởi
pAfqpxq
ằ1
0
Kpx, yqfpyqdy là toán tử compact.
4.8. Giả sử A:`pẹ`p,1Ôp 8là toỏn tử đưọc xỏc định bởi Apxnq panxnq trong đótanulà một dãy số thực bị chặn. Chứng minh rằngAlà toán tử compact khi và chỉ khi lim
nẹ8an0.
4.9. Xột tớnh compact của cỏc toỏn tử A:Cr0,1s ẹCr0,1sxỏc định bởi aqApxqptq txptq; bq pAxqptq xp0q txp1q; cq pAxqptq xpt2q.
4.10. Giả sửAlà toán tử tuyến tính liên tục của không gian BanachX vào chính nó. Nếu
pptq ao a1t ant là đa thức củat thì ta ký hiệu
ppAq aoI a1A anAn.
Chứng minh rằngσrppAqs ppσpAqq,nghĩa lààPσrppAqskhi và chỉ khiàppλq vớiλPσpAq.
Bài tập 97
4.11. Chứngminh rằng nếu X là không gian Banach vô hạn chiều và A PLpXq là toán tử compact thì0PσpAq.
4.12. Giả sửλo RσpAq.Gọidpλoq là khoảng cách từ λo đến σpAq,tức là dpλoq inft|λoà|:àPσpAqu.
Chứng minh rằng }pAλoIq1} ¥ 1 dpλoq.
4.13. Giả sửX là không gian Banach,APLpXqvàλPC.Chứng minh rằng nếu λPσpAq thìλnPσpAnqvới mọinPZ .Trong trường hợpA là phép đồng phôi, chứng tỏ rằng khẳng định trên là đúng với n 1 vàλ0.
4.14. Giả sử X là không gian định chuẩn và A PLpXq.Chứng minh rằng nếu tồn tại dãy txnu X sao cho }xn} 1 với mọi n và lim
nẹ8pAλIqxn 0 với λPK thìλPσpAq.Điều ngược lại có đúng không?
4.15. Giả sử X là không gian Banach và A P LpXq. Chứng minh rằng nếu λ, àP%pAqthỡ ta cú hệ thức Hilbert:
pAλIq1 pAàIq1 pλàqpAλIq1pAàIq1.