Chương 3. Không gian liên hợp - Tôpô yếu 64
3.1 Không gian liên hợp
3.1 KHÔNG GIAN LIÊN HỢP
3.1.1 Không gian liên hợp
Nếu X là không gian định chuẩn trên trường số K thì không gian LpX,Kq tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trênX được gọi là không gian liên hợp (hay đối ngẫu) của X và thường được ký hiệu là X.
Nhận xét 3.1.1. Vì K là một không gian Banach, nên Định lý 1.5.10 cho ta: Với mọi không gian định chuẩn X, không gian liên hợp X luôn là một không gian Banach.
Để ý rằng sự hội tụ trong định lý này là sự hội tụ trongXLpX,Kq (còn gọi
3.1 Không gian liên hợp 65 là sự hội tụ theo chuẩn): Dãytfnu X gọi là hội tụ theo chuẩn đến f PX nếu
nlimẹ8}fnf} 0.
Ta còn có các khái niệm sau
Định nghĩa 3.1.1. Trong không gian X, dãy phiếm hàm tfnu gọi là hội tụ đơn giản (hoặchội tụ tại từng điểm (thuộcX)) đếnf PX, nếu với mọixPX cố định, dãy sốtfnpxquhội tụ đếnfpxq.
Định nghĩa 3.1.2. Trong không gian X, dãy phiếm hàm tfnu gọi là một dãy Cauchy theo nghĩa đơn giản (hoặc mộtdãy Cauchy đối với sự hội tụ đơn giản) nếu với mọi x P X cố định, dãy số tfnpxqu là một dãy Cauchy. Nếu mọi dãy Cauchy theo nghĩa đơn giản đều hội tụ (tức là hội tụ đơn giản đến một phần tử nào đó) thì không gianX được gọi làđầy đủ đối với sự hội tụ đơn giản.
Hệ quả 2.3.5 của Nguyên lý bị chặn đều cho ta thấy rằng
Định lý 3.1.2. Nếu X là một không gian Banach thì không gian liên hợp X là đầy đủ đối với sự hội tụ đơn giản.
Định lý 3.1.3. Giả sử X là không gian định chuẩn. Khi đó với mọi xPX ta đều có
}x} sup
fPX,}f}1
|fpxq|.
Chứng minh. Chỉ cần chứng minh định lý cho trường hợp x 0. Nếu f P X và }f} 1,thì từ bất đẳng thức
|fpxq| ¤ }f}.}x} }x}, ta suy ra
}x} ¥ sup
fPX,}f}1
|fpxq|.
Vì x 0, nên theo Hệ quả 2.1.12 của Định lý Hahn-Banach, tồn tại fo P X sao cho}fo} 1,|fopxq| }x},vậy
}x} ¤ sup
fPX,}f}1
|fpxq|.
Từ đó suy ra định lý.
Ta để ý rằng nếu không gian định chuẩnXlà khả ly thì không gian liên hợpX không nhất thiết phải khả ly. Chẳng hạn không gian`1 là khả ly, nhưng không gian
`8 liên hợp của nó (ta sẽ chứng minh điều này trong mục phía dưới) là không khả ly. Tuy nhiên ta có
3.1 Không gian liên hợp 66 Định lý 3.1.4. Nếu không gian liên hợpX là khả ly thì không gianX là khả ly.
Chứng minh. Giả sử tfn, n P Nu là tập hợp trù mật trong X. Do tính chất của supremum, với mỗinta lấy được một xnPX sao cho
}xn} ¤1,|fnpxnq| ¡ 1
2}fn}, nPN.
Gọi Y là không gian con đóng của X, sinh bởi các xn. Theo Định lý 1.6.9, Y là không gian khả ly. Ta chứng tỏ rằngX Y. Thật vậy, nếu X Y,thì do Y đóng thì theo Hệ quả 2.1.11, của Định lý Hahn-Banach tồn tạif PX, f 0vàfpyq 0 khiy PY,đặc biệt fpxnq 0 với mọinPN.
Ta hãy chọn một dãytfniuhội tụ đến f.Từ bất đẳng thức }f fni} sup
}x}1
|pffniqpxq| ¥ |pf fniqpxniq| |fnipxniq| ¥ 1 2}fni} ta suy ra rằng}fni} ẹ0,tức là fni ẹ0,do đú f 0.Điều này mõu thuẫn với giả
thiếtf 0.
3.1.2 Dãy song trực giao
Giả sử X là không gian định chuẩn, xo PX và fo PX.Nếu fopxoq 0 thì ta nói rằngxo vàfo là trực giao với nhau.
Tổng quát hơn, giả sử txnu là một dãy trong X và tfnu là một dãy trong X. Các dãytxnu vàtfnu gọi làsong trực giao với nhau nếu
fipxjq δij
#
1 nếu ij, 0 nếu ij.
Trong mục này ta sẽ chỉ trình bày các kết quả quan trọng về dãy song trực giao.
Các chứng minh của chúng dành lại cho bạn đọc trong phần bài tập.
Định lý 3.1.5. Nếu txnu X và tfnu X là hai dãy song trực giao thì hệ txn, n PNu là độc lập tuyến tính trong X và hệ tfn, nP Nu là độc lập tuyến tính trongX.
Định lý 3.1.6. a) Giả sửx1, . . . , xn lànvectơ độc lập tuyến tính trong không gian định chuẩn X. Khi đó tồn tại hệ tfk, k 1, . . . , nu trong X song trực giao với hệ txk, k1, . . . , nu.
b) Giả sử f1, . . . , fnlà nvectơ độc lập tuyến tính trong không gianX.Khi đó tồn tại hệtxk, k1, . . . , nu trongX song trực giao với hệtfk, k1, . . . , nu.
3.1 Không gian liên hợp 67 3.1.3 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính
Trong mục này ta sẽ chỉ ra dạng tổng quát của các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên một số không gian, từ đó biết được không gian liên hợp của các không gian đó.
Định lý 3.1.7. Chof là một phiếm hàm tuyến tính trênKn (KRhay KC).
Khi đó tồn tại duy nhất phần tửa pa1, . . . , anq PKn sao cho fpxq
án i1
aixi, với mọi x px1, . . . , xnq PKn.
Ngược lại, vớia pa1, . . . , anq PKn,thì dạngfapxq
án i1
xiai với mọipx1, . . . , xnq P Kn xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên Knvà }fa} }a}.
Chứng minh. Gọi te1, . . . , enu là cơ sở chính tắc của Kn, trong đó ei p0, . . . ,0,1
piq,0, . . . ,0q. Với x px1, . . . , xnq P Kn, ta có x
án i1
xiei. Cho f là phiếm hàm tuyến tính trên Kn, ta có fpxq
án i1
xifpeiq. Đặt ai fpeiq P K thìfpxq
án i1
xiai, a pa1, . . . , anq PKn Ngược lại, với a pa1, . . . , anq PKn,ta đặt
fapxq
án i1
xiai với mọi x px1, . . . , xnq PKn.
Rõ ràng fa là tuyến tính, liên tục vì Kn hữu hạn chiều. Giả sử trong Kn ta chọn chuẩn Euclide}x}
án i1
|xi|21{2
,áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
|fapxq| Ôán
i1
|xi|2 1{2án
i1
|ai|2 1{2 }x}}a} nên }fa} ¤ }a}.Mặt khác, lấyxo pξiq vớiξi ai
}a}.Lúc đó }xo} án
i1
|ai|2 }a}2
1{2
1.
Hơn nữa
fapxoq
án i1
a2i 1
}a} }a}
nên }fa} ¥ }a}.Vậy }fa} }a}.
3.1 Không gian liên hợp 68 Chú ý 3.1.8. Ánh xạ
ϕ:Knẹ pKnq aịẹfa
là một ánh xạ tuyến tính. Hơn nữa dễ thấyϕlà song ánh. Như đã chứng minh trên ta có }fa} }a}. Điều này có nghĩa ϕlà một phép đẳng cự tuyến tính. Tuy nhiên nếu trongKnta chọn một chuẩn khác với chuẩn Euclide thìϕchỉ là một phép đồng phôi tuyến tính. Như vậy, nói chungpKnq không đẳng cấu tuyến tính với Kn.
Trước khi trình bày các định lý sau, ta có nhận xét sau.
Xét dãytenun cho bởi
en p0, . . . ,0, 1
pnq,0, . . .q.
Dĩ nhiênenPcovàenP`ppp¥1q.Có thể chứng minh dễ dàng rằng nếux pξnq Pco
(tương ứng,P`p) thì
x á8
n1
ξnen,
với chuỗi ở vế phải hội tụ trong không gianco(tương ứng, trong không gian`p). Thật vậy, ta xétsn
án i1
ξiei pξ1, . . . , ξn,0, . . .q.Khi đó lim
nẹ8}snx} lim
nẹ8sup
i¡n|ξi| 0.
Để ý rằng đẳng thức trên không đúng nếu coi rằng en P `8, với mọi n PN và lấyx pξnq P`8.
Định lý 3.1.9. Với mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên không gian co,tồn tại duy nhất phần tửa panqnP`1 sao cho
fpxq á8
n1
anxn, với mọi x pxnq Pco.
Ngược lại, vớia panqnP`1,thỡ dạngfapxq á8
n1
xnan với mọix pxnqnPco xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trênco và}fa} }a}.
Chứng minh. Lấyf Pco tùy ý. Vìf liên tục nên với mọix pξnq Pco ta đều có fpxq f
nlimẹ8
án k1
ξkek lim
nẹ8
án k1
fpekqξk á8
n1
anξn, trong đóanfpenq không phụ thuộc vào x.
3.1 Không gian liên hợp 69 Bây giờ ta chứng minh a panq P `1. Thật vậy, với mỗi N P N, ta xét xN pξnpNqq Pco xác định như sau
ξnpNq
$&
%
|an|
an nếu n¤N và nếu an0, 0 đối với các trường hợp còn lại.
Thế thì}xN} ¤1,và
áN n1
|an| |fpxNq| ¤ }f}.}xN} ¤ }f}.
Bất đẳng thức này đỳng cho mọiN nờn cho N ẹ 8ta suy ra rằnga panq P`1 và }a}1 ¤ }f}.
Ngược lại, với mỗi phần tử a panq P `1 ta hãy xác định phiếm hàm fa trên không gianco như sau: Nếu x pξnq Pco thì
fapxq á8
n1
anξn. Chuỗi ở vế phải hội tụ bởi vì
|fapxq| Ô á8
n1
|an|.|ξn| ¤sup
n |ξn|.
á8 n1
|an| }a}1.}x}.
Rõ ràngfa là tuyến tính, và bất đẳng thức trên chứng tỏfa bị chặn, do đó fa Pco và }fa} ¤ }a}1. Mặt khác, với mỗi N P N, ta xét xN pξpnNqq P co xác định như trong chứng minh ở phần trên. Lặp lại chứng minh trên ta nhận được}fa} }a}1. Chú ý 3.1.10. Từ định lý trên ta có thể thiết lập được một song ánh
aP`1 ịẹfaPco.
Rõ ràng ánh xạ này là tuyến tính, bảo toàn chuẩn và do đó là một phép đẳng cấu tuyến tính của không gian`1 lên không gian co.
Định lý 3.1.11. Với mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tụcf trên không gian`1,tồn tại duy nhất phần tửa panqnP`8 sao cho
fpxq á8
n1
anxn, với mọi x pxnqnP`1.
Ngược lại, vớia panqnP`8,thỡ dạngfapxq á8
n1
xnanvới mọix pxnqnP`1 xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên`1 và}fa} }a}8.
3.1 Không gian liên hợp 70 Chứng minh. Lấyf P`1 tùy ý. Vìf liên tục nên với mọix pξnq P`1 ta đều có
fpxq f
nlimẹ8
án k1
ξkek lim
nẹ8
án k1
fpekqξk á8
n1
anξn, trong đóanfpenq không phụ thuộc vào x.
Từ bất đẳng thức
|an| |fpenq| ¤ }f}.}en}1 }f}, ta thấy rằng dãya panq là bị chặn, tức là a panq P`8,và
}a}8sup
n |an| ¤ }f}. Từ đó suy ra rằng
}fa} }a}8.
Ngược lại, với mỗi phần tử a panq P`8 ta hãy xác định phiếm hàm fa trên không gian`1 như sau: Nếu x pξnq P`1 thì
fapxq á8
n1
anξn. Chuỗi ở vế phải hội tụ bởi vì
|fapxq| Ô á8
n1
|an|.|ξn| ¤sup
n |an|.
á8 n1
|ξn| }a}8.}x}.
Rõ ràngfa là tuyến tính, và bất đẳng thức trên chứng tỏ fa bị chặn, do đófaP`1 và }fa} ¤ }a}8. Mặt khác, với mỗi N PN xét xN p0, . . . ,0,1
N,0, . . . ,0q P`1. Rõ ràng}xN} 1.Khi đó
}fa} ¥ |fapxNq| |aN|, với mọiN.
Do đó }fa} ¥sup
n |an| }a}8.Vậy }fa} }a}.
Chú ý 3.1.12. Từ định lý trên ta có thể thiết lập được một song ánh aP`8ịẹfaP`1.
Rõ ràng ánh xạ này là tuyến tính, bảo toàn chuẩn và do đó là một phép đẳng cấu tuyến tính của không gian`8 lên không gian`1.
3.1 Không gian liên hợp 71 Định lý 3.1.13. Với mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tụcftrên không gian`p,pp¡1q tồn tại duy nhất phần tử a panqnP`q sao cho
fpxq á8
n1
anξn, với mọi x pξnq P`p, trong đó q thỏa mãn điều kiện 1
p 1
q 1. Ngược lại, với a panq P `q, thì dạng fapxq á8
n1
ξnan với mọi x pξnqn P `p xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên`p và}fa} }a}q.
Chứng minh. Lấyf P`p tùy ý. Vìf liên tục nên với mọix pξnq P`p ta đều có fpxq f
nlimẹ8
án k1
ξkek lim
nẹ8
án k1
fpekqξk á8
n1
anξn, trong đóanfpenq không phụ thuộc vào x.
Bây giờ ta chứng minh a panq P `q. Thật vậy, với mỗi N P N, ta xét xN pξnpNqq P`p xác định như sau
ξpnNq
$&
%
|an|q an
nếu n¤N và nếu an0, 0 đối với các trường hợp còn lại.
Để ý rằng }xN}p áN
n1
|ξn|p 1{p áN
n1
|an|pq1qp 1{p áN
n1
|an|q 1{p,nhưng từ biểu thức đã tìm được của fpxq ta có
áN n1
|an|q fpxNq Ô }f}.}xN}p }f}áN
n1
|an|q 1{p, do đó
áN
n1
|an|q 1{q¤ }f}.
Bất đẳng thức này đỳng cho mọiN nờn choN ẹ 8ta suy ra rằnga panq P`q và }a}q ¤ }f}.
Ngược lại, với mỗi phần tử a panq P `q ta hãy xác định phiếm hàm fa trên không gianco như sau: Nếu x pξnq P`p thì
fapxq á8
n1
anξn.