5.1 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN HILBERT
Các không gian Hilbert là những ví dụ quan trọng nhất về các không gian Banach không những vì chúng là suy rộng tự nhiên của hình học Euclide cổ điển sang trường hợp “vô hạn chiều" mà còn vì chúng là những không gian hữu ích nhất trong các áp dụng của Giải tích hàm.
5.1.1 Tích vô hướng
Trong không gianRktích vô hướng của hai vectơx pξ1, . . . , ξkq, y pη1, . . . , ηkq xx, yy
ák i1
ξnηn
5.1 Khái niệm không gian Hilbert 99 giữ một vai trò rất quan trọng và là một khái niệm được ứng dụng rộng rãi trong toán học, cơ học, vật lý, v.v... Biết tích vô hướng của một cặp vectơ thì có thể suy ra độ dài của các vectơ và góc giữa hai vectơ. Vì vậy trong khái niệm tích vô hướng đã bao hàm khả năng đo độ dài, đo góc, và từ đó đi đến những khái niệm quan trọng khác như tính trực giao, hình chiếu thẳng, v.v...
Ta hãy xét xem làm thế nào đưa được khái niệm tích vô hướng vào không gian định chuẩn. Ta nhận thấy tích vô hướngxx, yycủa hai vectơx, ytrong Rk có những tính chất cốt yếu sau:
a)xx, xy ¡0nếu x0;xx, xy 0nếu x0.
b) xx, yy xy, xy.
c)xx y, zy xx, zy xy, zy. d) xαx, yy αxx, yyvới mọiαPR.
Đồng thời tích vô hướng liên hệ với độ dài của các vectơ bởi hệ thức e)xx, xy }x}2.
Như vậy phải làm thế nào xác định được trong không gian định chuẩn một hàm hai biến với các tính chất a) - d) và liên hệ với chuẩn bởi hệ thức e). Ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 5.1.1. ChoH là không gian tuyến tính trên trườngK.Tích vô hướng xác định trongH là một ánh xạ
x., .y:HH ẹK px, yq ịẹ xx, yy thỏa mãn các điều kiện sau:
a)xx, xy ¥0với mọixPH vàxx, xy 0khi và chỉ khi x0.
b)xx, yy xy, xyvới mọix, yPH.Ký hiệuxy, xychỉ số phức liên hợp củaxx, yy. c)xx y, zy xx, zy xy, zyvới mọix, y, z PH.
d) xλx, yy λxx, yyvới mọix, yPH vàλPK. Số xx, yygọi là tích vô hướng của hai vectơ x vày.
Từ định nghĩa của tích vô hướng ta suy ra xx, λyy λxx, yy xx, y zy xx, yy xx, zy với mọix, y, zPH vàλPK.
5.1 Khái niệm không gian Hilbert 100 Như vậy, tích vô hướngx., .ychính là một dạng Hermitd xác định dương trênH.
Cặp pH,x., .yq được gọi là không gian tiền Hilbert H trên trường K (hay không gian unita). Từ đây về sau, nếu không có sự nhầm lẫn và để cho gọn, ta thường gọi không gian tiền HilbertH thay cho cặp pH,x., .yq.
Ví dụ 5.1.1. Vớix px1, x2, . . . , xnq, y py1, y2, . . . , ynq PRn,biểu thức xx, yy
án i1
xiyi xác định một tích vô hướng trongRn.
Tương tự, tích vô hướng trongCn được xác định bởi biểu thức xx, yy
án i1
xiyi trong đóx px1, x2, . . . , xnq, y py1, y2, . . . , ynq PCn.
Định lý 5.1.2. Trong không gian tiền Hilbert H,với mọi x, yPH ta luôn có bất đẳng thức Schwarzsau
|xx, yy|2 ¤ xx, xy.xy, yy. (5.1) Chứng minh. Vớiy0 bất đẳng thức đúng. Giả sử y0.Với mọi λPKta có
xx λy, x λyy ¥0 hay
xx, xy λxy, xy λxx, yy |λ|2xy, yy ¥0.
Chọnλ xx, yy
xy, yy ta được
xx, xy |xx, yy|2 xy, yy ¥0.
Từ đó ta suy ra bất đẳng thức (5.1).
Chú ý rằng dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khix vàyphụ thuộc tuyến tính. (Xem như bài tập dành cho bạn đọc (xem bài tập 5.1)).
Định lý 5.1.3. NếuH là không gian tiền Hilbert thì }x} a
xx, xy với xPH (5.2)
xác định một chuẩn trênH.
5.1 Khái niệm không gian Hilbert 101 Chứng minh. Từ tiên đề d) trong định nghĩa tích vô hướng ta suy ra }x} ¥ 0 và }x} 0 khi và chỉ khi x0.
Từ các tiên đề a) và c) ta có }λx} a
xλx, λxy a
|λ|2.}x}2 |λ|}x} với mọixPH và λPK.
Ta cần chứng minh với mọi x, y, zPH thì}x y} ¤ }x} }y}.Ta có }x y}2 xx y, x yy }x}2 xy, xy xx, yy }y}2
}x}2 xx, yy xx, yy }y}2 }x}2 2Repxx, yyq }y}2
¤ }x}2 2|xx, yy| }y}2. Áp dụng bất đẳng thức Schwarz, ta có
}x y}2¤ }x}2 2}x}}y} }y}2 p}x} }y}q2.
Vậy}x y} ¤ }x} }y}.
Nhận xét 5.1.4. Định lý trên cho ta thấy không gian tiền Hilbert H chính là một không gian định chuẩn với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng bởi công thức (5.2).
Như vậy mọi khái niệm, kết quả đã được thiết lập cho không gian định chuẩn đều có thể áp dụng được cho không gian tiền Hilbert.
Bất đẳng thức (5.2) có thể được viết lại như sau |xx, yy| ¤ }x}}y}. 5.1.2 Không gian Hilbert
Định nghĩa 5.1.2. NếuHlà không gian tiền Hilbert và đầy đủ với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng thì được gọi là không gian Hilbert. Nếu trường vô hướng KR thì tiên đề a) trong định nghĩa của tích vô hướng có dạng
xx, yy xy, xy
vàH được gọi là không gian Hilbert thực. NếuKCthìH được gọi là không gian Hilbert phức.
Ví dụ 5.1.5. Rn (tương ứng Cn) là không gian Hilbert thực (t. ư. phức) với tích vô hướng
xx, yy
án i1
xiyi; p t. ư.xx, yy
án i1
xiyiq trong đóx px1, x2, . . . , xnq, y py1, y2, . . . , ynq PRn (t. ư.Cn).
5.1 Khái niệm không gian Hilbert 102 Ví dụ 5.1.6. Ta biết `2 là không gian Banach với chuẩn
}x} á8
n1
|xn|2 1{2, với x px1, x2, . . .q P`2. (5.3)
Vớix pxnqn, y pynqnP`2 nhờ bất đẳng thức Bunhiakovski ta có á8
n1
xnyn2¤ }x}2}y}2 8.
Dễ dàng kiểm tra rằng
xx, yy á8
n1
xnyn
xác định một tích vô hướng trong `2 và nó cảm sinh chuẩn (5.3). Vậy `2 là một không gian Hilbert.
Vớ dụ 5.1.7. XộtpX,A, àq là một khụng gian với độ đo. Ký hiệu L2pX, àq !
f :XẹK,
ằ
X
|f|2dà 8) . Ta biết rằngL2pX, àq là một khụng gian Banach với chuẩn
}f} ằ
X
|f|2dà 1{2.
Hơn nữa, vớif, gPL2pX, àq, từ bất đẳng thức Hăolder về tớch phõn ta cú
ằ
X
f gdà Ô ằ
X
|f|2dà 1{2 ằ
X
|g|2dà 1{2 8. Dễ dàng kiểm tra rằng
xf, gy
ằ
X
f gdà
xỏc định một tớch vụ hướng trong L2pX, àq và như vậy L2pX, àq trở thành khụng gian Hilbert.
Định lý 5.1.8. Nếu H là một không gian tiền Hilbert thì tích vô hướng là một hàm liên tục trênHH.
Chứng minh. Giả sử lim
nẹ8xn xo, lim
nẹ8yn yo trong khụng gianH. Ta cần chứng minh
nlimẹ8xxn, yny xxo, yoy trong K.
5.1 Khái niệm không gian Hilbert 103 Ta có
|xxn, yny xxo, yoy| |xxn, yny xxn, yoy xxn, yoy xxo, yoy|
¤ |xxn, ynyoy| |xxnxo, yoy| (5.4)
¤ }xn}}ynyo} }xnxo}}yo}
Vì dãy txnu hội tụ trong H nên tồn tại M ¡0 sao cho }xn} ¤ M với mọi nP N. Vậy bất đẳng thức (5.4) trở thành
|xxn, yny xxo, yoy| ¤M}ynyo} }yo}}xnxo}. Chonẹ 8,theo giả thiết, ta suy ra
nlimẹ8xxn, yny xxo, yoy.
Định lý 5.1.9. NếuH là một không gian tiền Hilbert thì với mọi x, yPH ta luôn có đẳng thức hình bình hànhsau
}x y}2 }xy}22p}x}2 }y}2q. (5.5) Chứng minh. Vớix, yPH ta có
}x y}2 xx y, x yy }x}2 xx, yy xy, xy }y}2 }xy}2 xxy, xyy }x}2 xx, yy xy, xy }y}2.
Cộng hai đẳng thức trên ta thu được đẳng thức (5.5).
Định lý 5.1.10. Nếu A là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert H thì với mọi xPH tồn tại duy nhất một phần tử yPA sao cho
}xy} dpx, Aq inf
uPA}xu}.
Chứng minh. Tính tồn tại. Theo định nghĩa của infimum, tồn tại tynu A sao cho lim
nẹ8}xyn} d.
Trước hết ta chứng minhtynu là dãy Cauchy trongH.
Thật vậy, theo đẳng thức (5.5), ta có
}ymyn}2 }pymxq pynxq}2
2p}ymx}2 }ynx}2q }ym yn2x}2 (5.6)
5.1 Khái niệm không gian Hilbert 104 Do A lồi và tynu A nên ym yn
2 PA và ym2 yn x2 ¥ d2, vậy thì đẳng thức (5.6) trở thành
0¤ }ymyn}2 ¤2p}ymx}2 }ynx}2q 4d2. Chom, nẹ 8 ta nhận được lim
m,nẹ8}ymyn} 0.
Vì H đầy đủ nên tồn tại y PH sao cho lim
nẹ8yn y. Hơn nữa, do A đúng nờn yPA.
Từ đó suy ra lim
nẹ8}xyn} }xy} d.
Tính duy nhất. Giả sử có y, y1PAsao cho
}xy} }xy1} ddpx, Aq. Theo đẳng thức (5.5) ta có
}yy1} }pyxq py1xq}2 2
}yx}2 }y1x}2
}y y12x}2 2
}yx}2 }y1x}2
4y y1
2 x2 (5.7)
4d24y y1
2 x2. Vì y y
1
2 P A nên y 2y1 x ¥ d và vế phải của (5.7) không dương còn vế trái không âm. Vậy ta phải có}yy1} 0 hay yy1. Chú ý 5.1.11. Chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng trong không gian tiền Hilbert có một số tính chất đặc biệt. Các Định lý 5.1.9, 5.1.10 mô tả hai tính chất hình học của chuẩn này.
Chú ý 5.1.12. Định lý 5.1.9 khẳng định không gian tiền Hilbert là một không gian định chuẩn thỏa mãn điều kiện hình bình hành. Ngược lại, nếu một không gian định chuẩnH thỏa mãn điều kiện hình bình hành thì sẽ tồn tại một tích vô hướng xác định trongH và nó cảm sinh chính chuẩn của H.Tích vô hướng này được xác định bằng cách đặt, với mọix, yPH :
xx, yy 1
4p}x y}2 }xy}2q.
Chú ý 5.1.13. Ý nghĩa của Định lý 5.1.10 là với tập lồi, đóng, khác rỗng A H và phần tử xPH cho trước bao giờ cũng có đúng một phần tử của A gần x nhất.
Chứng minh của định lý cho thấy tính đầy đủ của không gian là rất quan trọng.
Chính vì vậy định lý sau đây cho ta đầy đủ hóa một không gian tiền Hilbert.